高中数学第二章数列2.3.1等比数列课堂探究学案.docx

2.3.1 等比数列课堂探究一、解读等比数列的主要性质剖析：在等比数列问题的解答中，运用基本量转化是最基本的方法，但如果灵活运用性质，可使求解的过程更简捷，所以解答问题时要优先考虑等比数列的性质等比数列有以下性质：(1)两个等比数列的积仍为等比数列(2)在等比数列an中，若mnpq，则amanapaq(3)数列an是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积(4)在等比数列an中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk1(5)当数列an是各项都为正数的等比数列时，数列lg an是公差为lg q的等差数列(6)当m，n，p(m，n，pN)成等差数列时，am，an，ap成等比数列(7)等比数列an中，若公比为q，则数列an仍是公比为q的等比数列；若bn是公比为q的等比数列，则数列anbn是公比为qq的等比数列；数列是公比为的等比数列；|an|是公比为|q|的等比数列二、求数列通项公式的方法剖析：1如果已知数列为等差(或等比)数列，可直接根据等差(或等比)数列的通项公式，求得a1，d(或q)，直接套用公式即可2若已知数列的前n项和求通项时，通常用公式an用此公式时我们应当注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a1和an(n2)合为一个表达式3对于形如an1anf(n)型或形如an1f(n)an型的数列，其中f(n)是等差数列或等比数列，可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加(或相乘)即可得到通项公式4有些数列本身并不是等差数列或等比数列，但可以经过适当变形，构造出一个等差数列或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式，这叫做构造法例如：在数列an中，a11，a22，an+2an+1an，我们在上式的两边减去an+1，得an+2an+1(an+1an)，即可构造一个等比数列来解决问题当然，求数列的通项还有很多其他的方法，在求通项时，我们应尽可能将已知数列转化成等差(或等比)数列，从而利用等差(或等比)数列的通项公式求其通项三、教材中的“？”1为什么q0？等比数列中的项有可能等于0吗？剖析：因为等比数列的公比是后项与前项的商，其商不能为0，除数也不可能为0，故q0，在等比数列中，各项都不会为02等差数列的通项公式是怎样推导出来的？怎样用类似的方法推导等比数列的通项公式？剖析：等比数列的通项公式的推导类似于等差数列，先采用归纳的方法猜想出通项公式，然后利用迭乘的方法证明得ana1qn13你能通过公比q的不同取值的讨论，对等比数列进行分类吗？剖析：当a10，q1或a10，0q1时，数列an为递增数列；当a10，0q1或a10，q1时，数列an为递减数列；当q1时，数列an为常数列；当q0时，数列an为摆动数列四、教材中的“思考与讨论”对于例3中的数列，你是否发现a5，a10，a15，a20恰好成等比数列？你能说出其中的道理吗？你能由此推导出一个一般性的结论吗？剖析：在已知数列中，每隔k项取一项，保持原来顺序依次排列，所得数列还是一个等比数列题型一等比数列定义的应用【例1】 已知数列的通项公式为an32n，试问：这个数列是否为等比数列？分析：可用定义法、等比中项法证明解：解法一：2(常数) ，an是等比数列解法二：an132n1，an232n2，anan232n32n2922n2a，an是等比数列反思：已知某数列的通项公式，判定其是否为等比数列，可依据等比数列的定义证明常用的判定等比数列的方法有：(1)定义法：q(常数)；(2)等比中项法：aanan2(an0)题型二等比数列的通项公式的应用【例2】 在等比数列an中，(1)a42，a78，求an；(2)a2a518，a3a69，an1，求n分析：先将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组，求出a1和q，再表示其他量解：(1)解法一：因为所以由，得q34，从而q，而a1q32，于是a1，所以ana1qn1解法二：因为a7a4q3，所以q34所以ana4qn42()n4(2)解法一：因为由，得q，从而a132又an1，所以32n11，即26n20，所以n6解法二：因为a3a6q(a2a5) ，所以q由a1qa1q418，得a132由ana1qn11，得n6反思：a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，解法一是常规解法，先求a1，q，再求an，解法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a1和q，这也是常见的解法【互动探究】 将本例2(2)中的条件“an1”去掉，其他条件不变，试求an的通项公式解：因为由得q，从而a132所以ana1qn132n1n6题型三等比数列性质的应用【例3】 已知数列an为等比数列，若a1a2a37，a1a2a38，求数列an的通项公式分析：本题主要考查等比数列的性质“若pq2n，则apaqa(p，q，nN)”的应用解：解法一：a1a3，a1a2a38a22从而或或an2n1或an23n解法二：由a1a2a38，得a22将a2a1q，a3a1q2代入a1a2a37，a1a2a38，可得解得或故可得an2n1或an23n解法三：数列an为等比数列，a1a3代入a1a2a38，得8，a22不妨设等比数列的前三项为，2，2q，则有22q7，整理得2q25q20，解得q2或q或an2n1或an23n反思：若三个数成等比数列，则可设为，a，aq，当然也可设为a，aq，aq2若四个数成等比数列，则可设为a，aq，aq2，aq3，但不能设为，aq，aq3，因为这个数列的公比为q2，漏掉了公比为负值的情况题型四构造等比数列求通项公式【例4】 (1)在数列an中，a11，an12an1，求通项公式an(2)在数列an中，a12，an1，求通项公式an(3)在数列an中，a13，an1a，求通项公式an分析：对所给递推关系进行适当的变形，构造辅助数列使问题转化为熟悉的问题构造等比数列的方法一般有：配常数、取倒数、取对数等解：(1)由an12an1，可得an112(an1) ，2an1是首项为a112，公比为2的等比数列an1(a11)2n12n，即an2n1(2)由an1，可得，1是首项为1，公比为的等比数列1n1-nan(3)由a13，an1a，可得an0，lg an12lg an2lg an是首项为lg a1lg 3，公比为2的等比数列lg anlg a12n1lg 32n1an32n1反思：有些数列本身并不是等差、等比数列，但是通过适当的变形，可以构造出等差、等比数列因此解决这类问题应该熟悉能构造成等差、等比数列的形式，以及对应方法题型五易错辨析【例5】 在等比数列an中，若a3a4a6a781，则a1a9的值为()A3 B9 C3 D9错解：an为等比数列，a3a7a4a6a1a9，(a1a9)281a1a99故选D错因分析：忽视了在等比数列中，奇数项(或偶数项)符号相同这一条件正解：a3a7a4a6a1a9，(a1a9)281a1a99在等比数列an中，奇数项(或偶数项)的符号相同，a1，a9同号，a1a99，故选B答案：B【例6】 已知一个等比数列的前四项之积为，第2项与第3项的和为，求这个等比数列的公比错解：依题意，设这四个数为，aq，aq3，则由得a，代入并整理