初三教材第二章二次函数.doc

二次函数一、知识点归纳1、二次函数的定义一般地，形如yax2bxc(a，b，c为常数，a0)的函数，叫二次函数其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项2、二次函数的自变量的取值范围（1）一般情况下，二次函数的自变量的取值范围是全体实数如二次函数y2x2x1，y=x22，它们的自变量x的取值范围为全体实数（2）实际问题中的二次函数，其自变量的取值范围还必须使实际问题有意义如圆的面积S与圆的半径r的关系式Sr2是一个二次函数，自变量r的取值范围是r0，这里r不能小于或等于03、回顾学过的函数一次函数ykxb(k0)，其中包括正比例函数ykx(k0).反比例函数(k0)，二次函数yax2bxc(a0)，这些函数的名称都反映了函数解析式与自变量的关系二、例题讲解例1、下列函数中哪些是二次函数？y=3x2；y=x(3x)；y=ax2bxc(x为自变量)答案：是二次函数变式练习1下列函数中，不是二次函数的是（）ABy=(x1)(x1)Cy=x22x1Dy=(x1)2x2答：A为y=2x2，B为y=x21，D为y=x22x1x2=2x1，故D不是二次函数例2、当k为何值时，函数为二次函数？解：由二次函数定义得由得k=1；由得k1，k=1，当k=1时，为二次函数变式练习2若为二次函数，则m=_答：m=2，m=2例3、把一根长为40cm的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为xcm，它的面积为ycm2，则y与x之间的函数关系式为_，自变量x的取值范围为_解：长方形的一边长为xcm，则另一边长为(20x)cm，面积y=x(20x)=x220x依题意，0x20故两个空分别填y=x220x，0x20变式练习3一个正方形的边长为3cm，它的边长减少xcm后，得到的正方形的面积为ycm2，则y与x之间的函数关系式为_，自变量x的取值范围是_答：y=(3x)2=x26x9，0x010、某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，经市场调查发现，每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少售3箱（1）求平均每天销量y（箱）与售价x（元/箱）之间的关系式；（2）求该批发商每天的销售利润w(元)与售价x(元/箱)之间的函数关系式；（3）求当每箱售价为60元时，平均每天所获利润为多少元？收起答案解：（1）y=90(x50)3=3x240；（2）w=(x40)90(x50)3=3x2360x9600；（3）当x=60时，w=3602360609600=1200(元)课外拓展已知函数（1）当函数是二次函数时，求m的值；（2）当函数是一次函数时，求m的值分析：（1）是二次函数的条件是：m22m22并且m2m0；（2）是一次函数的条件是：m22m21并且m2m0解：（1）依题意，得m22m22，解得m2或m0；又因m2m0，解得m0或m1；因此m2（2）依题意，得m22m21解得m1；又因m2m0，解得m0或m1；因此m1点评：本题主要考查一次函数与二次函数的定义与一般形式中考解析锦州）下列函数关系中，是二次函数的是（）A、在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B、当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C、等边三角形的周长C与边长a之间的关系D、圆心角为120的扇形面积S与半径R之间的关系分析：本题考查二次函数的定义根据各选项的意思，列出个选项的函数表达式，再根据二次函数定义的条件判定解：A、y=mx+b，当m0时（m是常数），是一次函数，错误；B、，当s0时，是反比例函数，错误；C、C=3a，是正比例函数，错误；D、，是二次函数，正确故选D二次函数y=ax2的图象知识点归