2016年四川省高考最后一卷(押题卷)理科数学(第四模拟)(解析版).docx

百校联盟2016年四川省高考最后一卷（押题卷）理科数学(第四模拟)一、选择题：共10题1已知全集为R,集合A=x|x-10,B=x|x2-5x+60,则AB=A.2,3B.(2,3)C.1,+)D.R【答案】D【解析】本题考查一元二次不等式的解法、集合的运算.先求出两个集合A,B,再利用集合知识结合数轴求解即可.A=x|x-10=1,+),B=x|x2-5x+60=x|x2或x3,故AB=R. 2已知复数z满足(1-i)z-=2+i(i为虚数单位),则z=A.12+32iB.12-32iC.32+12iD.32-12i【答案】B【解析】本题主要考查复数的概念、复数的基本运算等,考查基本的运算能力.首先根据方程表示出z,然后利用复数的除法运算法则进行求解即可;也可直接设出复数z=a+bi(a,bR),代入方程进行整理,根据复数相等的概念列出方程组分别求出实部和虚部.解法一由已知得z=2+i1-i=(2+i)(1+i)(1-i)(1+i)=1+3i2=12+32i,故z=12-32i.故选B.解法二设z=a+bi(a,bR),则z=a-bi.故由已知可得(1-i)(a-bi)=2+i,即(a-b)+(-a-b)i=2+i,所以a-b=2-a-b=1,解得a=12b=-32,所以z=12-32i. 故选B 3若命题q:x0(0,2),tanx0sinx0,则下列说法正确的是A.命题q为假命题;q:x0(0,2),tanx0sinx0B.命题q为假命题;q:x(0,2),tanxsinxC.命题q为真命题;q:x0(0,2),tanx0sinx0D.命题q为真命题;q:x(0,2),tanxsinx【答案】B【解析】本题主要考查含量词的命题的真假判断及其否定、同角三角函数的关系、不等式的性质等,考查基本的逻辑推理能力等.首先根据同角三角函数的关系把切函数化为弦函数,再根据三角函数的有界性和不等式的性质判断命题q的真假,最后根据含量词的命题的否定进行判断.因为当x(0,2)时,cosx(0,1),所以tanx=sinxcosxsinx恒成立,故命题q为假命题.命题q是一个特称命题,其否定是一个全称命题,即q:x(0,2),tanxsinx.故选B. 4已知向量b=(cos12,cos512),|a|=2|b|,且(3a+b)b=-2,则向量a、b的夹角为A.3B.23C.56D.6【答案】C【解析】本题考查同角三角函数关系式、向量的数量积等,考查基本的运算能力等.首先根据三角函数关系式求出|b|,确定|a|,然后根据向量数量积的运算求出ab,最后求夹角.b2=cos212+cos2512=cos212+sin212=1,所以|b|=1,|a|=2.由(3a+b)b=-2可得,3ab+b2=-2,故ab=-3,cos=ab|a|b|=-321=-32.又0,所以=56,故选C. 5如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为A.23+4B.2+43C.3+4D.+43【答案】D【解析】本题考查三视图的识别、组合体的结构特征及其体积的求解等,考查空间想象能力和基本的运算能力等.首先根据三视图确定几何体的结构特征,然后根据三视图中的数据确定几何体的几何量,最后求解几何体的体积即可.如图,由三视图可知,该几何体是一个半圆柱与一个四棱锥的组合体,其中四棱锥的底面ABCD为圆柱的轴截面,顶点P在半圆柱所在圆柱OO1的底面圆上,且点P在AB上的射影为底面圆的圆心O.由三视图中的数据可得,半圆柱所在圆柱的底面半径r=1,母线长l=2,故半圆柱的体积V1=12r2l=12122=;四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形,PO底面ABCD,且PO=r=1,故其体积V2=13S正方形ABCDPO=13221=43.故该几何体的体积V=V1+V2=+43. 6为贯彻落实中央1号文件的精神和新形势下国家粮食安全的战略部署,农业部把马铃薯作为主粮产品进行产业化开发,记者获悉,我国推进马铃薯产业开发的目标是:力争到2020年,将马铃薯种植面积扩大到1亿亩以上.