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运动媒质中电磁波的相速和群速余稳蔡新华(湖南省常德师范高等专科学校电磁理论研究所 常德 415000)【摘要】 利用不同惯性系之间电磁波传播矢量的相对论变换, 推导了电磁波在运动媒质中传播的相速和群速, 并讨论了它们之间的联系和区别。【关键词】 波矢相对论变换相速群速【分类号】 O44114相速和群速是描述电磁波传播过程的重要物理量。在简单媒质 (各向同性均匀媒质) 中, 电磁波的相速和群速大小相等, 方向相同。 然而在一些复杂媒质 (如各向异性媒质) 中, 电磁波的 相速和群速的表达式则比较复杂。通过对其求解, 可以了解电磁波在这种媒质中传播时的一些重要特点。众所周知, 运动媒质是电磁场理论中受到注意的第一种双各向异性媒质, 当电磁波在运动 媒质中传播时, 其相速和群速与诸多方面因素有关。通常求解比较困难。有些文献报导在某些 特殊条件下进行了求解, 如文献1中讨论了电磁波的传播方向和媒质运动方向一致时的波 速; 文献2讨论了电磁波的传播方向与媒质运动方向垂直和平行的情况。 这样的讨论对于波速与传播方向的依赖关系以及相速与群速的差别还不深入, 没有反映出运动媒质各向异性这 一重要特征。本文利用四维波矢量的洛仑兹变换, 推导了普遍情况下运动媒质中电磁波的相速 和群速, 其结果弥补了上述的不足。1 计算111运动媒质的色散关系设 S 系相对于 S 系以速度 V 沿 X 轴正向运动, 媒质为静止在 S 系中的各向同性均匀媒 质, 其介电常数为 , 磁导率为 , 观察者静止在 S 系中。媒质在其静止参照系 (S 系) 中的色散关系为K 2 - 2 = 0其中 K , 为电磁波在 S 系中的传播矢量和角频率。 利用两惯性系间四维波矢量的变换, 可得如下关系:(1)VK = (K -K = K )C 2(2)= ( -V K )其中 K 、K 和 K 、K 分别代表波矢量在 S 系和 S 系中的平行与垂直于媒质运动方向上的收稿日期: 1997- 05- 19 1994-2013 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. ki.n2V分量。 =1-) - 1 , C 为真空中光速。(C 2将 (2) 式代入 (1) 式中, 得到2 (K - V ) 2 + K 2 -2 ( - V K ) 2 = 0C 2利用 K 2 = K 2 -K 2 , 上式化为2 + 2 (2V - 2 V ) K +(VK 2 + (2 - 1 - 2V 2 ) K 2) 2 2 = 0-C 2C 4利用 = 1 r r , = k 0 , 2 =1( 其中 r、r 为相对介电常数和相对磁导率, k 0 为真空中的C 22C1-波矢量, = V ) , 可得CK 2 + 2 2 (1 -r r ) K 22k 0 2 (r r - 1) K +(2 -r r ) k 2 2 =+00_由于 K = K co s, 其中 为 K 与 V 之间的夹角, 并将上式中的 2 (r r -1) 记为 , 则化简为0(1 - 2 co s2 ) K 2 + 2k 0 co sK - + 1 =k 20 ()()3(3) 式即为运动媒质的色散关系。1. 2运动媒质中的相速度由色散关系 (3) 式, 解出波矢量的值为4 k 0 co s + 4 (1 - co s) ( + 1) k 02 2 2 222-2k 0 co sK =2 (1 - 2 co s)2 2 22 2 22 2- co s co s + + 1 - co s - co s =r k 01 - 2 co s2 2 2- co s1 + ( 1 - co s ) r k=02 co s2 1 -由于当 V 0 时, 即媒质相对于观察者静止时, K = K = k 0r r , 故上式中只能取正号。2 2- co s+ 1 + ( 1 - co s ) r kK =01 - 2 co s2 _而相速度的大小 V p 为_V p = _ Kk 0C _=KKK2 2 1 - co s r C K_=- co s+1 + (1 - 2 co s2 )(4) ( 1 - co s ) 1 + ( 1 - co s ) + co s2 22 2_=r C K1 + (1 - 2 co s2 ) - 2 2 co s2 2 2 co s+1 + (1 - co s ) r C K_=1 + _其中 K 为电磁波传播方向的单位矢量。1. 