第四章-高级数字控制器分析与设计PPT课件

第四章高级数字控制器的分析与设计 数字控制器状态变量分析理论基础数字控制器状态变量设计法 对于计算机控制系统的分析与设计 与经典方法相比 状态变量法有以下的优点 1 采用状态变量法有利于直接利用计算机求解和分析 2 状态变量法不但适用于单输入单输出系统 也适用于多变量系统 并且在各种情况下系统模型具有统一的形式 3 状态变量法还可应用于非线性系统 时变系统的分析与设计 4 状态变量法有利于采用现代分析的方法 如优化方法等实现控制系统设计 4 1数字控制器状态变量分析理论基础 4 1 1状态空间与状态方程 采用适当的变换 可以将上述n阶差分方程化成等价的n个一阶差分方程组成的方程组 采用矩阵符号可以将后者表示成一个一阶向量矩阵差分方程 从而大大简化系统方程的数学表达式 利用状态变量法的概念 可以帮助工程技术人员在系统分析和设计时考虑系统的初始条件 而这个特点在经典方法中是不具备的 离散时间系统的运动可以通过差分方程描述 状态 泛指系统过去 现在和将来的运动状况 动态系统的状态 是指能够完全描述系统时域动态行为的一个最小变量组 该变量组的每个变量称为状态变量 该最小变量组中状态变量的个数称为系统的阶数 对同一个系统 状态变量的选取并不是惟一的 状态法的主要概念 状态向量 如果完全描述一个给定系统的动态行为需要n个状态变量 则用这n个状态变量构成的列向量x k 就叫做该系统的状态向量 状态空间 状态向量x的所有可能值的集合称为状态空间 状态方程 描述系统状态变量和系统输入之间关系的一阶差分方程组称为状态方程 5 输出方程 描述系统输出变量与状态变量间的变换关系 状态法的主要概念 线性定常离散时间系统的状态方程描述为 线性状态方程的标准形式是 输出方程的标准形式为 对于状态空间描述 状态方程的形式与所选的状态变量有关 因而不是惟一的 4 1 4 2 状态空间描述 状态空间描述 例4 1设离散时间系统由差分方程 描述 试写出系统的状态方程和输出方程 选取状态变量x1 k y k x2 k y k 1 显然 x1 k 和x2 k 满足关系式x1 k 1 x2 k x2 k 1 y k 2 并且x1 k 和x2 k 是一组数目最少的足以描述系统全部运动的变量 因此它是系统的一组状态变量 可以直观地写系统的状态方程 和 状态空间描述 令 为系统的状态向量 则可以将状态方程简写成 由式 4 4 和式 4 5 可见 系统的输入输出关系被分成两段进行描述 即动态方程的一段 式4 4 描述系统输入和初始条件引起系统内部状态的变化 代数方程的一段 式4 5 则描述系统内部状态变化引起系统输出的变化 第八讲高级数字控制器分析与设计 数字控制器状态变量分析理论基础 2 能控性能观测性对偶原理坐标变换与标准型 4 1 2能控性 把状态向量看作系统的被控制量 就产生了状态能否被输入量所控制和能否由输出量观测出来的问题 一个实际系统的能控性 能观测性有四种可能的组合 能控能观测 不能控不能观测 能控不能观测 不能控能观测 能控性和能观测性从状态的控制能力和状态的测辨能力两个方面揭示了控制系统构成的基本问题 克服了经典方法的局限性 能控性和能观测性粗略地说来 是指一个系统的工作状态能否得到控制和能否通过输出和输入变量而唯一确定的性质 4 1 2能控性 能控性和能观测性是现代控制理论中两个重要的基本概念 由Kalman于1960年提出 能控性是u t 支配x t 的能力 回答u t 能否使x t 作任意转移的问题 能观性是y t 反应x t 的能力 回答是否能通过y t 的量测来确定x t 的问题 对于状态方程式所描述的n阶系统 如果能找到有界整数k个有限输入序列u 0 u 1 u k一1 使系统从任意非零初始状态x 0 到达终态x n 0 则称式所示系统为状态x 0 能控的 