纳:1、前面通过描点的方法作出一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，我们仍然通过描点的方法作出二次函数y=ax2的图象，其图象为抛物线2、一般地，抛物线y=ax2(a0)的对称轴是y轴，顶点是(0，0)当a0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，当x=0时，y有最小值，最小值为0；当a0时，y随x的变化情况解：由题意知，由得m=2，或m=1结合，取m=1，当x0时，y随x的增大而减小变式练习2已知二次函数若其图象开口向上，则k=_；若当x0时，y随x的增大而增大，则k=_答案：若图象开口向上，则k=3；若当xx20，则y1与y2的大小关系是_答案：a=0时，y随x的增大而减小， x1x20，y1y2例3、二次函数的图象如图所示，则它的解析式为_若另一函数的图象与该函数的图象关于x轴对称，则它的解析式为_解：顶点为原点，对称轴为y轴的抛物线的解析式为y=ax2把x=2，y=1代入，得1=a22，a=，则关于x轴对称的另一抛物线的解析式为变式练习4若二次函数y=x2(m22m)xm的图象关于y轴对称，且以原点为顶点，求该二次函数的解析式解：依题意m=0，故解析式为y=x2例4、已知函数y=ax2(a0)与函数y=kx2的图象交于A、B两点，其中点A的坐标为(1，1)（1）求a，k的值和两个函数的解析式；（2）求B点的坐标解：（1）点A在抛物线上，1=a(1)2，a=1，y=x2点A在直线上，1=k(1)2，k=1，y=x2（2）设B的坐标为(m，n)，则B点的坐标为（2，4）变式练习5如图，点P(x，y)是抛物线y=x2上的一动点，点A的坐标为（3，0），若OPA的面积为S（1）求S与x的函数关系式；（2）画出函数图象；（3）S是否有最小值？若有，求出S的最小值；否则，说明理由解：（1）过P作PBx轴于B，则PB=y=x2，S=OAPB=3x2=x=0时，PB0，S=(x0)（2）S=(x0)是开口向上，对称轴为y轴的抛物线，但不含原点图略（3）x0，S不存在最小值同步测试一、选择题1、二次函数y=(k1)x2k29的图象开口向下，且过原点，则k为（）A3 B3C3 D02、对于二次函数y=a2x2(a0)，下列说法不对的是（）A其图象是顶点在原点的抛物线B当a0时，y随x的增大而增大的是（）Ay=2x By=2x2C Dy=2x2交卷 本次测试共3道，您答对了0道，您的百分制得分为：25.00 OK，你本部分基础扎实，分析及解决问题的能力较强。若想稳住，勤练多思。别骄傲！你本部分基础知识掌握较好，有一定分析问题和解决问题的能力，若要再上一个档次，需在高、难度题上下工夫。再细心点，再加把劲！本部分知识你需要进一步加强对基础知识的理解和识记。在多练习的基础上提高自己的分析及解决问题的能力，做题要仔细，继续努力！你对本部分知识的掌握不够扎实，请多用心，加强理解和识记。别灰心，加油哦！重做ABCB卷二、填空题4、二次函数y=ax2(a0)的图象是_，它的对称轴是_，顶点是_5、抛物线y=2x2与y=2x2关于_对称6、二次函数，当x1x20时，y1与y2的大小关系为_7、二次函数，当k=_时，其图象开口向上8、二次函数y=3x2，y=3x2，的图象的共同特点是_收起答案4、抛物线y轴原点5、x轴6、y10时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，且当x=0时，y有最小值，最小值为k；当a0时，把抛物线y=ax2向上平移k个单位得到抛物线y=ax2k；当k0时，把抛物线y=ax2向下平移|k|个单位得到y=ax2k精讲精练：例1、抛物线y=3x2的顶点坐标是_，抛物线y=3x22的顶点坐标是_，抛物线y=3x22可由抛物线y=3x2向_平移_个单位得到解：抛物线y=3x2的顶点坐标为(0，0)，y=3x22的顶点坐标为(0，2)，抛物线y=3x22可由抛物线y=3x2向上平移2个单位得到变式练习1把二次函数的图象向下平移1个单位，得到的二次函数解析式为_，把二次函数y=2x23的图象向上平移4个单位，所得的二次函数解析式为_答案：，y=2x234=2x21例2、若二次函数y=x2(m1)x(m3)的图象的顶点在y轴上，则m的值是多少？