某种植基地对编号分别为1,2,3,4,5,6的六个不同品种的马铃薯在如图所示的A,B,C,D,E,F这六块田地上进行对比试验,要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯,若种植时要求编号为1,3,5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻,且2号品种的马铃薯不能种植在A,F这两块实验田上,则不同的种植方法有A.432种B.456种C.534种D.720种【答案】A【解析】本题考查排列组合的实际应用,考查考生基本的逻辑推理能力与计算能力.本题可以利用直接法,先对相邻的品种实施捆绑,然后安排2号品种外的全部品种,最后利用插空法安排2号品种;也可先求出1,3,5这三个品种中至少有两个相邻的所有情况,最后排除2号品种种植在A,F实验田上的情况即可.解法一(直接法)第一步:从编号为1,3,5的三个品种中选出两个捆绑在一起,不同的种植方法有A32种;第二步:将捆绑之后的2个元素与除2号品种之外的两个品种,共4个元素进行全排,不同的种植方法有A44种;第三步:上述4个元素排好后形成5个空,但2号品种不能插在两端的空中,不同的种植方法有A31种.由分步计数原理可得,不同的种植方法共有A32A44A31=6243=432种.解法二(排除法)第一步:从编号为1,3,5的三个品种中选出两个捆绑在一起,不同的种植方法有A32种;第二步:将捆绑之后的2个元素与其他的三个品种,共5个元素进行全排列,不同的种植方法有A55种;所以“编号为1,3,5的三个品种中至少有两个相邻”的不同种植方法共有A32A55=6120=720种.其中2号品种种植在A,F实验田上的方法共有C21A32A44=2624=288种.所以满足条件的不同种植方法有720-288=432种. 7如图,若n=4,则输出的结果为A.3031B.6263C.1415D.126127【答案】A【解析】本题考查循环结构的程序框图以及基本的计算能力与逻辑推理能力等.只需按照程序框图的指向逐步进行计算,直至满足输出条件即可;也可以首先确定程序框图的整体功能,然后代入相应的数值进行计算.解法一开始,k=1,S=0,故S=0+21(21-1)(22-1)=213=23,因为14,故进入循环.k=1+1=2,S=23+22(22-1)(23-1)=23+437=1821=67,因为24,故进入循环.k=2+1=3,S=67+23(23-1)(24-1)=67+8715=98715=1415,因为34,故进入循环.k=3+1=4,S=1415+24(24-1)(25-1)=1415+161531=3031,此时44不成立,所以输出S,即输出3031.解法二由程序框图可知,该程序输出的结果为数列2k(2k-1)(2k+1-1)的前n项和Sn.因为2k(2k-1)(2k+1-1)=(2k+1-1)-(2k-1)(2k-1)(2k+1-1)=12k-1-12k+1-1,所以Sn=(121-1-122-1)+(122-1-123-1)+(123-1-124-1)+(12n-1-12n+1-1)=121-1-12n+1-1=1-12n+1-1,故当n=4时,输出的结果为S4=1-125-1=3031. 8已知O为坐标原点,点A的坐标为2,1,点B(x,y)(x,y)|x+2y-30x+3y-30y1,则|OB|cos的取值范围为A.3,63B.33,23C.55,655D.5,65【答案】C【解析】本题考查简单的线性规划、元素与集合的关系、向量的数量积等,考查基本的运算能力、数形结合的数学思想等.首先画出集合中的不等式组所表示的平面区域,然后根据数量积运算化简|OB|cos,确定对应的目标函数,利用数形结合的方法确定最优解,从而确定取值范围.如图,画出不等式组所表示的平面区域(阴影部分).而OA=(2,1),OB=(x,y),所以|OB|cos=OAOB|OA|=2x+y5=55(2x+y).设z=2x+y,由图可知,当直线过点M时,目标函数z=2x+y取得最大值;当直线过点N时,目标函数z=2x+y取得最小值.