如果系统对任意初始状态都能控 则称系统为状态完全能控 或称 A B 为状态完全能控的 简称系统具有能控性 4 1 2能控性 能控性定义 4 1 2能控性 设式所示的系统阶次为n 系统的初始状态为x 0 则在u k 的作用下有 写成矩阵形式 有 4 3 4 4 称Wc为系统能控性矩阵 存在控制序列将系统由任意非零x 0 转移到终点x n 0 等价于上述方程中当左边x n 0时 都能存在解 此时 如果A是非奇异的 则An也是非奇异的 Anx 0 是x 0 的全映射 所以 对任意x 0 满足该条件的充分必要条件是 如果A奇异 则为充分条件 4 5 4 6 4 1 2能控性 总结以上讨论 我们得到以下的结论 线性定常离散时间系统 或称系统 A B 为完全可控的充要条件是式成立 即能控性矩阵Wc为行满秩 4 1 2能控性 4 1 2能控性 例4 6已知系统状态方程式x k 1 Ax k Bu k 当A B分别为以下值时 判定系统 A B 的能控性 1 若 则 因为rankWc 2 系统能控 2 若 rankWc 1 2 系统不能控 则 4 1 3能观测性 对于状态方程式 4 4 和式 4 5 所描述的线性定常离散系统 如果根据在有限采样周期内的输出量y k k 0 1 q 其中q 可以唯一确定系统的任意初态x 0 则称系统为状态完全能观测的或称系统具有能观测性 为系统 A C 系统的能观测性是讨论系统的输出y k 和状态变量x k 的联系问题 和输入u k 无关 因此 可以不考虑输人信号 即可令u k 0 从而可以只研究下面的状态方程和输出方程 4 7 4 8 4 1 3能观测性 根据式 4 58 和式 4 59 可得 用矩阵表示为 4 9 W0称为系统的能观测性矩阵 线性定常离散时间系统 A C 状态完全能观测的充要条件是能观测性矩阵W0为列满秩 显然 对于n阶系统 观测其n个输出向量 能确定其初始状态x 0 的充要条件是 设 4 10 4 11 4 1 3能观测性 4 1 3能观测性 例4 7设离散时间系统状态方程描述如式 4 58 和式 4 59 所示 其中 试求系统的能观测性 4 1 3能观测性 故 系统为完全可观测的 在例题计算过程中 我们可以知道 对于多输出系统 如已经计算出某一q n使得 即可判定系统的能观测性 没有必要继续计算下去 4 1 4对偶原理 S1和S2称为互相对偶的系统 系统S1 系统S2 对偶原理 S1的能控性等价于S2的能观测性 S1的能观测性等价于S2的能控性 4 1 5坐标变换与标准型 1坐标变换 4 12 4 13 重写状态方程式 4 4 和式 4 5 所定义的系统如下 设 为任意一n n维非奇异方阵 定义坐标变换 或 代人式 4 63 有 即 而输出方程为 4 14 4 1 5坐标变换与标准型 因此 可得经坐标变换后系统的状态方程为 其中 分别为变换后系统的系统矩阵 输入矩阵和输出矩阵 下面考察式 4 66 和式 4 67 所表示的脉冲传递函数矩阵 4 15 4 16 4 17 G z 它与变换前的状态方程式 4 12 和式 4 13 所对应的脉冲传递函数矩阵 4 50 完全一致 由此 我们可以得出结论 即坐标变换不改变系统的脉冲传递函数矩阵 即它不改变系统的输入输出特性 4 1 5坐标变换与标准型 2能控标准型 A的特征方程 考虑单输入单输出线性离散系统状态方程描述 其中 x k 为n维状态向量 u k 和y k 分别为输人和输出标量 A是n n维方阵 b是n维列向量 C是n维行向量 系统方程式 4 18 的能控性矩阵 4 18 4 19 4 20 4 21 4 1 5坐标变换与标准型 4 1 5坐标变换与标准型 假定该系统是完全能控的 因此Wc为非奇异方阵 取坐标变换阵 4 22 其中 4 23 M针对开环特征方程 显然M为一非奇异阵 从而为非奇异 