高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理.ppt

9 4直线与圆 圆与圆的位置关系 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 1 几何法 利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系 相交 相切 相离 知识梳理 d r d r d r 相交 相切 相离 2 圆与圆的位置关系 d r1 r2 无解 一组实数解 两组不同的实数解 d r1 r2 r1 r2 d r1 r2 一组实数解 无解 0 d r1 r2 r1 r2 d r1 r2 r1 r2 1 圆的切线方程常用结论 1 过圆x2 y2 r2上一点p x0 y0 的圆的切线方程为x0 x y0y r2 2 过圆 x a 2 y b 2 r2上一点p x0 y0 的圆的切线方程为 x0 a x a y0 b y b r2 3 过圆x2 y2 r2外一点m x0 y0 作圆的两条切线 则两切点所在直线方程为x0 x y0y r2 2 圆与圆的位置关系的常用结论 1 两圆的位置关系与公切线的条数 内含 0条 内切 1条 相交 2条 外切 3条 外离 4条 2 当两圆相交时 两圆方程 x2 y2项系数相同 相减便可得公共弦所在直线的方程 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解 则两圆外切 2 如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和 则两圆相交 3 从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程 4 过圆o x2 y2 r2上一点p x0 y0 的圆的切线方程是x0 x y0y r2 5 过圆o x2 y2 r2外一点p x0 y0 作圆的两条切线 切点分别为a b 则o p a b四点共圆且直线ab的方程是x0 x y0y r2 1 教材改编 圆 x 1 2 y 2 2 6与直线2x y 5 0的位置关系是a 相切b 相交但直线不过圆心c 相交过圆心d 相离 考点自测 答案 解析 所以直线与圆相交但不过圆心 由题意知圆心 1 2 到直线2x y 5 0的距离 2 2016 全国甲卷 圆x2 y2 2x 8y 13 0的圆心到直线ax y 1 0的距离为1 则a等于 答案 解析 由圆的方程x2 y2 2x 8y 13 0 得圆心坐标为 1 4 3 2016 西安模拟 若直线x y 1 0与圆 x a 2 y2 2有公共点 则实数a的取值范围是a 3 1 b 1 3 c 3 1 d 3 1 答案 解析 解得 3 a 1 几何画板展示 4 2016 黑龙江大庆实验中学检测 已知圆c1 x 2 2 y 3 2 1 圆c2 x 3 2 y 4 2 9 m n分别是圆c1 c2上的动点 p为x轴上的动点 则 pm pn 的最小值为 答案 解析 圆c1关于x轴对称的圆c1 的圆心为c1 2 3 半径不变 圆c2的圆心为 3 4 半径r 3 pm pn 的最小值为圆c1 和圆c2的圆心距减去两圆的半径 几何画板展示 5 已知圆c1 x a 2 y 2 2 4与圆c2 x b 2 y 2 2 1外切 则ab的最大值为 答案 解析 由两圆外切可得圆心 a 2 b 2 之间的距离等于两圆半径之和 即 a b 2 2 1 2 即9 a2 b2 2ab 4ab 所以ab 当且仅当a b时取等号 即ab的最大值是 题型分类深度剖析 题型一直线与圆的位置关系的判断 例1 1 已知点m a b 在圆o x2 y2 1外 则直线ax by 1与圆o的位置关系是a 相切b 相交c 相离d 不确定 答案 解析 2 2016 江西吉安月考 圆x2 y2 2x 4y 0与直线2tx y 2 2t 0 t r 的位置关系为a 相离b 相切c 相交d 以上都有可能 答案 解析 直线2tx y 2 2t 0恒过点 1 2 12 2 2 2 1 4 2 5 0 点 1 2 在圆x2 y2 2x 4y 0内 直线2tx y 2 2t 0与圆x2 y2 2x 4y 0相交 故选c 思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法 1 几何法 利用d与r的关系 2 代数法 联立方程之后利用 判断 3 点与圆的位置关系法 若直线恒过定点且定点在圆内 可判断直线与圆相交 上述方法中最常用的是几何法 点与圆的位置关系法适用于动直线问题 由题意可知过a b两点的直线方程为 a b x y ab 0 化简后得d 1 故直线与圆相切 相切 答案 解析 题型二圆与圆的位置关系 例2 1 2016 山东 已知圆m x2 y2 2ay 0 a 0 截直线x y 0所得线段的长度是2 则圆m与圆n x 1 2 y 1 2 1的位置关系是a 内切b 相交c 外切d 相离 答案 解析 圆m x2 y a 2 a2 a 0 圆心坐标为m 0 a 半径r1为a m 0 2 r1 2 又圆n的圆心坐标n 1 1 半径r2 1 r1 r2 3 r1 r2 1 r1 r2 mn r1 r2 两圆相交 故选b 