高三数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第八节 曲线与方程课件 理.ppt

理数课标版 第八节曲线与方程 1 曲线与方程的定义一般地 在直角坐标系中 如果某曲线c上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立如下的对应关系 教材研读 那么 这个方程叫做 曲线的方程 这条曲线叫做 方程的曲线 2 求轨迹方程的基本步骤 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 f x0 y0 0是点p x0 y0 在曲线f x y 0上的充要条件 2 方程x2 xy x表示的曲线是一个点和一条直线 3 到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2 y2 4 方程y 与x y2表示同一曲线 1 方程 x y 2 xy 1 2 0表示的曲线是 a 一条直线和一条双曲线b 两条直线c 两个点d 4条直线答案c由 x y 2 xy 1 2 0得 或即方程表示两个点 1 1 和 1 1 2 若m n为两个定点 且 mn 6 动点p满足 0 则p点的轨迹是 a 圆b 椭圆c 双曲线d 抛物线答案a 0 pm pn 点p的轨迹是以线段mn为直径的圆 3 已知点f 直线l x 点b是l上的动点 若过点b垂直于y轴的直线与线段bf的垂直平分线交于点m 则点m的轨迹是 a 双曲线b 椭圆c 圆d 抛物线答案d由题意知 mf mb 根据抛物线的定义知 点m的轨迹是以点f为焦点 直线l为准线的抛物线 4 已知 abc的顶点b 0 0 c 5 0 ab边上的中线长 cd 3 则顶点a的轨迹方程为 答案 x 10 2 y2 36 y 0 解析设a x y y 0 则d cd 3 9 x 10 2 y2 36 y 0 5 过椭圆 1 a b 0 上任意一点m作x轴的垂线 垂足为n 则线段mn中点的轨迹方程是 答案 1解析设mn的中点为p x y 则点m x 2y 又点m在椭圆上 1 即所求的轨迹方程为 1 考点一直接法求轨迹方程典例1设f 1 0 m点在x轴上 p点在y轴上 且 2 当点p在y轴上运动时 求点n的轨迹方程 解析设m x0 0 p 0 y0 n x y x0 y0 1 y0 x0 y0 1 y0 0 x0 0 由 2得 x x0 y 2 x0 y0 即 x 0 即y2 4x 故所求的点n的轨迹方程是y2 4x 考点突破 方法技巧运用直接法应注意的问题 1 在用直接法求轨迹方程时 在化简的过程中 有时破坏了方程的同解性 此时就要补上遗漏的点或删除多余的点 这是不能忽视的 2 若方程的化简过程是恒等变形 则最后的验证可以省略 1 1设点a为圆 x 1 2 y2 1上的动点 pa是圆的切线 且 pa 1 则p点的轨迹方程为 a y2 2xb x 1 2 y2 4c y2 2xd x 1 2 y2 2 答案d如图 设p x y 圆心为m 1 0 连接ma pm 则ma pa 且 ma 1 又因为 pa 1 所以 pm 即 pm 2 2 所以 x 1 2 y2 2 1 2已知点a 2 0 b 3 0 动点p x y 满足 x2 6 则动点p的轨迹是 答案抛物线 解析因为动点p x y 满足 x2 6 所以 2 x y 3 x y x2 6 所以动点p的轨迹方程是y2 x 即轨迹为抛物线 考点二定义法求轨迹方程典例2 1 若动点m x y 到点f 4 0 的距离比它到直线x 5的距离小1 则点m的轨迹方程是 a x 4b x 4c y2 8xd y2 16x 2 已知圆m x 2 y2 36及定点n 0 点p是圆m上的动点 点q在np上 点g在mp上 且满足 2 0 则点g的轨迹c的方程为 答案 1 d 2 1解析 1 依题意可知点m到点f的距离等于点m到直线x 4的距离 因此点m的轨迹是抛物线 且顶点在原点 焦点在x轴正半轴上 p 8 点m的轨迹的方程为y2 16x 故选d 2 由 q为pn的中点 且gq pn gq所在直线是pn的中垂线 pg gn pm gm gp gm gn 6 2 点g的轨迹是以m n为焦点的椭圆 又a 3 c b 2 点g的轨迹c的方程为 1 方法技巧定义法求曲线方程的常用策略 1 运用圆锥曲线的定义求轨迹方程 可从曲线定义出发直接写出方程 或从曲线定义出发建立关系式 从而求出方程 2 定义法和待定系数法适用于轨迹类型已知的曲线 利用条件把待定系数求出来 使问题得解 2 1已知圆c1 x 3 2 y2 1和圆c2 x 3 2 y2 9 动圆m同时与圆c1及圆c2相外切 求动圆圆心m的轨迹方程 解析如图所示 设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于点a和点b 根据两圆外切得 mc1 ac1 ma mc2 bc2 mb 因为 ma mb 所以 mc2 mc1 bc2 ac1 3 1 2 这表明动点m到两定点c2 c1的距离的差是常数2 根据双曲线的定义 知动点m的轨迹为双曲线的左支 点m到c2的距离大 到c1的距离小 且a 1 c 3 则b2 8 则圆心m的轨迹方程为x2 1 x 1 考点三利用相关点法 代入法 求轨迹方程典例3如图 已知p是椭圆 y2 1上一点 pm x轴于m 若 1 求n点的轨迹方程 2 当n点的轨迹为圆时 求 的值 解析 1 设点p n的坐标分别为p x1 y1 n x y 则m的坐标为 x1 0 且x x1 x x1 y y1 0 y y1 x1 x y 0 y 由 得 0 y y1 0 y y y1 y 即y1 1 y p x1 y1 在椭圆 y2 1上 1 1 2y2 1 1 2y2 1即为所求的n点的轨迹方程 2 要使点n的轨迹为圆 则 1 2 解得 或 当 或 时 n点的轨迹是圆 方法技巧 相关点法 求轨迹方程的基本步骤 1 设点 设被动点坐标为 x y 主动点坐标为 x1 y1 2 求关系式 求出两个动点坐标之间的关系式 3 代换 将上述关系式代入已知曲线方程 便可得到所求动点的轨迹方程 3 1已知曲