由x+2y-3=0x+3y-3=0,解得M(3,0);由x+3y-3=0y=1,解得N(0,1).所以z=2x+y的最大值为23+0=6;最小值为20+1=1.故|OB|cos=55(2x+y)=55z的最大值为655,最小值为55,故其取值范围为55,655,故选C. 9已知定义在R上的函数fx满足fx+2=-fx,当x0,4)时,fx=|x2-2x+12|.若函数y=fx-m在区间-3,5上有8个互不相同的零点,则实数m的取值范围是A.(0,12)B.(0,1C.(12,1)D.12,1【答案】A【解析】本题考查函数的零点,考查考生的数形结合思想.由于定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数f(x)的周期为4,作出函数f(x)在-3,5上的图象和直线y=m如图所示,从图象可以看出,实数m的取值范围为(0,12). 10如图,已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为2,以双曲线C的实轴为直径的圆记为圆O,过点F2作圆O的切线,切点为P,则以F1、F2为焦点,过点P的椭圆T的离心率为A.5-32B.5-3C.7-34D.7-3【答案】D【解析】本题考查双曲线与椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系以及余弦定理等,考查逻辑推理能力与计算能力.首先根据双曲线的几何性质确定圆的半径,然后利用直线和圆相切以及余弦定理分别求出|PF2|、|PF1|,进而利用椭圆的定义求出椭圆的长轴长,最后代入椭圆的离心率公式求解.解法一由题意可知,圆O的方程为x2+y2=a2,其半径r=a.因为P为切点,所以|OP|=r=a,且OPPF2.在RtPOF2中,|PF2|=|OF2|2-|OP|2=c2-a2=b,故cosOF2P=|PF2|OF2|=bc.在PF1F2中,|F1F2|=2c,由余弦定理可得,|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2-2|PF2|F1F2|cosOF2P=b2+(2c)2-2b2cbc=4c2-3b2=4c2-3(c2-a2)=3a2+c2,所以|PF1|=3a2+c2.设椭圆T的长轴长为2a1,其焦距|F1F2|=2c,则2a1=|PF1|+|PF2|=3a2+c2+b=3a2+c2+c2-a2,故椭圆T的离心率e1=2c2a1=2c3a2+c2+c2-a2=2ca3+(ca)2+(ca)2-1=223+22+22-1=47+3=7-3.解法二由题意可知,圆O的方程为x2+y2=a2,其半径r=a.因为P为切点,所以|OP|=r=a,且OPPF2.由已知ca=2,所以ba=3,即c=2a,b=3a.在RtPOF2中,|PF2|=|OF2|2-|OP|2=c2-a2=b=3a,故cosOF2P=|PF2|OF2|=bc=32.在PF1F2中,|F1F2|=2c=4a,由余弦定理可得,|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2-2|PF2|F1F2|cosOF2P=(3a)2+(4a)2-23a4a32=7a2,所以|PF1|=7a.设椭圆T的长轴长为2a1,其焦距|F1F2|=2c=4a,则2a1=|PF1|+|PF2|=7a+3a=(7+3)a,故椭圆T的离心率e1=2c2a1=4a(7+3)a=7-3. 二、填空题：共5题11某工厂为了了解一批产品的净重(单位:克)情况,从中随机抽测了200件产品的净重,所得数据均在区间96,106内,其频率分布直方图如图所示,已知0.050,a,b,c,d依次构成等差数列,则在抽测的200件产品中,净重在区间98,102)内的产品件数是.【答案】100【解析】本题考查频率分布直方图的特点以及相应数值的求解、等差数列的性质,考查基本的识图与计算能力等.首先根据已知,利用频率分布直方图的性质(小长方形的面积之和为1)求出纵轴上的相应数据,进而求得指定区间内的频率,最后即可求得频数.