2 2017 重庆调研 如果圆c x2 y2 2ax 2ay 2a2 4 0与圆o x2 y2 4总相交 那么实数a的取值范围是 答案 解析 圆c的标准方程为 x a 2 y a 2 4 圆心坐标为 a a 半径为2 思维升华 判断圆与圆的位置关系时 一般用几何法 其步骤是 1 确定两圆的圆心坐标和半径长 2 利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d 求r1 r2 r1 r2 3 比较d r1 r2 r1 r2 的大小 写出结论 跟踪训练2已知两圆x2 y2 2x 6y 1 0和x2 y2 10 x 12y m 0 1 m取何值时两圆外切 2 m取何值时两圆内切 3 求m 45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长 解答 两圆的标准方程分别为 x 1 2 y 3 2 11 x 5 2 y 6 2 61 m 3 两圆的公共弦所在直线方程为 x2 y2 2x 6y 1 x2 y2 10 x 12y 45 0 1 当两圆外切时 即4x 3y 23 0 所以公共弦长为 题型三直线与圆的综合问题 命题点1求弦长问题 例3 2016 全国丙卷 已知直线l mx y 3m 0与圆x2 y2 12交于a b两点 过a b分别做l的垂线与x轴交于c d两点 若 ab 2 则 cd 答案 解析 4 设ab的中点为m 命题点2直线与圆相交求参数范围 例4 2015 课标全国 已知过点a 0 1 且斜率为k的直线l与圆c x 2 2 y 3 2 1交于m n两点 1 求k的取值范围 解答 由题设 可知直线l的方程为y kx 1 解答 设m x1 y1 n x2 y2 将y kx 1代入方程 x 2 2 y 3 2 1 整理得 1 k2 x2 4 1 k x 7 0 1 k2 x1x2 k x1 x2 1 所以l的方程为y x 1 故圆心c在l上 所以 mn 2 命题点3直线与圆相切的问题 例5已知圆c x 1 2 y 2 2 10 求满足下列条件的圆的切线方程 1 与直线l1 x y 4 0平行 解答 设切线方程为x y b 0 2 与直线l2 x 2y 4 0垂直 解答 设切线方程为2x y m 0 3 过切点a 4 1 解答 过切点a 4 1 的切线斜率为 3 过切点a 4 1 的切线方程为y 1 3 x 4 即3x y 11 0 思维升华 直线与圆综合问题的常见类型及解题策略 1 处理直线与圆的弦长问题时多用几何法 即弦长的一半 弦心距 半径构成直角三角形 2 圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径 从而建立关系解决问题 跟踪训练3 1 2015 课标全国 过三点a 1 3 b 4 2 c 1 7 的圆交y轴于m n两点 则 mn 等于 答案 解析 故过三点a b c的圆以ac为直径 得其方程为 x 1 2 y 2 2 25 令x 0 得 y 2 2 24 答案 解析 依题意得 圆心到直线的距离等于半径 高考中与圆交汇问题的求解 高频小考点7 与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点 与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度 面积的最值 求点到直线的距离的最值 求相关参数的最值等方面 解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化 直线与圆的综合问题主要包括弦长问题 切线问题及组成图形面积问题 解决方法主要依据圆的几何性质 考点分析 典例1 1 2015 湖南 已知点a b c在圆x2 y2 1上运动 且ab bc 若点p的坐标为 2 0 则的最大值为a 6b 7c 8d 9 答案 解析 一 与圆有关的最值问题 a b c在圆x2 y2 1上 且ab bc ac为圆的直径 设b x y 则x2 y2 1且x 1 1 答案 解析 二 直线与圆的综合问题典例2 1 2015 重庆 已知直线l x ay 1 0 a r 是圆c x2 y2 4x 2y 1 0的对称轴 过点a 4 a 作圆c的一条切线 切点为b 则 ab 等于 答案 解析 由于直线x ay 1 0是圆c x2 y2 4x 2y 1 0的对称轴 圆心c 2 1 在直线x ay 1 0上 2 a 1 0 a 1 a 4 1 ac 2 36 4 40 又r 2 ab 2 40 4 36 ab 6 2 在平面直角坐标系中 a b分别是x轴和y轴上的动点 若以ab为直径的圆c与直线2x y 4 0相切 则圆c面积的最小值为 答案 解析 aob 90 点o在圆c上 设直线2x y 4 0与圆c相切于点d 则点c与点o间的距离等于它到直线2x y 4 0的距离 点c在以o为焦点 以直线2x y 4 0为准线的抛物线上 当且仅当o c d共线时 圆的直径最小为 od 课时作业 1 2017 广州调研 若点a 1 0 和点b 4 0 到直线l的距离依次为1和2 则这样的直线有a 1条b 2条c 3条d 4条 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 