取坐标变换 和 则变换后的系统状态方程具有以下形式 其中 4 24 4 25 参考式4 8 4 1 5坐标变换与标准型 不具特殊的形式 结论 完全能控的单输入单输出系统 可以通过式 4 22 所定义的坐标变换矩阵进行坐标变换而变成能控标准型 4 26 4 27 4 1 5坐标变换与标准型 4 1 5坐标变换与标准型 例4 4已知式 4 18 和式 4 19 所示系统状态方程描述中 试求系统的能控标准型 构造能控性矩阵 显然有rank c 3 因此系统完全能控 求系统的特征多项式 4 1 5坐标变换与标准型 所求的能控标准型为 4 1 5坐标变换与标准型 3能观测标准型 4 28 令坐标变换矩阵 则 将式 4 18 和式 4 19 两式变成 4 29 4 30 4 31 无特殊形式 其中 称具有式 4 82 和式 4 83 形式的状态方程为可观测标准形 4 86 4 85 4 84 为能观标准型的转置矩阵 4 1 5坐标变换与标准型 第九讲高级数字控制器分析与设计 数字控制器状态变量设计法概述状态反馈极点配置控制系统的设计单输入系统状态反馈极点配置多输入系统状态反馈极点配置极点配置方法的讨论 4 2数字控制器状态变量设计法 1 数字控制器状态空间设计法 就是利用系统的状态空间描述 根据对闭环系统性能指标的要求 直接设计出满足要求的数字控制器 2 状态反馈 根据控制系统的输入是被控对象的状态还是被控对象的输出 控制系统分成状态反馈控制器和输出反馈控制器两种形式 输出反馈 状态反馈 4 2数字控制器状态变量设计法 3 状态观测器 状态反馈控制器具有较强大的功能和较简单的结构 但是对于实际工程系统 往往并不是所有的状态都是可以直接量测的 因此 状态反馈通常难以实现 这时可以借助于状态观测器 通过被控对象的输入和输出来重构被控对象的状态 实现状态反馈律 但是这时整个控制器已变成输出反馈控制器了 1 极点配置问题就是通过对状态反馈矩阵的选择 将闭环系统的极点配置在z平面上所需要的位置 从而达到一定性能指标的要求 2 系统通过状态反馈能够实现任意配置极点的充要条件是系统是完全能控的 4 2 1状态反馈极点配置控制系统的设计 若选择控制输入为状态反馈 有 1单输入系统状态反馈极点配置 闭环系统的状态方程 闭环系统的特征多项式 待配置的闭环特征多项式P z 本节我们假定系统完全能控 并且系统的所有状态都可以直接量测 4 36 4 37 4 38 4 39 4 40 要求系统闭环极点为 试求状态反馈增益向量 例4 9已知二阶系统 首先可以验证系统是完全能控的 待配置的特征多项式为 方法一解联立方程求状态反馈增益向量 通过适当选择状态反馈增益行向量 使得与P z 的系数完全一致 则可将系统的闭环极点设置在期望的极点上 这就是极点配置的基本原理 令闭环系统的特征多项式等于待配置的闭环特征多项式即 利用两个多项式的对应系数相等 可以得到n个联立的代数方程组 解这个方程组 可以求出未知量 从而确定状态反馈增益向量 4 41 令 则系统的闭环特征多项式 由P z 和 同次幂系数相等 得 解得 即 方法二通过能控标准型求解 1 取变换矩阵 先将被控对象的状态方程式通过坐标变换变成能控标准型 在能控标准型情况下 可以根据极点配置的要求 很容易地求出状态反馈增益向量 然后再通过变换 将变成原来状态方程式实现极点配置所要求的状态反馈增益向量 4 42 4 43 4 44 2 设实现理想极点配置所需的状态反馈增益向量为 4 45 4 46 设待配置的理想闭环极点为 即待配置的闭环极点多项式为 根据式 4 49 所得到的极点配置增益向量 将能控标准型公式 4 42 所示系统的闭环极点配置为 则由式 4 46 和式 4 47 多项式同次幂系数相等得 得出 其中 ai为开环特征方程系数 4 47 4 48 4 49 选 