2019年高中数学第一章解三角形检测试题（含解析）新人教A版必修5.docx

第一章解三角形检测试题(时间:120分钟满分:150分) 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.在ABC中,a=3,b=,A=60,则cos B等于(D)(A) (B) (C) (D)解析:由正弦定理得=,所以sin B=,因为bc,所以C=,故选A.3.在ABC中,三边a,b,c所对的角分别为A,B,C,若a2+b2=ab+c2,则角C为(B)(A)30 (B)45 (C)150 (D)135解析:因为在ABC中,由余弦定理a2+b2=c2+2abcos C,又a2+b2=ab+c2,所以cos C=,所以C=45,故选B.4.ABC中,=,则ABC一定是(D)(A)等边三角形 (B)直角三角形(C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形解析:由条件知,acos B=bcos A,即sin Acos B-cos Asin B=sin(A-B)=0.所以A=B,故ABC为等腰三角形.故选D.5.已知在ABC中,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若a=2bcos A,B=,c=1,则ABC的面积等于(C)(A) (B) (C) (D)解析:因为a=2bcos A,所以由正弦定理有sin A=2sin Bcos A,将B=代入,得tan A=.因为A是三角形内角,所以A=,所以ABC是等边三角形,所以SABC=12=.故选C.6.某人要利用无人机测量河流的宽度,如图,从无人机A处测得正前方河流的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时无人机的高是60米,则河流的宽度BC等于(C)(A)240 米(B)180(-1)米(C)120(-1)米(D)30(+1)米解析:在RtABD中,AB=60(-).ABC中,BAC=45,C=30,由正弦定理有=,所以BC=120(-1)(米).故选C.7.在ABC中,A=60,a=,b=4,那么满足条件的ABC(C)(A)有一个解(B)有两个解(C)无解 (D)不能确定解析:bsin A=4sin 60=4=2.又a=,且2,则ABC无解.故选C.8.ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,S表示三角形的面积,若asin A+bsin B=csin C,S=(a2+c2-b2),则对ABC的形状的精确描述是(D)(A)直角三角形 (B)等腰三角形(C)等腰或直角三角形(D)等腰直角三角形解析:因为asin A+bsin B=csin C,由正弦定理可知a2+b2=c2,所以ABC为直角三角形,又由三角形的面积公式,可知acsin B=(a2+c2-b2),即sin B=cos B,解得B=,综上所述,可得ABC为等腰直角三角形,故选D.9.在ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A等于(D)(A) (B) (C) (D)解析:因为在ABC中,B=,BC边上的高等于BC,所以AB=BC,由余弦定理得AC=BC,所以BCBC=ABACsin A=BCBCsin A,所以sin A=,故选D.10.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C,=,a=3,sin B=,则b等于(A)(A) (B)2 (C) (D)2解析:由正弦定理,得=,整理得sin B=sin 2C,则sin(A+C)=sin 2C,因为C,2C,则A+C=2C,即A=C,a=c,由sin B=,得cos B=,所以b2=2a2-2a2cos B=3,解得b=.故选A.二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分)11.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=2,C=,tan A=,则sin A=,b=.解析:由tan A=sin A=,cos A=,由正弦定理得,=c=a=5,b=ccos A+acos C=4+.答案:4+12.在ABC中,BC=1,B=,ABC的面积S=,则边AB等于,边AC等于.解析:=ABBCsin B=1ABsin AB=4,因此AC=.答案:413.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-,则sin A=,a的值为.解析:因为cos A=-,所以sin A=,又SABC=bcsin A=bc=3,所以bc=24.因为b-c=2,所以由余弦定理有a2=b2+c2-2bccos A=62+42-264（-）=64.所以a=8.答案:814.在ABC中,已知AB=2,cos B=,若BC=3,AC的长为;若点D为AC中点,且BD=,sin A的值为.解析:由余弦定理可知AC=3;=2|2-|2=9,又因为cos B=,从而可知所以sin A=sin B=.答案:315.