3运动媒质中群速度将 (3) 式拆开为K 2 - 2 co s2 r K 2 + 2k 0 co sK - + 1 = 0k 20 ()数_2_- 2 (K r V ) 2 + 2 (K r V ) +_ ( + 1) =F (K , ) = K r K群速度的计算公式为20C 2C_V g =_x + 5 5 5_y +_z(5)5K x5K y5K z利用隐函数求导公式, 解群速度各分量为 5 5F 5FV g i = -i = x , y , z5K5K i5i5F_22 (K r V ) + 2 ;_ 而=2K x -5K xC 5F 5K y =2K;y 5F 5F5 _ = 2(K r V ) C - 2 (1 +)5K z =2K zC 2代入 (5) 式即得到群速度表达式为_ _ _K+ C ( - K r V )V- 2_r C 2(6)V g =_ _ + ( - K r V )2讨论与结论从相速度表达式 (4) 式和群速度表达工 (6) 式我们可以看出, 在运动媒质中, 电磁波的相速度的方向与波矢量方向一致, 其大小与波矢量方向和媒质运动方向之间的夹角 有关, 还与媒_质运动速度有关。而群速度除了大小与 和 V 有关外, 其方向关系也比较复杂, 既不与 K 一致_也不与 V 一致, 因此我们可以得出如下几点结论:( 1)在运动媒质中, 电磁波的相速和群速均与电磁波在媒质中的传播方向有关, 这是运动媒质各向异性特征的体现。(2)运动媒质中相速和群速大小一般不等, 方向也不同, 通常情况下, 我们利用_K_ _ _+ C - 2 ( - K r V )V _ _V g r V p = C 2 rrK_ _ + ( - K r V )2K_ _ _ _22- 2= C r K + C ( - K r V ) (K r V )K 2_ _ + ( - K r V )_ _ _22- 2- 22= C r K + C ( K r V ) - C (K r V ) _ _K 2 + ( - K r V )利用 (3) 式有2K 2 - C - 2 (K r V ) 2 = ( +1) - 2 K r V_ _ _C 2C 2代入上式有 ( +1) - K r V_ _C 2C 2 2 2 2C _2V g r V p =r=2 =V p_2KK + - (K r V ) 1994-2013 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. ki.n可见群速在相速方向的分量等于相速。_ _(3)当 K 与 V 同向时, 则群速和相速大小相等, 方向均和 (V 一致, 其大小为2 ) +1 + (1 -V p = V g =r C1 + (r r -21) +1 + r r - 1) (1 - 2 )2 (=r C2 (r r -1 +1)222 (n - 1) + ( 1 - ) 1 + n - 1 r C=1 - 2 + n 2 - 1C+ V n =V1 +nC得到了文献2中的结果当 2 1 时, 只保留 的一次方项, 此时 = (n 2 -(4)1) , 则 (4) 式简化为(n 2 - 1) co s+1 + (n 2 - 1)C 1+ (1 -)V co sn 2V p =r C =1 + (n 2 - 1)n得到著名的菲涅耳公式, 其中 (1- 1 ) 为菲涅耳拖曳系数。n 2参 考 文 献1 马银峰. 运动媒质中的电磁波. 大学物理, 1995, 14 ( 10) : 12 张光潜, 李德杰. 微波与光电子学中的电磁理论. 北京: 电子工业出版社, 1994. 1THE PHA SE VELOC ITY A ND GRO UP VELOC ITY O FEL ECTROM A GNA T IC W A VES IN M O V ING M ED IAY u W enC a i X in h u a( I ns t itu te of E lec t rom ag ne t ic T h eory C h ang d e T each e rsC ol leg e, C h ang d e415000C h ina )A BSTRACTT h e p h a se ve lo c ity an d g ro up ve lo c ity o f e lec t rom agn e t ic w ave s in m o v in g m e2d ia a re de r ived b y re la t iv ist ic t ran sfo rm a t io n o f e lec t rom agn e t ic w ave s p rop aga t io n vec to r s b e tw een tw o in e r t ia l f ram e s an d th e ir re la t io n an d d iffe ren ce a re d iscu ssed.KEY W O RD S w ave vec to r, re