高考数学一轮复习 第四章 三角函数 4.2 三角函数的图象及性质课件 文.ppt

第四章三角函数 高考文数 4 2三角函数的图象及性质 知识清单 考点一三角函数的图象及性质 考点二三角函数的图象及其变换1 用五点法画y asin x 一个周期内的简图用五点法画y asin x 一个周期内的简图时 要找五个关键点 如下表所示 2 由函数y sinx的图象变换得到y asin x a 0 0 图象的步骤上述两种变换的区别 先相位变换再周期变换 伸缩变换 平移的量是 个单位 而先周期变换 伸缩变换 再相位变换 平移的量是 0 个单位 原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言的 知识拓展三角函数的综合应用1 三角函数y asin x y acos x 的定义域为r y atan x 的定义域为 2 函数y asin x y acos x 的最大值为 a 最小值为 a 函数y atan x 的值域为r 3 函数y asin x 图象的对称轴为x k z 对称中心为 k z 函数y acos x 图象的对称轴为x k z 对 称中心为 k z 函数y atan x 图象的对称中心为 k z 4 函数y asin x y acos x 的图象与x轴的交点都为对称中心 过波峰 波谷且垂直于x轴的直线都为对称轴 5 函数y atan x 的图象与x轴的交点和渐近线与x轴的交点都为对称中心 无对称轴 6 求三角函数最值常见的函数形式 1 y asinx bcosx sin x 其中cos sin 2 y asin2x bcos2x a b 0 y asin2x bcos2x sin 2x 其中tan 再利用有界性处理 3 y asin2x bcosx c a 0 可转化为关于cosx的二次函数式 4 y asinx a b c 0 令sinx t 则转化为求y at 1 t 1 且t 0 的最值 一般可结合图象求解 5 y a sinx cosx bsinx cosx c型常用换元法 令t sinx cosx t 则sinxcosx 把三角问题转化为代数问题求解 注意新元的取值范围 由图象确定三角函数解析式的方法确定解析式y asin x b a 0 0 的步骤和方法 1 求a b 先确定函数的最大值m和最小值m 则a b 2 求 确定函数的最小正周期t 则 3 求 的常用方法 代入法 把图象上的一个已知点的坐标代入 此时a b可知 或代入图象与直线y b的交点坐标求解 此时要注意交点的横坐标是在递增区间上 还是在递减区间上 五点法 确定 的值时 往往以寻找 五点法 中的第一个点为突破口 具体步骤如下 选 第一个点 即图象上升时与直线y b的交点 时 方法技巧 令 x 0 选 第二个点 即图象的 峰点 时 令 x 选 第三个点 即图象下降时与直线y b的交点 时 令 x 选 第四个点 即图象的 谷点 时 令 x 选 第五个点 时 令 x 2 例1 2016课标全国 3 5分 函数y asin x 的部分图象如图所示 则 a a y 2sinb y 2sinc y 2sind y 2sin 解题导引由图象的最高点与最低点得a由图象得周期t 确定 值利用代入法求出 值写出函数解析式 解析由题图可知a 2 则t 所以 2 则y 2sin 2x 因为题图经过点 所以2sin 2 所以 2k k z 即 2k k z 当k 0时 所以y 2sin 故选a 三角函数周期和对称轴 对称中心 的求解方法1 三角函数周期的求解方法 定义法 公式法 函数y asin x y acos x 的最小正周期t 函数y atan x 的最小正周期t 图象法 对于含有绝对值符号的三角函数的周期可画出函数的图象 从而观察出周期大小 转化法 对于较为复杂的三角函数 可通过恒等变换将其转化为y asin x b 或y acos x b或y atan x b 的类型 再利用公式法求得 2 三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法 熟记以下各函数图象的对称轴与对称中心 y sinx图象的对称轴为x k k z 对称中心为 k 0 k z y cosx图象的对称轴为x k k z 对称中心为 k z y tanx图象的对称中心为 k z 无对称轴 利用整体代换思想求解函数y asin x 图象的对称轴和对称中心 令 x k k z 解得x k z 即为对称轴方程 令 x k k z 解得x k z 即为对称中心的横坐标 纵坐标为0 例2 2017山东 7 5分 函数y sin2x cos2x的最小正周期为 c a b c d 2 解题导引利用辅助角公式化为同名三角函数利用t 得出最小正周期 解析y sin2x cos2x 2sin 从而最小正周期t 例3 2018河南中原名校联考 6 将函数f x sin的图象向右平移个单位后得到函数g x 的图象 则 a a g x 在上单调递减 为奇函数b g x 在上单调递增 为偶函数c g x 的周期为 图象关于点对称d g x 的最大值为1 图象关于直线x 对称 解题导引由f x 的解析式根据平移法则求出g x 的解析式逐项进行判断得出正确结论 解析由题意得g x sin sin 2x sin2x 对于选项a 当x 时 2x 满足g x 单调递减 显然g x 是奇函数 故a正确 对于选项b 由于g x 的周期为 且为奇函数 故b错误 对于选项c g x 的周期为 而g 0 故g x 的图象不关于点对称 c错误 对于选项d g x 的最大值为1 而g 0 因此图象不关于直线x 对称 故d错误 由此可知选a 三角函数的单调性与最值 值域 的求解方法1 求函数y asin x 或y acos x 或y atan x 的单调区间时 一般先将x的系数化为正值 通过诱导公式转化 再把 x 视为一个整体 结合基本初等函数y sinx 或y cosx或y tanx 的单调性找到 x 在x r上满足的条件 通过解不等式求得单调区间 2 三角函数的最值和值域问题一般有两种类型 形如y asinx b a 0 或y acosx b a 0 的函数的最值或值域问题 利用正 余弦函数的有界性 1 sinx 1 1 cosx 1 求解 求三角函数取最值时相应自变量x的集合时 要注意考虑三角函数的周期性 形如y asin2x bsinx c x d a 0 或y acos2x bcosx c x d a 0 的函数的最值或值域问题 通过换元 令t sinx 或t cosx 将原函数化为关于t的二次函数 利用配方法求其最值或值域 求解过程中要注意t的范围 例4 1 2017课标全国 6 5分 函数f x sin cos的最大值为 a a b 1c d 2 2017安徽二模 6 函数f x cos 0 的最小正周期是 则其图象向右平移个单位后对应函数的单调递减区间是 b a k z b k z c k z d k z 解题导引 1 利用两角和与差的正余弦公式将f x 化成同名三角函数利用函数的有界性得其最大值 2 由最小正周期是 得 的值利用平移法则得平移后的解析式利用换元思想及三角函数的单调性求函数的单调递减区间 解析 1 f x sin cos cosx sinx sinx cosx 2sin sin f x 的最大值为 故选a 2 由函数f x cos 0 的最小正周期是 得 解得 2 则 f x cos 将其图象向右平移个单位后 对应函数的解析式为y cos cos sin2x 由 2k 2x 2k k z 解得所求单调递减区间为 k z 故选b 例5 2015重庆 18 13分 已知函数f x sin2x cos2x 1 求f x 的最小正周期和最小值 2 将函数f x 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍 纵坐标不变 得到函数g x 的图象 当x 时 求g x 的值域 解题导引 1 通过三角变换将f x 化为asin x b的形式由公式t 求其最小正周期利用