高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 2 四种命题和充要条件课件 文.ppt

第一章集合与常用逻辑用语 第2课四种命题和充要条件 课前热身 1 选修21p8习题1改编 命题 若x20 及其逆命题 否命题 逆否命题这四个命题中正确命题的个数为 解析 原命题为真 所以逆否命题为真 逆命题为 若x2 0 则x 0 为假命题 所以否命题为假 激活思维 若x 1或x 1 则x2 1 2 3 选修21p20习题改编 判断下列命题的真假 填 真 或 假 1 命题 在 abc中 若ab ac 则c b 的否命题为 命题 2 命题 若ab 0 则b 0 的逆否命题为 命题 4 选修21p9习题4 2 改编 sin sin 是 的 从 充分不必要 必要不充分 充要 或 既不充分也不必要 中选填一个 条件 真 假 必要不充分 5 选修21p20习题改编 已知p q都是r的必要条件 s是r的充分条件 q是s的充分条件 那么r是q的 条件 p是q的 条件 解析 q s r q 所以r是q的充要条件 q s r p 所以p是q的必要条件 充要 必要 1 记 若p则q 为原命题 则否命题为 逆命题为 逆否命题为 其中互为逆否命题的两个命题同真假 即等价 原命题与 等价 逆命题与 等价 因此 四种命题为真的个数只能是偶数 知识梳理 若非p则非q 若q则p 若非q则非p 逆否命题 否命题 充分 必要 非充分 非必要 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 充分性 必要性 课堂导学 写出命题 若x 3且y 2 则x y 5 的逆命题 否命题和逆否命题 并判断它们的真假 思维引导 本题考查四种命题之间的转换 要抓住条件与结论进行改写 解答 逆命题 若x y 5 则x 3且y 2 假命题 否命题 若x 3或y 2 则x y 5 假命题 逆否命题 若x y 5 则x 3或y 2 真命题 四种命题及其真假判断 例1 精要点评 四种命题的转换 首先要改写成 若p则q 的形式 其次要注意常见的否定转换 注意 互为逆否命题的两个命题真假相同 给出以下四个命题 若x y 0 则x y互为相反数 的逆命题 全等三角形的面积相等 的否命题 若q 1 则x2 x q 0有实数根 的逆否命题 若a b是偶数 则整数a b都是偶数 其中真命题是 填序号 解析 显然正确 不全等的三角形的面积不相等 故 不正确 原命题正确 所以它的逆否命题也正确 若a b是偶数 则整数a b都是偶数或都是奇数 故 不正确 变式 精要点评 对命题真假的判断 真命题要加以论证 假命题要举出反例 这是最基本的数学思维方式 在判断命题真假的过程中 要注意简单命题与复合命题之间的真假关系 要注意四种命题之间的真假关系 原命题等价于逆否命题 但原命题与逆命题 否命题都不等价 因此 四种命题中真命题的个数只能是0 2或4 从 充分不必要 必要不充分 充要 或 既不充分也不必要 中选填一个 1 2015 泰安期末 已知a r 则 a2 a 是 a 1 的 条件 思维引导 求出不等式a2 a的解集为 0 1 然后根据 小范围能推大范围 大范围推不出小范围 进行判断 解析 因为由a2 a 可得0 a 1 所以 a2 a 是 a 1 的充分不必要条件 充要条件的判定 例2 充分不必要 2 2015 保定期末 若集合a 0 1 b 1 a2 则 a b 1 是 a 1 的 条件 思维引导 判断充要条件时 可先分清条件与结论 若由条件能推出结论 则充分性满足 若由结论能推出条件 则必要性满足 解析 若a b 1 则a2 1 a 1 所以充分性不满足 必要性满足 故 a b 1 是 a 1 的必要不充分条件 必要不充分 精要点评 在判断充分条件及必要条件时 首先要分清哪个是条件 哪个是结论 其次 要从两个方面即 充分性 与 必要性 分别考查 判定时 对于有关范围的问题也可以从集合观点看 如p q对应的范围为集合a b 若a b 则a是b的充分条件 b是a的必要条件 若a b 则a b互为充要条件 从 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 或 既不充分也不必要条件 中选填一个 变式 充分不必要条件 充分不必要条件 必要不充分条件 4 2016 南京学情调研 已知直线l m 平面 若m 则 l m 是 l 的 解析 由直线与平面垂直的定义知 l m 推不出 l 但是由定义知 l 能推出 l m 所以是必要不充分条件 必要不充分条件 充要条件 精要点评 在判断时注意反例的应用 在判断 若p则q 较繁琐时 可以利用它的逆否命题 若非q则非p 判断其是否正确 有时将某些条件转化为与它等价的条件再与另一条件进行判断会更简单 已知集合m x x5 p x x a x 8 0 1 求实数a的取值范围 使它成为m p x 5 x 8 的充要条件 思维引导 求a的取值范围使它成为m p的不同条件 可借助集合的观点 根据要求 求出成立时a的取值范围 解答 由m p x 5 x 8 得 3 a 5 因此m p x 5 x 8 的充要条件是 3 a 5 结合充要条件求参数 例3 2 求实数a的一个值 使它成为m p x 5 x 8 的一个充分不必要条件 解答 在集合 a 3 a 5 中取一个值即可 如取a 0 此时必有m p x 5 x 8 反之 m p x 5 x 8 未必有a 0 故a 0是所求的一个充分不必要条件 3 求实数a的取值范围 使它成为m p x 5 x 8 的一个必要不充分条件 解答 即求一个集合q 使 a 3 a 5 是集合q的一个真子集 如果 a a 5 那么未必有m p x 5 x 8 但是m p x 5 x 8 时 必有a 5 故a 5是所求的一个必要不充分条件 精要点评 解决此类问题一般是把充分条件 必要条件或充要条件转化为集合之间的关系 然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解 变式 1 已知a b c都是实数 求证 方程ax2 bx c 0有一个正根和一个负根的充要条件是ac 0 思维引导 证明充分性 由 ac 0 推出 方程ax2 bx c 0有一个正根和一个负根 证明必要性是由 方程ax2 bx c 0有一个正根和一个负根 推出 ac 0 主要根据判别式 一元二次方程的根与系数的关系进行论证 充要条件的证明 例4 精要点评 充要条件的证明应注意 1 一般地 条件已知 证明结论成立是充分性 结论已知 推出条件成立是必要性 2 有关充要条件的证明问题 要分清哪个是条件 哪个是结论 已知函数f x 是r上的增函数 a b r 求证 f a f b f a f b 的充要条件是a b 0 解答 充分性 即已知a b 0 求证 f a f b f a f b 因为a b 0 所以a b b a 所以f a f b f b f a 所以f a f b f a f b 必要性 即已知f a f b f a f b 求证 a b 0 变式 假设a b 0 所以a b b a 所以f a f b f b f a 所以f a f b f a f b 与已知矛盾 所以必要性成立 综上 可得f a f b f a f b 的充要条件是a b 0 课堂评价 1 命题 若a 1 则a2 1 的逆否命题是 解析 由原命题与逆否命题的关系知 其逆否命题为 若a2 1 则a 1 若a2 1 则a 1 2 2015 安徽卷 若p 1 x 2 q 2x 1 则p是q的 从 充分不必要 必要不充分 充要 或 既不充分也不必要 中选填一个 条件 解析 由q 2x 1 20