3 根据求得实现状态方程 4 36 所示对象的闭环极点配置所需的状态反馈增益向量 根据前一步骤的结果 下式成立 则通过状态反馈可将式 4 36 的闭环极点配置到 4 50 4 51 例4 10考虑离散时间被控对象 试通过状态反馈将闭环系统极点配置在 系统的可控性矩阵 表明系统是完全可控的 因此可以通过状态反馈配置极点 其开环系统的特征多项式 坐标变换阵 则通过坐标变换式 和可将原状态方程变成能控标准型 待配置的闭环特征多项式为 设相应于能控标准型 为实现闭环极点配置 状态反馈增益向量为 则 而待求的状态反馈增益向量 2 多输入系统状态反馈极点配置 最直观的方法还是如前面所述的通过解联立方程求状态反馈增益矩阵的方法 对于多输入系统 系统能够通过状态反馈任意配置闭环极点的充分和必要的条件仍然是系统完全可控 与单输入系统不同的是 多输入系统实现闭环极点配置的状态反馈增益矩阵F不唯一 即可以有不同的F实现同样的闭环极点 这种方法的最大缺点是 这样所得到的关于F中各元素的n个联立方程组通常是非线性方程组 从而给问题求解带来了很大的困难 4 52 另一类方法是利用单输入系统极点配置的算法 它分两步进行 第一步通过适当方法将多输入系统变换成为由单个输入完全能控的 第二步对通过变换获得的单输入完全能控系统实现闭环极点配置 考虑多输入状态方程 首先构造单输入系统 其中 为n维列向量 W为m维列向量 其中 x k 为n维状态向量 u k 为m维输入向量 4 54 4 53 选择W 使得上式所示系统为完全能控的 利用前面所述的单输入系统极点配置的方法 选择状态反馈控制律 的极点配置在任意理想的位置 可以将 最后令 由上式所定的状态反馈增益阵F 可以使得多输入系统的闭环极点位于理想的位置 4 55 4 56 4 57 总结多输入系统极点配置步骤如下 1 对多输入系统公式 4 53 选择W 使得单输入系统公式 4 54 为完全可控 2 对单输入系统公式 4 54 选择极点配置状态反馈向量F 使得 的极点为待配置的理想极点 3 令F WF 则F即为所求的实现极点配置的状态反馈增益矩阵 例4 11考虑多输入离散时间系统 试求状态反馈律u k Fx k 使得闭环系统的极点为 显然系统为完全可控的 令 为使单输入系统 为完全可控 则必须要求 要使上式成立 应满足 在此前提下可任意选择W 我们在此选择 即 选择状态反馈增益向量 将单输入系统的极点配置到 能控性矩阵 开环系统特征多项式 将系统变成能控标准型的坐标变换矩阵 待配置的闭环特征多项式为 因此 状态反馈增益向量 而实现原多输入系统极点配置的状态反馈增益阵 若令 即 则单输入系统 A B 已为能控标准型 立即可求得 因此 对于多输入系统 可以有不同的状态反馈增益阵F 将系统的闭环极点配置在同一位置 3 极点配置方法的讨论 1 如果系统不是完全能控 则状态反馈不能改变能控模态 因此不能实现任意极点配置 2 对单输入系统 实现一组特定极点配置所需的状态反馈增益向量fT是唯一的 而对多输入系统 则实现一组特定极点配置所需的状态反馈增益阵F通常不是唯一的 这是因为F是一个m n维矩阵 它有m n个元素可以选择 而闭环特征多项式只有n个系数待调整 3 待配置的n个闭环极点位置的选择是一个确定控制系统综合目标的问题 这是一个复杂的问题 是一个工程实践与理论相结合的问题 一般注意 对n维系统 应当指定而且只应当指定n个待配置的闭环极点 待配置的闭环极点可以是实数 也可以是以共轭复数形式出现的一对复数极点 为保证闭环系统的稳定 所有的待配置闭环极点必须位于复平面上的单位圆内 具体位置的选择需要考虑极点和零点在复平面上的分布 从工程实际出发加以解决 可以通过一些最优化的算法来选择待配置的闭环极点位置 以使得某种性能指标最优 第十讲高级数字控制器分析与设计 数字控制器状态变量设计法2 