山东省济南市中考数学一轮复习第三章函数第三节反比例函数课件.ppt

第三节反比例函数 知识点一反比例函数的概念及表达式1 一般地 如果两个变量x y之间的对应关系可以表示成 k为常数 k 0 的形式 那么称y是x的反比例函数 其中反比例函数的自变量x的取值范围是 的全体实数 不为0 2 反比例函数表达式的三种形式 1 y k为常数 k 0 2 y kx 1 k为常数 k 0 3 xy k k为常数 k 0 知识点二反比例函数的图象与性质 1 反比例函数y k为常数 k 0 的图象是 它有两个分支且关于 对称 双曲线 原点 2 图象与性质 一 三 二 四 减小 增大 正确理解反比例函数的增减性 注意自变量的取值范围 不能笼统地说y随x的变化而变化 应指明在某一象限内或自变量的取值范围内说明函数的增减变化情况 3 反比例函数y k 0 中k的几何意义从双曲线y k 0 上任意一点向两坐标轴作垂线段 两垂线段与坐标轴围成的矩形面积为 如图1和图2 S矩形OAPB PA PB y x xy k 同理可得S OPA S OPB xy k k 考点一反比例函数的图象与性质 5年5考 例1 2016 天桥三模 在反比例函数y 图象上有A 1 y1 B 2 y2 且y1 y2 则m的取值范围是 A m B m C m D m 分析 直接利用反比例函数的增减性得出1 3m 0 进而求出答案 自主解答 反比例函数y 图象上有两点A 1 y1 B 2 y2 且y1 y2 每个象限内 y随x的增大而减小 则1 3m 0 解得m 故选B 对于反比例函数y k 0 k的符号 图象所在的象限 函数的增减性这三者 知道其中一个 另外两个都可以推出 即k 0 图象在第一 三象限 在每个象限内y随x的增大而减小 k 0 图象在第二 四象限 在每个象限内y随x的增大而增大 1 设点A x1 y1 和B x2 y2 是反比例函数y 图象上的两个点 当x1 x2 0时 y1 y2 则一次函数y 2x k的图象不经过的象限是 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 A 2 2017 潍坊 一次函数y ax b与反比例函数y 其中ab 0 a b为常数 它们在同一坐标系中的图象可以是 C 3 2017 上海 如果反比例函数y k是常数 k 0 的图象经过点 2 3 那么在这个函数图象所在的每个象限内 y的值随x的值增大而 填 增大 或 减小 减小 考点二确定比例系数k的值 5年5考 例1 2016 济南 如图 半径为2的 O在第一象限与直线y x交于点A 反比例函数y x 0 的图象过点A 则k 分析 先求出点A的坐标 再代入反比例函数y x 0 即可解答 自主解答 半径为2的 O在第一象限与直线y x交于点A OA 2 点A的坐标为 把点A代入反比例函数y x 0 得k 2 故答案为2 讲 确定比例系数k的值过反比例函数图象上的任一点分别向两坐标轴作垂线 垂线段与两坐标轴围成的矩形面积等于 k 这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形面积等于 但是需要注意的是 确定k值时 还要结合具体的函数图象所在的象限 这是最易出错的地方 练 链接变式训练4 4 2015 济南 如图 等边三角形AOB的顶点A的坐标为 4 0 顶点B在反比例函数y x 0 的图象上 则k 5 2014 济南 如图 OAC和 BAD都是等腰直角三角形 ACO ADB 90 反比例函数y 在第一象限的图象经过点B 若OA2 AB2 12 则k的值为 6 考点三确定反比例函数的表达式 5年4考 例3如图 反比例函数y 的图象经过Rt OAB的顶点A D为斜边OA的中点 则过点D的反比例函数的表达式为 分析 根据题意设点A坐标 x 由D为斜边OA的中点 可得出D点坐标 从而得出过点D的反比例函数的表达式 自主解答 设点A坐标 x 由D为斜边OA的中点 可知D 故过点D的反比例函数的表达式为y 故答案为y 确定反比例函数的表达式有两种方法 当已知反比例函数图象上一个点的坐标时 可用待定系数法求得函数表达式 当实际问题中的两个变量成反比例函数关系时 且知道其中一组对应值 可用待定系数法求得函数表达式 6 如图 反比例函数y 的图象经过点M 则此反比例函数的表达式为 A y B y C y D y C 7 如图 在直角坐标系中 正方形的中心在原点O 且正方形的一组对边与x轴平行 点P 3a a 是反比例函数y k 0 的图象上与正方形的一个交点 若图中阴影部分的面积等于9 则这个反比例函数的表达式为 考点四反比例函数的综合应用 5年4考 例4 2016 济南 如图1 OABC的边OC在x轴的正半轴上 OC 5 反比例函数y x 0 的图象经过点A 1 4 1 求反比例函数的关系式和点B的坐标 2 如图2 过BC的中点D作DP x轴交反比例函数图象于点P 连接AP OP 求 AOP的面积 在 OABC的边上是否存在点M 使得 POM是以PO为斜边的直角三角形 若存在 请求出所有符合条件的点M的坐标 若不存在 请说明理由 分析 1 由点A的坐标即可求出反比例函数关系式 再根据平行四边形的性质结合点A O C的坐标即可求出点B的坐标 2 延长DP交OA于点E 由点D为线段BC的中点 可求出点D的坐标 再求出点P的坐标 由此即可得出PD EP的长度 根据三角形的面积公式即可得出结论 假设存在 以OP为直径作圆 通过解直角三角形和勾股定理求出点M的坐标 自主解答 1 反比例函数y x 0 的图象经过A 1 4 m 1 4 4 反比例函数的关系式为y x 0 四边形OABC是平行四边形 OC 5 A 1 4 C 5 0 B 6 4 2 如图1 延长DP交OA于点E 点D是BC的中点 D 2 在反比例函数y x 0 中 令y 2 得x 2 P 2 2 PD EP ED PD S AOP S AEP S OEP EP yA yO 3 假设存在点M 使得 POM是以PO为斜边的直角三角形 如图2 以OP为直径作圆 交OC于点M1 交OA于点M2 连接PM1 PM2 P 2 2 O 0 0 M1 2 0 设直线OA的关系式为y kx 点A 1 4 在直线上 k 4 直线OA的关系式为y 4x 设点M2 t 4t 则OM2 t PM2 OM2P 90 OM22 PM22 OP2 即17t2 17t2 20t 8 8 解得t 或t 0 舍去 点M2 故在 OABC的边上存在点M 使得 POM是以PO为斜边的直角三角形 点M的坐标为 2 0 或 8 2017 济南 如图1 OABC的边OC在y轴的正半轴上 OC 3 A 2 1 反比例函数y x 0 的图象经过点B 1 求点B的坐标和反比例函数的关系式 2 如图2 直线MN分别与x轴 y轴的正半轴交于M N两点 若点O和点B关于直线MN成轴对称 求线段ON的长 3 如图3 将线段OA延长交y x 0 于点D 过B D的直线分别交x轴 y轴于E F两点 请探究线段ED与BF的数量关系 并说明理由 解 1 在 OABC中 OC 3 A 2 1 B 2 4 点B在反比例函数y 的图象上 k 2 4 8 故反比例函数的关系式为y 2 点O和点B关于直线MN成轴对称 直线MN是线段OB的垂直平分线 点O 0 0 B 2 4 OB的中点坐标为 1 2 直线OB的关系式为y