由题意可知0.050,a,b,c,d构成等差数列,设公差为t,由小长方形的面积之和为1可得(0.050+a+b+c+d)2=1,即0.050+a+b+c+d=0.5,所以50.050+542t=0.5,解得t=0.025.所以b=0.050+0.0252=0.100;d=0.050+0.0254=0.150.所以净重在区间98,102)内的频率为(b+d)2=(0.100+0.150)2=0.5,净重在区间98,102)内的产品件数为2000.5=100. 12(x2-x-2)5的展开式中x3的系数为.【答案】120【解析】本题考查二项式定理的应用,考查二项展开式中指定项系数的求解,考查考生的运算求解能力.因为(x2-x-2)5=(x-2)5(x+1)5,所以(x2-x-2)5的展开式中x3的系数为C52(-2)215+C53(-2)3C54+C54(-2)4C53+C55(-2)5C52=40-400+800-320=120. 13已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a=253b,A=2B,则sinB=.【答案】23【解析】本题主要考查正弦定理以及同角三角函数关系式、二倍角公式等,考查基本的运算能力以及转化与化归的数学思想.首先根据已知,利用正弦定理、二倍角公式得到cosB,然后根据同角三角函数关系式求解即可.由正弦定理asinA=bsinB,知ab=sinAsinB=253,所以sinA=sin 2B=253sinB,即2sinBcosB=253sinB,所以cosB=53,故sinB=1-cos2B=1-(53)2=23. 14若定义在0,4上的函数f(x)=-sin(12x)与函数g(x)=x3+bx+c在同一点处有相同的最小值,则b-c的值为.【答案】-4【解析】本题考查三角函数的最值和利用导数求函数在闭区间上的最值.在0,4上仅当x=1时,f(x)min=-1,此时g(1)=312+b=0,b=-3,g(1)=13+(-3)1+c=-1,c=1,此时g(x)=x3-3x+1,g(x)=3(x2-1),x=1是极小值点,也是最小值点,符合题意,b-c=-4. 15已知在数列an中,a1=1,an+1=1+1an,给出以下四个结论:对任意的正整数n,都有1an2;2|an+1-an|an-an-1|,其中nN*,且n2;对任意的正整数n,都有|an+1-an|(13)n-1;a2 015a2 016a2 017.其中正确的结论是.(写出所有正确结论的序号)【答案】【解析】本题考查导数的应用、数列的性质、递推数列的推导等知识,考查考生综合分析问题、解决问题的能力.由题意可知,对任意的正整数n,an1.考虑函数f(x)=1+1x,易知f(x)=-1x20,所以函数f(x)在其定义域上单调递减,故当x1时,1f(x)2, 所以1an+12,又a1=1,因此对任意的正整数n,1an2,正确;当n2时,由an+1=1+1an得an=1+1an-1,两式相减得an+1-an=(1+1an)-(1+1an-1)=an-1-ananan-1|an+1-anan-an-1|=1anan-1,而an=1+1an-1anan-1=an-1+1,由知2an-1+13,故2anan-13,从而|an+1-anan-an-1|12,故2|an+1-an|an-an-1|,正确;由可知,|an+1-anan-an-1|13,且易知a2=2,a2-a1=1,则|an+1-an|13|an-an-1|(13)2|an-1-an-2|(13)n-1|a2-a1|=(13)n-1,正确;由an+1-an=an-1-ananan-1(an+1-an)(an-an-1)0,a3-a2=-120,a2n+1-a2na2 015且a2 016a2 017,错误. 三、解答题：共6题16已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|2)的部分图象如图所示,其中|PQ|=25.(1)求f(x)的最小正周期及解析式;(2)设g(x)=f(x)+2sinx,求函数g(x)在区间0,2上的最大值和最小值.【答案】(1)由题图可知A=2,P(x1,-2),Q(x2,2),所以|PQ|=(x1-x2)2+(-2-2)2=(x1-x2)2+42=25,整理得,|x1-x2|=2.