高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.2 平面向量的数量积及平面向量的应用课件 文.ppt

第五章平面向量 高考文数 5 2平面向量的数量积及平面向量的应用 知识清单 考点一向量数量积的定义及长度 角度问题1 两向量夹角的定义和范围 2 两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件 3 平面向量的数量积 4 向量数量积的性质设a b都是非零向量 e是与b方向相同的单位向量 是a与e的夹角 则 1 e a a e a cos 2 a b a b 0 3 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b 特别地 a a a 2 4 cos 5 a b a b 5 坐标表示 1 若a x y 则a a a2 a 2 x2 y2 a 2 若a x1 y1 b x2 y2 则 这就是平面内两点间的距离公式 考点二利用向量解决平行 垂直问题若两个非零向量a x1 y1 b x2 y2 则 1 a b x1x2 y1y2 0 2 a b x1y2 x2y1 0 拓展延伸向量中常用的结论 在 abc中 设 a b c所对的边分别为a b c 1 在 的条件下 存在 使得i为 abc的内心 a b c 0 p为 abc的内心 2 p为 abc的外心 3 0 g为 abc的重心 4 p为 abc的垂心 求平面向量模长的方法1 把几何图形放到适当的坐标系中 写出有关向量的坐标 求向量的长度 如向量a x y 求向量a的模长只需利用公式 a 即可 2 若不把向量放到坐标系中研究 则求此类问题的通法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式 关键是会把向量a的模进行如下转化 a 例1 2017河北 五个一名校 联盟模拟 4 已知向量a b满足 a 2 b 4 则 3a 2b b a 52b 2c d 2 方法技巧 解题导引由题意求得a b的值利用 3a 2b 求得结果 解析由题意 得a b a b cos 2 4 cos 4 所以 3a 2b 2 故选b 例2 2018河南安阳调研 15 已知直角梯形abcd中 ad bc adc 90 ad 2 bc 1 p是腰dc上的动点 则 3 的最小值为 解题导引根据题意 建立适当的平面直角坐标系设出相应点的坐标 求得 3的坐标表示出 3 利用函数思想得最小值 解析建立平面直角坐标系如图所示 则a 2 0 设p 0 y c 0 b 则b 1 b 且0 y b 所以 3 2 y 3 1 b y 5 3b 4y 所以 3 0 y b 所以当y b时 3 取最小值5 答案5 求平面向量夹角的方法1 定义法 利用向量数量积的定义知 cos 其中两个向量的夹角 0 求解时应求出三个量 a b a b 或找出这三个量之间的关系 2 坐标法 若a x1 y1 b x2 y2 为a b的夹角 则cos 3 三角函数法 可以把所求两向量的夹角放到三角形中 利用正 余弦定理和三角形的面积公式等内容进行求解 例3 2015重庆 7 5分 已知非零向量a b满足 b 4 a 且a 2a b 则a与b的夹角为 c a b c d 解题导引由a 2a b 得a b 2 a 2利用向量的夹角公式及范围求出a与b的夹角 解析因为a 2a b 所以a 2a b 0 所以a b 2 a 2 设a与b的夹角为 则cos 又0 所以 故选c 例4 2017江西七校联考 13 已知向量a 1 b 3 m 且b在a的方向上的投影为 3 则向量a与b的夹角为 解题导引由b在a的方向上的投影为 3结合已知条件求得m的值由b的坐标求得 b 利用cos 及向量夹角的范围求得结果 解析 b在a的方向上的投影为 3 b cos 3 又 a 2 a b a b cos 6 又a b 1 3 m 3 m 6 解得m 3 b 3 3 b 6 cos 0 a与b的夹角为 答案 用向量法解决平面几何问题的方法1 用向量法解决平面几何问题的基本步骤 建立平面几何与向量的联系 用向量表示问题中涉及的几何元素 将平面几何问题转化为向量的问题 通过向量运算 研究几何元素之间的关系 如距离 夹角等问题 把运算结果转化成几何关系 2 用向量法解平面几何问题 主要是通过建立平面直角坐标系将问题坐标化 然后利用平面向量的坐标运算求解有关问题 这样可以避免繁杂的逻辑推理 同时加强了数形结合思想在解题中的应用 例5 2016天津 7 5分 已知 abc是边长为1的等边三角形 点d e分别是边ab bc的中点 连接de并延长到点f 使得de 2ef 则 的值为 b a b c d 解题导引解法一 用和表示向量 求 解法二 建立平面直角坐标系 求出相关点的坐标 求出与的坐标 求 解析解法