解：依题意，该二次函数的图象以y轴为对称轴，而以y轴为对称轴的抛物线的一般形式为y=ax2k(a0)，m1=0，m=1变式练习2已知二次函数y=ax23的图象与x轴没有公共点，则a的取值范围是_，这个函数有最_值，是_答案：其顶点为(0，3)，与x轴没有公共点，开口必向下，a0，故有最大值，为3例3、已知二次函数y=ax2c，当x0，c0Ba0，c0Ca0，c0Da0解：当x0，顶点在x轴上方，c0故选A变式练习3已知二次函数的图象在x轴上方，则m的值为（）A3B1C1D3或1答案：依题意由得m1=3，m2=1，由得m2，m=3故选A例4、已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y=x21上，下列说法正确的是（）A若y1=y2，则x1=x2B若x1=x2，则y1=y2C若0x1y2D若x1x2y2解：抛物线y=x21是轴对称图形，若y1=y2，则x1=x2，反过来，当x1=x2时，y1=y2，故A、B都不对因为抛物线开口向上，所以当x0时，y随x的增大而增大，故选D变式练习4已知点A(1，y1)，B(1.5，y2)，C(2，y3)在函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）Ay1y2y2y3Cy1y3y2Dy3y1y2答案：先作出函数的大致图象01.52，y3y2由抛物线的轴对称性可知，x=1时，其函数值都为y1，而011.5，y1y2y1故选A例5、若二次函数y=ax22，当x0时，y随x的增大而增大（1）判断抛物线的开口方向及与x轴的交点个数；（2）若图象过点(2，6)，求a的值及抛物线与x轴交点的坐标解：（1）当x0时，y随x的增大而增大，a0，抛物线开口向上，又顶点为(0，2)在y轴的负半轴上，抛物线与x轴有两个交点（2）图象过点(2，6)，6=a(2)22，a=2，y=2x22，令y=0，0=2x22，x=1故与x轴交点坐标为(1，0)，(1，0)变式练习5抛物线y=x24与x轴交于B、C两点，顶点为A，求ABC的面积答案：令y=0，则0=x24，x=2，B、C两点的坐标分别为(2，0)，(2，0)，A的坐标为(0，4)，SABC=BCOA=44=8同步测试一、选择题1、若二次函数y=(m3)x2m29的图象的顶点坐标为原点，则m的值为（）A3 B3C3 D无法确定2、与抛物线顶点相同，对称轴相同，但开口方向相反的抛物线是（）A BC Dy=2x21交卷 BA本次测试共2道，您答对了0道，您的百分制得分为：25.00 OK，你本部分基础扎实，分析及解决问题的能力较强。若想稳住，勤练多思。别骄傲！你本部分基础知识掌握较好，有一定分析问题和解决问题的能力，若要再上一个档次，需在高、难度题上下工夫。再细心点，再加把劲！本部分知识你需要进一步加强对基础知识的理解和识记。在多练习的基础上提高自己的分析及解决问题的能力，做题要仔细，继续努力！你对本部分知识的掌握不够扎实，请多用心，加强理解和识记。别灰心，加油哦！重做B卷二、填空题3、抛物线y=ax2k(a0)的对称轴为_，顶点坐标为_4、抛物线y=x23是由抛物线y=x2向_平移_个单位得到；将抛物线y=x2向上平移5个单位得到抛物线_5、函数当x_时，y随x的增大而减小当x=_时，函数有最_值，是_6、函数的图象向上平移2个单位后，所得图象的顶点坐标为_，当x_0时，y随x的增大而增大7、抛物线y=x21向_平移_个单位得抛物线y=x25收起答案3、y轴(0，k)4、下3y=x255、00大26、(0，2)0，c0？x为何值时，y0？