如图 分别以a b为圆心 1 2为半径作圆 依题意得 直线l是圆a的切线 a到l的距离为1 直线l也是圆b的切线 b到l的距离为2 所以直线l是两圆的公切线 共3条 2条外公切线 1条内公切线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若圆c1 x2 y2 1与圆c2 x2 y2 6x 8y m 0外切 则m等于a 21b 19c 9d 11 答案 解析 圆c2的标准方程为 x 3 2 y 4 2 25 m 又圆c1 x2 y2 1 c1c2 5 解得m 9 3 2016 南昌二模 若圆c1 x2 y2 2ax a2 9 0 a r 与圆c2 x2 y2 2by b2 1 0 b r 内切 则ab的最大值为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 圆c1 x2 y2 2ax a2 9 0 a r 化为 x a 2 y2 9 圆心坐标为 a 0 半径为3 圆c2 x2 y2 2by b2 1 0 b r 化为x2 y b 2 1 圆心坐标为 0 b 半径为1 圆c1 x2 y2 2ax a2 9 0 a r 与圆c2 x2 y2 2by b2 1 0 b r 内切 ab的最大值为2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 2016 泰安模拟 过点p 3 1 作圆c x 1 2 y2 1的两条切线 切点分别为a b 则直线ab的方程为a 2x y 3 0b 2x y 3 0c 4x y 3 0d 4x y 3 0 答案 解析 如图所示 由题意知 ab pc kpc kab 2 直线ab的方程为y 1 2 x 1 即2x y 3 0 5 若直线l y kx 1 k 0 与圆c x2 4x y2 2y 3 0相切 则直线l与圆d x 2 2 y2 3的位置关系是a 相交b 相切c 相离d 不确定 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 已知a 2 0 b 0 2 实数k是常数 m n是圆x2 y2 kx 0上两个不同点 p是圆x2 y2 kx 0上的动点 如果m n关于直线x y 1 0对称 那么 pab面积的最大值是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 依题意得圆x2 y2 kx 0的圆心 0 位于直线x y 1 0上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 于是有 1 0 即k 2 因此圆心坐标是 1 0 半径是1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 2016 全国乙卷 设直线y x 2a与圆c x2 y2 2ay 2 0相交于a b两点 若 ab 2 则圆c的面积为 答案 解析 4 圆c x2 y2 2ay 2 0 即c x2 y a 2 a2 2 圆心为c 0 a 解得a2 2 所以圆的面积为 a2 2 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 2016 天津四校联考 过点 1 的直线l将圆 x 2 2 y2 4分成两段弧 当劣弧所对的圆心角最小时 直线l的斜率k 答案 解析 当劣弧所对的圆心角最小时 圆心 2 0 与点 1 的连线垂直于直线l 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 由题意 圆心为o 0 0 半径为1 如图所示 poa为直角三角形 其中 oa 1 ap 则 op 2 opa 30 apb 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 在平面直角坐标系xoy中 圆c的方程为x2 y2 8x 15 0 若直线y kx 2上至少存在一点 使得以该点为圆心 1为半径的圆与圆c有公共点 则k的最大值是 答案 解析 圆c的标准方程为 x 4 2 y2 1 圆心为 4 0 由题意知 4 0 到kx y 2 0的距离应不大于2 11 已知圆c x2 y2 2x 4y 1 0 o为坐标原点 动点p在圆c外 过p作圆c的切线 设切点为m 1 若点p运动到 1 3 处 求此时切线l的方程 2 求满足条件 pm po 的点p的轨迹方程 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 把圆c的方程化为标准方程为 x 1 2 y 2 2 4 圆心为c 1 2 半径r 2 1 当l的斜率不存在时 此时l的方程为x 1 c到l的距离d 2 r 满足条件 当l的斜率存在时 设斜率为k 得l的方程为y 3 k x 1 即kx y 3 k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 l的方程为y 3 x 1 即3x 4y 15 0 综上 满足条件的切线l的方程为x 1或3x 4y 15 0 2 设p x y 则 pm 2 pc 2 mc 2 x 1 2 y