高中数学第二讲本讲小结学案新人教A版选修.docx

第二节 平面与圆柱面的截线整合提升知识网络典例精讲 直线与圆的位置关系是初等几何的核心,通过本章学习进一步熟悉并应用分类思想、运动变化思想和猜想与证明的数学思想方法. 本讲有四类问题,一是与圆有关角的计算与证明,二是圆内接四边形性质与判定,三是切线的性质与判定,四是与圆有关线段的计算与证明.【例1】 如图2-1,EB、EC是O的两条切线,B、C是切点,A、D是O上两点,如果E=46,DCF=32,则A的度数是_.图2-1思路分析:要求A,可转化为求BCD.由已知DCF的度数,想到先求ECB的度数,从而注意到题目所给的EB、EC为切线,将ECB与E的度数联系起来.解法一:EB、EC是O的切线,EC=EB.又E=46,ECB=67.DCF=32,BCD=180-67-32=81.A+BCD=180,A=180-81=99.温馨提示 本解法借助切线长定理和圆内接四边形的有关性质,此题还可借助于弦切角定理来求.解法二:连结AC,EB、EC是O切线,图2-2EB=EC.ECB=67.EF切O于点C,BAC=ECB=67,CAD=DCF=32.BAD=BAC+DAC=67+32=99.答案:99【例2】 如图2-3,D、E是ABC的BC、AC两边上两点,且ADB=AEB.求证:CED=ABC.图2-3思路分析:要证CED=ABC,容易想到圆内接四边形的性质.而证A、B、D、E四点共圆,用圆内接四边形判定定理不易找到条件,我们采用分类讨论思想.证明:作ABE的外接圆O,则点D与O有三种位置关系:点D在圆外;点D在圆内;点D在圆上.(1)如果点D在圆外,设BD与O交于点F,连结AF,则AFB=AEB,而AEB=ADB.AFB=ADB.这与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾.故点D不能在圆外.(2)如果点D在圆内,设O与CD交于F,连结AF,则AFB=AEB.又AEB=ADB,AFB=ADB.这也与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾.故点D不可能在圆内.综上所求,A、B、D、E在同一圆上.CED=ABC.温馨提示 通过证四点共圆,然后利用圆内接四边形的性质是本题的一个特色,四点共圆的证明除了圆内接四边形的判定定理及推论外,定理本身的证明方法就是一种有效的证法.证法中分类讨论思想是该证法的精髓,以反证法和圆周角定理作为辅助手段.【例3】如图2-4,已知RtABC中,B=90,AC=13,AB=5,O是AB上的点,以O为圆心,OB为半径作O.(1)当OB=2.5时,O交AC于点D,求CD的长.(2)当OB=2.4时,AC与O的位置关系如何?试证明你的结论.图2-4思路分析:求CD的长容易想到利用圆幂定理.其中AC已知,只需求BC并证BC为切线即可.解:(1)在RtABC中,BC=12.B=90,OB为半径,BC是O切线.又AB=5,OB=2.5,OA=2.5,即A在圆上.由切割线定理,得BC2=CDAC.CD=.(2)当OB=2.4时,AC是O的切线,如图2-5.图2-5证明:过O作OMAC于M,则AOMACB.OM=2.4,即点O到AC的距离等于O的半径.AC切O于点M.【例4】 如图2-6,已知P是直径AB延长线上的一点,割线PCD交O于C、D两点,弦DFAB于点H,CF交AB于点E.(1)求证:PAPB=POPE;(2)若DECF,P=15,O的半径为2,求CF的长.图2-6思路分析:由PAPB立刻想起割线定理.只需证PCPD=POPE.(1)证明:连结OD.DFAB,=.又AOD度数等于度数的一半,DCF度数等于度数的一半,AOD=DCF.180-AOD=180-DCF.POD=PCE,P为公共角.PCEPOD.PCPD=POPE.由割线定理PCPD=PAPB,PAPB=POPE.(2)解析:ABDF,DE=EF.DECF,DEF为等腰直角三角形.F=FEH=HDE=45.P=15,DCF=P+CEP=15+45=60.DOH=60.在RtODH中,DH=ODsinDOH=2sin60=.在RtDHE中,DE=.在RtCDE中,DCE=60,EC=DEcot60=.CF=EF+CE=.温馨提示 在圆中证明线段的关系式首要考虑的是圆幂定理,结合相似三角形进行等比代换或等线代换;圆中角的关系,则往往利用圆周角、弦切角、圆心角与弧的关系转化.【例5】 如图2-7,四边形ABCD内接于O, =,E为CB延长线BM上的动点,当E点运动到某一位置满足一定条件时,就有ABDA=BECD成立,问该结论成立的条件是什么?请注明条件并给予证明.图2-7思路分析:若ABDA=BECD成立,则需成立,考虑利用ABE与ACD相似,其中ABE=D,ACD=ACB,只需EAB=ACB,只要EA是O切线.当EA切O于A时,ABDA=BECD成立.证明:连结AC,EA切O于A,EAB=ACB.AD=AB,ACB=AC