所以f(x)的最小正周期T=2|x1-x2|=4.由2=4,解得=2.又函数f(x)的图象过点(0,-3),所以2sin=-3,即sin=-32,又|2,所以=-3.所以f(x)=2sin(2x-3).(2)g(x)=2sin(2x-3)+2sin2x=2sin2xcos3-2cos2xsin3+2sin2x=3sin2x-3cos2x=23(32sin2x-12cos2x)=23sin(2x-6).因为0x2,所以-62x-656,故当2x-6=2,即x=43时,g(x)有最大值,且最大值为23;当2x-6=-6,即x=0时,g(x)有最小值,且最小值为-3.【解析】本题考查三角函数的图象、最小正周期、最值等,考查考生的逻辑推理能力和计算能力以及转化与化归、数形结合的思想等.(1)首先根据函数图象上的两个最值点的坐标及已知的距离确定函数的最小正周期,进而求得的值,然后根据函数图象与y轴的交点坐标确定的值,进而得出函数解析式;(2)根据(1)的结果化简函数g(x)的解析式,进而分析其在区间0,2上的最值.【备注】根据三角函数的图象确定函数解析式,要注意两个方面:一是准确把握函数图象的特点与函数解析式中相应参数之间的对应关系,如A由最值确定、由最小正周期确定、由点确定;二是准确利用相应的结论,如正弦函数、余弦函数图象中,两个相邻最值点的横坐标之差的绝对值等于最小正周期的一半、两个相邻对称中心之间的距离等于最小正周期的一半、两条相邻对称轴之间的距离等于最小正周期的一半等.17在微信群中抢红包已成为一种娱乐,甲、乙两人经常在微信群中抢红包.(1)已知甲在A微信群中发现某位“微友”发放的4个红包中1元的红包有2个、2元和3元的红包各有1个.若该微信群中恰有三人在线,且每个红包都被抢走,每人不限制抢得红包的个数,求甲抢得红包的总钱数为4的概率;(2)已知A群中发了3个红包,其中1元的红包有2个,3元的红包有1个,此时B群发了2元与4元的红包各有1个,据统计乙在A、B两个群中抢得红包的概率如下表所示:若乙不能同时在A、B两个微信群中抢红包,则他应该选择哪一个微信群?试说明理由.【答案】(1)若不限制抢红包的个数,则三人抢红包的不同结果有34=81种.记“甲抢得红包的总钱数为4”为事件A,则该事件包含“甲抢得1元红包1个,3元红包1个”、 “甲抢得1元红包2个,2元红包1个”这两个互斥事件.其中“甲抢得1元红包1个,3元红包1个”的不同结果有C21C1122=8种;“甲抢得1元红包2个,2元红包1个”的不同结果有C22C112=2种.所以事件A发生的概率为P(A)=8+281=1081.(2)设乙在A微信群中抢得红包的钱数为X,则X=0,1,2,3,4,5.P(X=0)=C20(1-13)2(1-14)=13;P(X=1)=C2113(1-13)(1-14)=13;P(X=2)=C22(13)2(1-14)=112;P(X=3)=C20(1-13)214=19;P(X=4)=C2113(1-13)14=19;P(X=5)=C22(13)214=136.所以X的分布列为故X的数学期望E(X)=013+113+2112+319+419+5136=1712.设乙在B微信群中抢得红包的钱数为Y,则Y=0,2,4,6.P(Y=0)=(1-12)(1-16)=512;P(Y=2)=12(1-16)=512;P(Y=4)=(1-12)16=112;P(Y=6)=1216=112.所以Y的分布列为故Y的数学期望E(Y)=0512+2512+4112+6112=2012=53.显然E(X)E(Y),所以乙应选择在B微信群中抢红包.【解析】本题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望以及互斥事件、相互独立事件的概率计算等,考查考生的实际应用能力与计算能力等.(1)首先求出总的基本事件个数与对应事件所包含的基本事件个数,然后利用古典概型的概率计算公式求解即可;(2)首先分别求出乙在A、B两个微信群中抢红包的钱数的分布列,然后分别求出数学期望并进行比较,即可得到相应的结论.