状态观测器的设计3 具有状态观测器的极点配置 4 2 2状态观测器的设计 因为状态变量是一组内部变量 在实际工程系统中 通常并不是所有的状态x k 都可以直接量测到的 可以直接量测的往往只有系统输出y k 和输入u k 为了能利用状态反馈的设计方法 我们可以构造状态观测器 先利用y k 及u k 构造系统的状态x k 然后 再应用状态反馈实现系统的闭环控制 考虑被控对象的状态方程S1 4 57 4 58 人为地构造一个与之相同的量测系统S2 因为是人为构造的 量测系统S2中的状态是可以直接测量的 系统S1和S2的动态特性完全一致 只要x 0 与一致 则S2的状态与S1的状态x k 将完全一致 4 59 4 60 但由于各种原因 例如被控对象的建模误差 x 0 与的差异等 使得在实际运用中 S1和S2的状态不可能完全一致 从而造成S1的输出y k 和S2的输出两者有差异 引入误差反馈项 将量测系统S2变成以下系统S3 采用渐近等价指标 叫做观测误差 来判定状态观测器的有效性 状态观测器的观测误差满足 4 61 4 62 4 63 显然 只要上式所表示的关于观测误差的系统为渐近稳定 换句话说 只要 A LC 的所有特征值都在单位圆内 则式 4 62 所定义的渐近等价指标即可得到满足 因为L是一个待选择的反馈增益阵 我们可以适当地选择L 将A LC的极点配置到z平面上适当位置 使得趋向于零 前面 我们已经介绍了 若 A B 完全能控 则可选择反馈增益阵F 使得闭环系统矩阵 A BF 具有任意指定的极点 与此相比 因为 A LC 与 A LC T AT CTLT 的特征值完全一致 显然 若 AT CT 完全能控 则 A LC 的极点也可以任意配置 根据对偶原理 AT CT 的能控性矩阵 恰好为 A C 的能观测性矩阵的转置 若 A C 为能观测的 则可以用类似前面极点配置的方法 选择反馈增益阵L 使 A LC 的极点为任意指定的 具体设计步骤如下 1 构造 A C 的对偶系统 AT CT 求得后者的能控性矩阵 通过的秩 判定 A C 的能观测性 即 AT CT 的能控性 选定待配置的闭环极点 2 求得A的特征多项式 和待配置的闭环极点对应的特征多项式 3 构造使得 AT CT 为能控标准型的坐标变换阵 4 由公式 得出LT 则 LT T L 例4 9给定被控对象的状态方程为 试设计系统的状态观测器 并将观测器的极点配置到 被控对象的能观测性矩阵 显然系统为完全能观测的 其对偶系统能控性矩阵 系统的开环特征多项式为 化对偶系统为能控标准形的坐标变换阵为 理想闭环极点所对应的闭环特征多项式为z3 故反馈增益阵LT可通过下式计算得出 因此 给定被控对象的状态观测器为 4 2 3具有状态观测器的极点配置 通过状态观测器解决了被控对象状态不能直接量测的问题 使状态反馈方法成为一种能实现的控制方式 图4 6具有状态观测器的极点配置控制器 整个系统的结构图如图4 6所示 其中被控对象状态方程为 假定被控对象是完全能控和完全能观测的 则它的状态观测器具有以下形式 具有状态观测器的状态反馈控制律为 4 64 4 65 4 66 4 67 与直接采用状态反馈u k Fx k 相比 对闭环系统动态特性有何影响 利用扩充状态向量的方法 得出以上系统的闭环状态方程描述 2n维的系统 4 69 4 68 为了看清楚以上闭环系统的特征值情况 对状态方程式作如下的坐标变换 4 70 上式显然可以看出 具有状态观测器的状态反馈控制系统的闭环极点具有分离性质 2n维的闭环系统的2n个极点可以分成两部分 一部分是特征多项式det zI A BF 的n个根 它对应着采用直接状态反馈时闭环系统的n个极点 另一部分是观测器的特征多项式det z A LC 的n个根 其中 即为前面已定义的观测误差向量 式 4 68 变换后系统的状