高考数学一轮复习专题4.1等差数列练习（含解析）.docx

第一讲 等差数列【套路秘籍】-千里之行始于足下一等差数列的概念1.文字表达：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零2.数学表达式：二.通项公式1.公式ana1(n1)d2.推广公式andn(a1d)(nN)-几何意义是点(n，an)均在直线ydx(a1d)上anam(nm)d(m，nN)-可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.d(m，nN，且mn)-即斜率公式k，可用来由等差数列任两项求公三求和公式：1.公式：Snna1d；2等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数)四性质：若m，n，p，q，tN*，且mnpq=2t，则amanapaq=2atSm，S2mSm，S3mS2m，成等差数列.S2n1(2n1)an.等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，则Sn存在最小值【修炼套路】-为君聊赋今日诗，努力请从今日始考向一 等差数列的判断与证明【例1】已知数列an，满足a12，an1.(1)数列是否为等差数列？说明理由；(2)求an.【答案】见解析【解析】(1)数列是等差数列，理由如下：a12，an1，即是首项为，公差为d的等差数列(2)由上述可知(n1)d，an.【拓展1】(变条件，变结论)将例题中的条件“a12，an1”换为“a14，an4(n1)，记bn”(1)试证明数列bn为等差数列；(2)求数列an的通项公式【答案】见解析【解析】(1)证明：bn1bn.又b1，数列bn是首项为，公差为的等差数列(2)由(1)知bn(n1)n.bn，an22.数列an的通项公式为an2.【拓展2】(变条件)将例题中的条件“a12，an1”换为“a11，a22,2an12an3(n2，nN*)”试判断数列an是否是等差数列【答案】见解析【解析】当n2时，由2an12an3，得an1an，但a2a11，故数列an不是等差数列【套路总结】判断一个数列是否为等差数列的常用方法1.定义法：an1an(n1，nN*)是不是一个与n无关的常数即判断从第二项起该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证2.中项性质：2an1anan2(nN*)an是等差数列；3.函数角度：anknb(k，b为常数，nN*)an是等差数列若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可【举一反三】已知数列an满足(an11)(an1)3(anan1)，a12，令bn.(1)证明：数列bn是等差数列；(2)求数列an的通项公式【答案】见解析【解析】(1)，bn1bn，bn是等差数列(2)由(1)及b11，知bnn， an1，an(nN*)考向二 等差数列的性质【例2】（1）等差数列an中，a4a515，a712，则a2等于（2）等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，且，则_.(3)已知等差数列an的前n项和为Sn.若S57，S1021，则S15_.(4)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12 018，6，则S2 020_.(5)设等差数列an的前n项和为Sn，若S130，S140，S140，a1a14a7a80，a80，且SpSq(pq)，则：若pq为偶数，则当n时，Sn最大；若pq为奇数，则当n或n时，Sn最大【举一反三】1在等差数列an中，Sn是其前n项和，a19，2，则S10_.【答案】0【解析】设公差为d，则a1d，2，dd2，d2，a19，S1010(9)20.2.在等差数列an中，已知a113,3a211a6，则数列an的前n项和Sn的最大值为_【答案】49【解析】设an的公差为d.法一：由3a211a6，得3(13d)11(135d)，解得d2，所以an13(n1)(2)2n15.由得解得6.5n7.5.因为nN*，所以当n7时，数列an的前n项和Sn最大，最大值为S749.法二：由3a211a6，得3(13d)11(135d)，解得d2，所以an13(n1)(2)2n15.所以Snn214n(n7)249，所以当n7时，数列an的前n项和Sn最大，最大值为S749.3在等差数列an中，已知a22a8a14120，则2a9a10_.【答案】30【解析】a22a8a144a8120，a830.2a9a102(a10d)a10a102da830.4.已知等差数列an中，a1a4a715，a2a4a645，求此数列的通项公式【答案】见解析【解析】方法一因为a1a72a4，a1a4a73a415，所以a45.又因为a2a4a645，所以a2a69，所以(a42d)(a42d)9，即(52d)(52d)9，解得d2.若d2，ana4(n4)d2n3，nN；若d2，ana4(n4)d132n，nN.方法二设等差数列的公差为d，则由a1a4a715，得a1a13da16d15，即a13d5.由a2a4a645，得(a1d)(a13d)(a15d)45，将代入上式，得(52d)5(52d)45，即(52d)(52d)9，联立解得a11，d2或a111，d2，即an12(n1)2n3，nN；或an112(n1)2n13，nN.【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1等差数列an中，a13a8a15120，则2a9a10的值是()A20 B22 C24 D8【答案】C【解析】因为a13a8a155a8120，所以a824，所以2a9a10a10a8a10a824.故选C.2设Sn为等差数列an的前n项和，若S84a3，a72，则a9等于()A6 B4 C2 D2【答案】A【解析】S84(a3a6)因为S84a3，所以a60.又a72，所以da7a62，所以a84，a96.故选A.3.已知数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a310，且，则a2()A2 B3 C4 D5【答案】A【解析】依题意得，a1a35，a22.故选A.4已知Sn表示等差数列an的前n项和，且，那么等于()A. B. C. D.【答案】A5已知数列an是等差数列，a415，a727，则过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率为()A4 B. C4 D【答案】A【解析】由数列an是等差数列，知an是关于n的“一次函数”，其图象是一条直线上的等间隔的点(n，an)，因此过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率即过点(4,15)，(7,27)的直线斜率，所以直线的斜率k4.故选A.6.等差数列an的前n项和为Sn，已知a113，S3S11，当Sn最大时，n的值是()A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】(1)法一由S3S11，得a4a5a110，根据等差数列的性质，可得a7a80.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a70，a85时，an0，|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20110130.9设Sn为等差数列an的前n项和，若S33，S624，则a9_.【答案】15【解析】设等差数列的公差为d，则S33a1d3a13d3，即a1d1，S66a1d6a115d24，即2a15d8.由解得故a9a18d18215.10已知Sn是等差数列an的前n项和，2(a1a3a5)3(a8a10)36，则S11 。【答案】33【解析】在等差数列an中，因为a1a52a3，a8a102a9，所以2(a1a3a5)3(a8a10)6a36a936，a3a96a1a11，所以S1133.11.若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，即a80.又a8a9a7a100，a90.a3a4a2a522，又a3a4117，a3，a4是方程x222x1170的两个根又公差d0，a3a4，a39，a413.an4n3，nN.(2)由(1)知，Snn142n2n，bn.b1，b2，b3.bn是等差数列，2b2b1b3，2c2c0，c (c0舍去)经检验，c符合题意，c.14记Sn为等差数列an的前n项和，已知a1=-7，S3=-15 （1）求an的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值【答案】（1）an=2n9，（2）Sn=n28n，最小值为16【解析】（1）设an的公差为d，由题意得3a1+3d=15由a1=7得d=2所以an的通项公式为an=2n9（2）由（1）得Sn=n28n=（n4）216所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为1615设等差数列an的前n项和Sn，且a4=1,S15=75（1）求a6的值；（2）求Sn取得最小值时，求n的值【答案】(1)3；(2)2或3.【解析】（1）法一：设an的公差为d，由题，a4=a1+3d=1S15=15a1+105d=75，解得a1=-2d=1，a6=a1+5d=3 法二：由题，S15=15a8=75，a8=5，于是a6=a4+a82=3 （2）法一：Sn=na1+n(n-1)2d=n2-5n2，当n=2或3时，Sn取得最小值 法二：an=a1+(n-1)d=n-3，a1a2a3=0a4，故当n=2或3时，Sn取得最小值16已知数列an，a15 ，a22