【备注】求解离散型随机变量的分布列与数学期望时,一定要明确每个变量的取值所对应的事件发生的过程,这样才能判断事件的性质,进而选用相应的概率模型求其概率,如本题第(2)问中乙在A微信群中抢得红包的钱数为1,其对应的事件为:甲在A微信群中抢得1元红包1个,3元的红包没抢到,这两个事件本身是相互独立的,而抢1元红包时又是一个独立重复试验,所以应选用相互独立事件与独立重复试验的概率公式进行求值.18如图,已知平行四边形ABCD与EMN所在的平面都与矩形BDEF所在的平面垂直,且BAD=60,AB=MN=2AD=2,EM=EN,F为MN的中点.(1)求证:MNAD;(2)若直线AE与平面ABCD所成的角为60,求二面角M-AB-C的余弦值.【答案】(1)在ABD中,BAD=60,AB=2,AD=1,由余弦定理可得BD2=AB2+AD2-2ABADcosBAD=22+12-221cos60=3,所以BD=3,AD2+BD2=AB2,所以ADBD.又平面ABCD平面BDEF,平面ABCD平面BDEF=BD,所以AD平面BDEF.在EMN中,EM=EN,F为MN的中点,所以MNEF,又平面EMN平面BDEF,平面EMN平面BDEF=EF,所以MN平面BDEF.所以MNAD.(2)在矩形BDEF中,EDBD,又平面ABCD平面BDEF,平面ABCD平面BDEF=BD,所以ED平面ABCD.所以EAD为直线AE与平面ABCD所成的角,故EAD=60.在RtEAD中,ED=ADtanEAD=1tan60=3.如图,以D为坐标原点,分别以DA、DB、DE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,3,0),E(0,0,3),F(0,3,3),M(1,3,3),MA=(0,-3,-3),AB=(-1,3,0).因为DE平面ABCD,所以DE=(0,0,3)为平面ABCD的一个法向量.设平面MAB的法向量为n=(x,y,z),所以nMAnAB,即nMA=-3y-3z=0nAB=-x+3y=0,整理得y+z=0x=3y,令y=1,则x=3,z=-1,所以n=(3,1,-1)是平面MAB的一个法向量.所以cos=DEn|DE|n|=-313(3)2+12+(-1)2=-55.设二面角M-AB-C的大小为,由图可知(90,180),所以cos=cos=-55.【解析】本题考查空间几何体的结构特征、线线平行的证明、线面角与二面角的求解以及空间向量的基本运算和应用等,考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力及计算能力等.(1)首先证明ADBD,MNEF,进而由面面垂直的性质定理得到AD平面BDEF,MN平面BDEF,即得结论;(2)首先根据已知的线面角求出ED的长度,然后根据(1)中的线面垂直关系建立空间直角坐标系,求出相应点的坐标,利用空间向量进行求解即可.【备注】空间线面关系的证明,多以平面图形中的线线平行与垂直关系作为起点,所以要灵活利用平面图形中的相关结论,如证明平行关系时,常用到“中位线”,而证明垂直关系时,常用到等腰三角形的中线、菱形的对角线等,也要注意解三角形在解决此类问题中的应用,并且计算证明也是近几年高考命题的一大特点;一般利用空间向量法求解空间角,该种方法简单直接,通过建立空间直角坐标系转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题或两平面的法向量的夹角问题,只需准确进行坐标运算即可,但要注意向量夹角与所求角之间的准确转化,特别是线面角的求解,否则易造成失误.19设数列an的前n项和为Sn,且a1=2,an+1+1=2Sn.(1)求数列an的通项公式;(2)已知在数列bn中,b1=a1,当n2时,bn是nan与n+1an+1的等差中项,其前n项和为Tn,求使得不等式Tn3n2-14n-54+353n43n+1成立的最小正整数n.【答案】(1)由an+1+1=2Sn,得当n2时,an+1=2Sn-1,两式相减得an+1-an=2(Sn-Sn-1)=2an,即an+1=3an,故an+1an=3(n2).