如图,某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45距离为10海里的C处,此时得知,该渔船正沿南偏东75方向,以每小时9海里的速度向一小岛靠近,舰艇每小时行驶21海里,设舰艇在B处与渔船相遇,则舰艇与渔船相遇的最短时间是.解析:设舰艇到达渔船的最短时间是x小时,在ABC中,AC=10,AB=21x,BC=9x,ACB=120,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB,即441x2=100+81x2-2109xcos 120,化简,得36x2-9x-10=0,解得x=或x=-(舍去),即舰艇与渔船相遇的最短时间是40分钟.答案:40分钟16.在ABC中,点D在直线AB上,CDBC,AC=5,CD=5,BD=2AD,则AD的长为.解析:如图所示,延长BC,过A作AEBC,垂足为E,因为CDBC,所以CDAE,因为CD=5,BD=2AD,所以=,解得AE=,在RtACE中,CE=,由=2得BC=2CE=5,在RtBCD中,BD=10,则AD=5.答案:517.已知ABC满足BCAC=2,若C=,=,则AB=.解析:因为=,所以=-,所以b=a,又ab=2,所以a=,b=2,c2=a2+b2-2abcos C=10,所以AB=c=.答案:三、解答题(本大题共5小题,共74分)18.(本小题满分14分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足acos B=bcos A.(1)判断ABC的形状;(2)求sin B+cos（A+）的取值范围.解:(1)由acos B=bcos A,根据正弦定理,得sin Acos B=sin Bcos A,即sin(A-B)=0,在ABC中,有-A-B,所以A-B=0,即A=B,所以ABC是等腰三角形.(2)由(1),A=B,则sin B+cos（A+）=sin A+（cos A-sin A）=sin A+cos A=sin（A+）.因为A=B,所以0A,则A+,所以sin（A+）1,于是sin B+cos（A+）的取值范围是（,1.19.(本小题满分15分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cos Bcos C.(1)求cos A;(2)若a=3,ABC的面积为2,求b,c.解:(1)因为3(cos Bcos C+sin Bsin C)-1=6cos Bcos C,所以3cos Bcos C-3sin Bsin C=-1,所以3cos(B+C)=-1,所以cos(-A)=-,所以cos A=.(2)由(1)得sin A=,由面积公式bcsin A=2可得bc=6根据余弦定理得cos A=,则b2+c2=13,两式联立可得b=2,c=3或b=3,c=2.20.(本小题满分15分)如图,我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛,小岛B与小岛A、小岛C相距都为5 n mile,与小岛D相距为3 n mile.小岛A对小岛B与D的视角为钝角,且sin A=.(1)求小岛A与小岛D之间的距离;(2)记小岛D对小岛B与C的视角为,小岛B对小岛C与D的视角为,求sin(2+)的值.解:(1)因为sin A=,且角A为钝角,所以cos A=-=-.在ABD中,由余弦定理得AD2+AB2-2ADABcos A=BD2,所以AD2+52-2AD5(-)=(3)2,所以AD2+8AD-20=0,解得AD=2或AD=-10(舍去),所以小岛A与小岛D之间的距离为2 n mile.(2)在BCD中,由正弦定理,=,即=,解得sin =,由BCBD,所以 为锐角,所以cos =,又sin(+)=sin(180-C)=sin C=,cos(+)=cos(180-C)=-cos C=-,所以sin(2+)=sin+(+)=sin cos(+)+cos sin(+)=.21.(本小题满分15分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,b=4,B=+A.(1)求tan A的值;(2)求c的值.解:(1)因为a=3,b=4,B=+A,所以由正弦定理可得=,所以3cos A=4sin A,可得tan A=.(2)由(1)得tan B=tan(+A)=-=-,所以cos B=-=-,sin B=,sin A=sin(B-)=-cos B=,cos A=,所以cos C=-cos(A+B)=sin Asin B-cos Acos B=-(-)=,所以c=.22.(本小题满分15分)如图,在ABC中,A,ABC,C所对的边分别为a,b,c,且asin Acos C+csin Acos A=c, D为AC边上一点.(1)若c=2b=4,SBCD=,求DC的长;(2)若D是AC的中点,且cosABC=,BD=,求ABC的最短边的边长.解:因为asin Acos C+csin Acos A=c,所以sin Asin Acos C+sin Csin Acos A=sin C,即sin AsinABC=sin C.(1)因为c=2b,所以sin C=2sinABC,则sin A=,所