收起答案解：（1）图象如图所示令y=0，则x24=0，x=2，与x轴两交点为(2，0)，(2，0)（2）由图象可看出，当x2时，y0；当2x2时，y0时，若xh，则y随x的增大而增大；当x=h时，y有最小值k；当a0时，若xh，则y随x的增大而减小；当x=h时，y有最大值k3、抛物线y=a(xh)2k(a0)与y=ax2(a0)的关系抛物线y=ax2向右(h0)或向左(h0)或向下(k0)平移|k|个单位得抛物线y=a(xh)2k精讲精练：例1、已知二次函数y=(x1)23（1）写出该函数的图象的顶点坐标和对称轴；（2）说明这个二次函数的最大值（或最小值）是多少？解：（1）y=(x1)23=x(1)23，顶点坐标为(1，3)，对称轴为直线x=1；（2）a=10)个单位后经过原点，则所得解析式为y=a(x1m)24，把(0，0)代入得0=a(01m)24，(m1)2=4，m0，m1=2，m=1，把y=(x1)24向右平移1个单位后，所得图象过原点；若把其图象向左平移m(m0)个单位后经过原点，则所得抛物线的解析式为y=a(x1m)24，把(0，0)代入得0=a(01m)24，(m1)2=4m0，m=3，把y=(x1)24向左平移3个单位后，所得图象过原点变式练习3已知二次函数图象的顶点为（1，2），且过点（0，）（1）求二次函数的表达式；（2）求证：对任意实数m，点(m，m2)都不在这个二次函数的图象上答案：（1）设y=ax(1)22，把(0，)代入得=a(01)22，a=，y=(x1)22；（2）证明：假设点(m，m2)在其图象上，则m2=(m1)22，m22m3=0此方程无实根，故点(m，m2)不在其图象上变式练习4如图所示在一个圆形喷水池中心竖直安装了一根水管，在水管的顶端安一个喷水笼头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管高几米？答案：以水管所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，则顶点为（1，3），且抛物线过点（3，0）设抛物线为y=a(x1)23，把（3，0）代入得0=a(31)23，y=(x1)23令x=0，得y=(01)23=2.25，水管高2.25米同步测试一、选择题1、抛物线y=3(x2)21与y=3(x2)21的图象的关系是（）A关于原点对称 B关于x轴对称C关于y轴对称 D以上均不对2、抛物线y=a(xk)2k，无论k为何值，顶点在（）Ay=x上 By=x上Cx轴上 Dy轴上1、 正确答案是C，2、正确答案是B， B卷二、填空题3、抛物线y=2(x2)24的开口向_，顶点坐标为_，对称轴为_4、抛物线y=2(x2)24可由抛物线y=2x2先向_平移_个单位，再向_平移_个单位得到5、抛物线y=(x1)22的开口向_，顶点坐标为_，先向_平移_个单位，再向_平移_个单位得到y=x26、已知二次函数y=2(x1)22，当_时，y随x的增大而减小；已知二次函数y=2(x1)22，当_时，y随x的增大而增大7、已知二次函数y=2(x1)22，当x=_时，y有最_值，为_8、已知y=a(xh)2k是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的，则ahk=_收起答案3、下（2，4）直线x=24、右2下45、上（1，2）右1下26、x17、1大28、解析：y=a(xh)2k即y=(x1)22，a=，h=1，k=2，ahk=三、解答题9、若一个二次函数的图象的对称轴为，且图象过A（0，4），B（4，0）求此二次函数解析式收起答案解：设二次函数解析式为y=a(x)2k，把A（0，4），B（4，0）代入上式得10、已知一条抛物线的开口方向和形状大小与抛物线y=8x2都相同，且它的顶点在抛物线y=2(x)2的顶点处（1）求这条抛物线的解析式；（2）求把（1）中的抛物线向左平移5个单位后的抛物线的解析式；（3）将（2）中所求的抛物线绕顶点旋转180，求旋转后的抛物线的解析式收起答案解：（1）y=8(x)2；（2）y=8(x5)2=8(x)2；（3）因旋转180后只是开口方向改变，而开口大小不变，顶点不变，故解析式为y=8(x)2课外拓展、已知二次函数的图象与x轴有且只有一个交点A(2 ，0)，与y轴的交点为B(0，4)，且其对称轴与y轴平行（1）求该二次函数的解析式，并在所给出坐标系中画出这个二次函数的大致图象；（2）在该二次函数位于A、B两点之间的图象上取上点M，过点M分别作x轴、y轴的垂线段，垂足分别为点C、D求矩形MCOD的周长的最小值，并求使矩形MCOD的周长最小时的点M坐标分析：（1）利用待定系数法由题意可设抛物线的解析式再将已知的B点坐标代入可求出a得出解析式，（2）设点M的坐标为（m，n），将其代入抛物线的解析式可得出m，n之间的关系式nm2+4m+4；再由矩形周长公式可得出周长L与m，n之间的二次函数关系式L2(nm)；消去n可得出L与m二次函数关系式，利用顶点坐标式可求出结果解：（1）题意可知点A(2，0)是抛物线的顶点，设抛物线的解析式为其图象与y轴交于点B(0，4)，44a，a1抛物线的解析式为(2)设点M的坐标为（m，n），则m0，n0，n(m+n)2m2+4m+4，设矩形MCOD的周长为L，则L2(MC+MD)2()2(nm)2(m2+4m+4m)2(m2+3m+4)2(m+)2+当m时，L有最小值，此时n点M的坐标为（，）点评：能用数形结合，归纳的数学思想，根据二次函数表达式确定二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标.画出二次函数的图像，同时，能观察，分析二次函数的图像，获取尽可能多的信息，研究二次函数的性质，并能解决简单的实际问题.在全国各地历年中考中，这类题型出现频率非常高，并常以填空，选择题，解答题出现.中考解析例1、（永州）由二次函数y2（x3）21，可知（）A、其图象的开口向下B、其图象的对称轴为直线x3C、其最小值为1D、当x3时，y随x的增大而增大分析：根据二次函数的性质，直接根据a的值得出开口方向，再利用顶点坐标的对称轴和增减性，分别分析即可解：由二次函数y2（x3）21，可知：Aa0，其图象的开口向上，故此选项错误；B其图象的对称轴为直线x3，故此选项错误；C其最小值为1，故此选项正确；D当x3时，y随x的增大而减小，故此选项错误故选：C例2、（成都）把抛物线yx2向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为（）A、yx21B、y（x1）2C、yx21D、y（x1）2分析：易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（1，0）；可设新抛物线的解析式为y（xh）2k代入得：y（x1）2，故选D点评：抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标二次函数y=ax2bxc的图象与性质知识归纳:1、用配方法可把y=ax2bxc(a0)化成y=a(xh)2k的形式，因此y=ax2bxc(a0)的图象是一条抛物线，形状与y=ax2的形状相同，只是位置不同2、y=ax2bxc配方为，故抛物线y=ax2bxc的顶点为，对称轴为直线3、二次函数y=ax2bxc的图象与性质如下：当a0时，抛物线y=ax2bxc的开口向上，时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最小值，则抛物线的顶点是其最低点当a0Bb0Dc0故选A变式练习3抛物线y=x26xc的顶点在x轴上，则c的值为（）A0B9C9D6答案：，c=9故选B例4、一次函数y=x3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，二次函数y=x2bxc的图象过点A、B（1）求点A、B的坐标；（2）求二次函数的解析式及其最小值解：（1）对于y=x3，令x=0，y=3；令y=0，x=3，A(3，0)，B(0，3)（2）分别把（3，0），（0，3）代入y