当n=1时,a2=2S1-1=2a1-1=3,此时a2a1=323,故数列an从第二项起构成公比为q=3的等比数列,所以当n2时,an=a2qn-2=33n-2=3n-1.故an=2,n=13n-1,n2.(2)当n2时,由已知得,bn=12(nan+n+1an+1)=12(n3n-1+n+13n)=4n+123n,故bn=2,n=14n+123n,n2.当n=1时,T1=b1=2;当n2时,Tn=b1+b2+b3+bn-1+bn=2+42+1232+43+1233+4(n-1)+123n-1+4n+123n,3Tn=6+42+123+43+1232+4(n-1)+123n-2+4n+123n-1,-得,2Tn=4+96+4232+423n-1-4n+123n=4+32+2(132+13n-1)-4n+123n=112+21321-(13)n-21-13-4n+123n=112+13-(13)n-1-4n+123n=356-4n+723n.故Tn=3512-4n+743n.显然,当n=1时,T1=3512-41+743=2,上式也成立.所以Tn=3512-4n+743n.不等式Tn3n2-14n-54+353n43n+1等价于43n+1Tn3n2-14n-54+353n,即43n+1(3512-4n+743n)3n2-14n-54+353n,整理得,3n2-2n-330,即(3n-11)(n+3)0,解得n-3(舍去)或n113.又nN*,所以满足条件的最小正整数n为4.【解析】本题考查数列的前n项和Sn与通项公式an之间的关系、等比数列的定义及应用、错位相减法求和以及不等式等,考查考生的运算能力等.(1)首先利用Sn与an之间的关系,将已知转化为an+1与an之间的递推关系,进而判断出当n2时,数列an为等比数列,然后求其通项公式;(2)首先根据(1)以及等差中项求出数列bn的通项公式,然后根据其结构特征采用相应的求和方法求出Tn的表达式,代入不等式进行化简求解,从而求得最小的正整数n.【备注】(1)利用数列的前n项和Sn与通项公式an之间的关系求数列的通项公式时,要注意an=Sn-Sn-1成立的前提是n2,所以一定要检验数列的首项,防止错解;(2)数列求和的依据就是数列的通项公式的结构特征,常考的有错位相减法、裂项相消法以及分组求和法等,计算的准确性是关键.20已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P,Q(异于顶点O)在抛物线上.(1)若点P(1,2),试求过点P且与抛物线相切的直线方程;(2)若过点P,Q且与抛物线分别相切的直线交于点M,证明:|PF|,|MF|,|QF|依次成等比数列.【答案】(1)由题意得,设过点P(1,2)且与抛物线相切的直线方程为y-2=k(x-1).则y2=4x,y=kx-k+2,消元、化简得k2x2-(2k2-4k+4)x+(k-2)2=0.因为直线与抛物线相切,所以1=(2k2-4k+4)2-4k2(k-2)2=0,化简得k2-2k+1=0,解得k=1.所以满足条件的切线方程为x-y+1=0.(2)设P(m2,2m),Q(n2,2n),m0,n0,PM:y-2m=k1(x-m2),则y2=4x,y=k1x-k1m2+2m,消元、化简得k1y2-4y-4k1m2+8m=0.因为直线PM与抛物线相切,所以2=16-4k1(-4k1m2+8m)=0,化简得k12m2-2k1m+1=0,解得k1=1m.所以PM:x-my+m2=0.同理可得QM:x-ny+n2=0.所以这两条切线PM与QM的交点M(mn,m+n).又F(1,0),所以|MF|2=(mn-1)2+(m+n)2=m2+n2+m2n2+1.因为|PF|=m2+1,|QF|=n2+1,且|PF|QF|=(m2+1)(n2+1)=m2n2+m2+n2+1.所以|MF|2=|PF|QF|.所以|PF|,|MF|,|QF|依次成等比数列.【解析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系.(1)将直线与抛物线方程进行联立,利用相切的关系,计算得到切线的斜率,从而得到直线方程;(2)利用抛物线的切线相交得到交点坐标,然后计算线段长度,利用等比数列的