定积分及其应用(高数)

存在定理的概念 广义积分 定积分 定积分的性质 定积分的计算法 牛顿 莱布尼茨公式 第五章定积分及其应用 定积分的应用 1 定积分的定义 定义 1 定积分的概念 记为 积分上限 积分下限 积分和 1 定积分表示一个数 它只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即 注意 3 可积的必要条件 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 2 定积分的几何意义 性质1 性质2 性质3 区间可加性 2 定积分的性质 性质5 推论 比较定理或有序性 1 2 性质4 此性质可用于估计积分值的大致范围 性质6 估值性质 性质7 定积分中值定理 积分中值公式 解 令 于是 例1 解 例3 证明 证明 令 则 令 得驻点为 因为 所以 从而 即 变上限的定积分函数 3 变上限的定积分函数及其导数 变上限的定积分函数的性质 说明 变上限的定积分函数对积分上限x的一阶导数等于将被积函数表达式中的变量记号t改写为积分上限x所得到的函数 而与积分下限a无关 补充 解根据定理 得 例2 求F x 解根据定理 得 例3 求 x 解 x 例4求 解 分析 这是型不定式 应用洛必达法则 证 证 令 由零点存在定理知 在 0 1 之间至少存在一点 定理3 微积分基本公式 牛顿 莱布尼茨公式 4 牛顿 莱布尼茨公式 1 直接积分法 5 定积分的计算 2 凑微分法 第一类换元法 3 变量替换法 第二类换元法 4 分部积分法 则有 定积分换元公式 1 定积分的换元法 定积分的分部积分公式 2 定积分的分部积分法 设 有连续的导数 则 定理2 由不定积分的分部积分法 及N L公式 类似于不定积分的分部积分法 反 对 幂 指 三 奇 偶函数在对称区间上的定积分性质 三角函数的定积分公式 周期函数的定积分公式 3 重要公式 奇 偶函数在对称区间上的定积分性质 且有 则 则 例 例 三角函数的定积分公式 周期函数的定积分公式 这个公式就是说 周期函数在任何长为一周期的 区间上的定积分都相等 例1设 求 解 例2求 解 例3计算 解 例4计算下列定积分 解 例5 解 解 令 原式 例6 例7计算 解 令 则 例8计算 解 故 思考 例11 解 法一 法二 即 6 广义积分 1 无穷限的广义积分 2 无界函数的广义积分 1 无穷限的广义积分 例1计算广义积分 解 例2计算广义积分 解 证 2 无界函数的广义积分 例4计算广义积分 解 证 7 定积分的应用 1 平面图形的面积 2 旋转体的体积 3 平面曲线的弧长 1平面图形的面积 1 直角坐标情形 如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积 2 参数方程所表示的函数 2 旋转体的体积 绕固定轴旋转所成旋转体的体积 选为积分变量 解 由 得交点 解 两曲线的交点 选为积分变量 解 椭圆的参数方程 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积 例4 求由 所围平面 解 计算由椭圆 所围图形绕x轴 旋转而成的椭球体的体积 解 方法1利用直角坐标方程 则 利用对称性 例