=x2bxc得b=2，c=3，y=x22x3y=x22x3=(x22x1212)3=(x1)24，a=10，该函数的最小值为4变式练习4若二次函数y=ax24xa1的最小值为2，求a的值答案：该函数有最小值，a0，又最小值为2，解得a1=4，a2=1a0，a2=1舍去，a=4变式练习5请写出一个开口向上，对称轴为直线x=3，且与y轴交点坐标为（0，3）的抛物线答案：设y=(x3)2k，把(0，3)代入得3=(03)2k，k=6，y=(x3)26答案不唯一同步测试一、选择题1、已知二次函数y=2x22kx3的顶点在x轴的负半轴上，则k的值为（）A6 B6C D2、抛物线y=2x2bxc的顶点坐标为（1，2），则b与c的值分别为（）A1，2 B4，2C4，0 D4，0交卷 依题意故选D本次测试共2道，您答对了0道，您的百分制得分为：25.00 OK，你本部分基础扎实，分析及解决问题的能力较强。若想稳住，勤练多思。别骄傲！你本部分基础知识掌握较好，有一定分析问题和解决问题的能力，若要再上一个档次，需在高、难度题上下工夫。再细心点，再加把劲！本部分知识你需要进一步加强对基础知识的理解和识记。在多练习的基础上提高自己的分析及解决问题的能力，做题要仔细，继续努力！你对本部分知识的掌握不够扎实，请多用心，加强理解和识记。别灰心，加油哦！重做1、正确答案是D依题意故选D2、正确答案是D，B卷二、填空题3、抛物线y=x220x的顶点坐标为_，对称轴为_4、二次函数y=x24x2，当x=_，函数有最小值_，当x_时，y随x增大而减小5、已知抛物线y=ax2bxc的对称轴为x=1，形状、开口方向与抛物线y=2x2相同，且过（0，0），则a=_，b=_，c=_6、已知点（2，5），（4，5）是抛物线y=ax2bxc(a0)上的两点，则这条抛物线的对称轴为_收起答案3、（10，100）直线x=104、26 25、2406、直线x=3三、综合题7、二次函数y=4x2mx5，当x2时，y随x的增大而增大；当x2时，y随x的增大而减小，则当x=2时，函数值为多少？收起答案解：依题意，m=16，y=4x216x5当x=2时，y=4221625=118、将抛物线y=x2bxc向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线y=x22x5求b和c的值收起答案解：b、c是未知的，倒过来移更好求解y=x22x5=(x1)24，向上平移2个单位，向左平移4个单位得y=x2bxc，故有(x14)242=x2bxc，b=6，c=159、二次函数y=ax2bxc的部分对应值如下表：x320135y708957求抛物线的解析式收起答案解：方法1：可任选其中的三对值代入y=ax2bxc中，得到关于a，b，c的方程组，可求a，b，c的值方法2：从表中可看出（3，7），（5，7）的纵坐标相同，故抛物线的对称轴为x=1，顶点恰为（1，9）设y=a(x1)29，把（2，0）代入得0=a(21)29，a=1，y=(x1)29课外拓展1、已知二次函数的图象经过点A（，0），求证这个二次函数的图象关于直线=2对称，其中省略号部分是一段被墨水染污了无法辨认的文字，根据现有信息，请你确定题中二次函数的可能的解析式，并说明理由。解析：由二次函数y=x2bxc的图象经过点A（，0）可以得到关于b、c的方程，再由这个二次函数的图象关于直线=2对称可知其对称轴为=2，可得到另一个关于b的方程。联立即可求出b、c。解答：二次函数的图象经过点A（，0） c2bcc=0这个二次函数的图象关于直线=2对称对称轴为=2=2 b=4 c23c=0 c=0或3二次函数的可能的解析式为y=x24x或y=x24x32、如图，在直角坐标系中，A、B是x轴上两点，以AB为直径的圆交y轴于C，设过A、B、C三点的抛物线关系式为y=x2-mxn，若方程x2-mx+n=0的两根倒数和为-2（1）求n的值；（2）求此抛物线的关系式；（3）设平行于x轴的直线交该抛物线于E、F两点，问是否存在以线段EF为直径的圆恰好