数值分析课程设计验证样条插值的收敛性.doc

数值分析课程设计验证样条插值的收敛性院（系）名称 专 业 班 级 学 号 学 生 姓 名 指 导 教 师 2012年05月21日 数值分析 课程设计评阅书题目验证样条插值的收敛性学生姓名学号指导教师评语及成绩指导教师签名： 年 月 日答辩评语及成绩答辩教师签名： 年 月 日教研室意见 总成绩： 教研室主任签名：年 月 日课程设计任务书20112012学年第二学期专业班级： 09普本信计1班 学号： 090111025 姓名： 董亚伟 课程设计名称： 数值分析 设计题目： 验证样条插值的收敛性 完成期限：自 2012年 5月 21 日至2012年 5月 31 日共 10天设计依据、要求及主要内容： 设计目的：理论上证明样条插值的收敛性比较困难。通过实验，验证它的收敛性。 设计内容 ： (1)选定函数f(x)=1/(1+9x2),x-1,1. (2)随着借点增加，比较被逼近函数和样条函数误差的变化情况。分析所得结果与Lagrange多项式插值相比较。 设计要求： (1)用Matlab数据库中的相应函数spline求函数的三次样条插值函数，或者用三弯矩方法求三次样条插值。 (2)按所用的方法编写Matlab程序求解，对数值结果进行分析。 (3)查阅资料，对该问题的收敛性问题给予讨论。 说明书要求： (1)按照课程设计的说明书格式要求打印。 (2)在说明书正文中，按照以下内容进行撰写：1.前言。2.方法描述（理论与算法）。3.程序开发思路、源程序以及注释。4.结果分析。5.参考文献。 计划答辩时间： 2012 年 6 月 5-8 日工作量：(1)查阅文献资料不少于2篇，课程设计报告说明书不少于3000字。(2)翻译一篇Matlab函数库中有关求解线性方程组的英文原文，要求翻译准确，文字通顺。指导教师（签字）： 孔繁民 教研室主任（签字）： 批准日期： 2012 年 5 月 20 日课程设计说明书（论文） 第页验证样条插值的收敛性摘 要 样条函数是一种重要的逼近工具，它的理论在数值分析中十分重要。同时，它在现代工业设计、计算几何和计算机图形学等多个领域有着广泛的应用。样条曲线本身就来源于飞机、船舶等外形曲线设计中所用的绘图工具.在工程实际中,要求这样的曲线应该具有连续的曲率,也就是连续的二阶导数.。如飞机的机翼一般要求使用流线形设计，以减少空气阻力，还有船体放样等的型值线，往往要求有二阶光滑度（即有二阶连续导数）。因此，在分段插值的基础上，引进了一种新的插值方法，在保证原方法的收敛性和稳定性的同时，又使得函数具有较高的光滑性的样条插值。再此，我们用Matlab数据库中的相应函数spline求函数的三次样条插值函数求解求三次样条插值，以及比较被逼近函数和样条函数误差的变化情况。分析所得结果与Lagrange多项式插值相比较，进而通过实验验证样条插值的收敛性。关键词：样条函数，三次样条插值，spline，收敛性 目 录1 问题的描述12方法描述Lagrange插值与三次样条插值13 方案设计33.1源程序44 计算结果及其分析5附录8总结9参考文献9翻译10课程设计说明书（论文） 第11页1 问题的描述设, ,取,.试求出10次Lagrange插值多项式和三次样条插值函数(采用自然边界条件),并用图画出, .2方法描述Lagrange插值与三次样条插值我们取,，通过在点的函数值来对原函数进行插值，我们记插值函数为，要求它满足如下条件： (1)我们在此处要分别通过Lagrange插值(即多项式插值)与三次样条插值的方法对原函数进行插值，看两种方法的插值结果，并进行结果的比较。10次的Lagrange插值多项式为： (2)其中：以及我们根据(2)进行程序的编写，我们可以通过几个循环很容易实现函数的Lagrange插值。理论上我们根据区间上给出的节点做出的插值多项式近似于，而多项式的次数越高逼近的精度就越好。但实际上并非如此，而是对任意的插值节点，当的时候不一定收敛到；而是有时会在插值区间的两端点附近会出现严重的偏离的现象，即所谓的Runge现象。因此用高次插值多项式近似的效果并不总是好的，因而人们通常在选择插值方式的时候不用高次多项式插值，而用分段低次插值，而这样的插值效果往往是非常好的，能够克服高次多项式插值的弱点，达到令人满意的效果。分段低次插值包括分段线性插值、分段三次Hermite插值、三次样条插值等。前两种插值函数都具有一致收敛性，但是光滑性较差，而在实际问题中我们往往要求函数具有二阶光滑度，即有二阶连续导数。而对第三种插值方式，我们得到的是一个样条曲线，它是由分段三次曲线拼接而成，在连接点(即样点)上二阶导数连续。我们记三次样条插值函数为，它在每个小区间上是三次函数，因此在每个区间上需要确定4个参数，总共有10个小区间，因此共需确定40个未知参数。首先我们有插值条件： (3)其次在每个节点上满足连续性条件： (4)此外在端点处满足自然边界条件： (5)我们假设。则在每个小区间上： (6)其中：及我们利用边界条件(3)(4)(5)可以得到： (7)其中：以及两端点处的边界条件为： (8)将边界条件写成矩阵形式为： (9)其中根据自然边界条件(8)有：我们解方程(9)就可以得到，将他们代入(6)就可以得到各段区间上的的值。3 方案设计我们通过编写Matlab程序来进行10次Lagrange插值与三次样条插值的工作。在我们的程序文件中interplotion.m文件是主程序文件；Myfun_1.m文件是计算10次Lagrange插值多项式的子程序文件，给它任一个，此程序将返回的值；然后spline.m是根据以及(6)计算三次样条插值函数的子程序文件。然后运行主程序将给出三幅曲线图，分别是与曲线，与曲线，以及、与三条曲线共同画在一幅图上得到的图象。解决这个问题的思路很简单，按部就班的来就可以。首先我们计算各节点上的函数值以备后用。随后我们给出一系列的值，计算，并分别调用Myfun_1.m与spline.m分别计算与。然后根据我们得到的数据绘图观察插值结果。具体程序的实现可参见所给程序的相关注释。3.1源程序首先给出主程序文件interplotion.m文件及相关注释：clear all;clc;x0=linspace(-1,1,11); %-1t和1为起始和终止数，11为需要的结点数y0=1./(1+9.*x0.2);x=-1:0.02:1;y = Myfun_1(x0,y0,x); %求Lagrange插值yi=spline (x0,y0,x);%求三次样条差值z=1./(1+9.*x.2);%原函数Ri=abs(z-yi)./z);%三次样条插值相对误差(S(x)-f(x)/ f(x)R=abs(z-y)./z);% Lagrange插值相对误差(L10(x)-f(x)/ f(x)x,y,z,yi,R,Ri=x,y,z,yi,R,Rin=size(x0)plot(x,z,o,x,y,-,x,yi,r*)legend(原始图象,Lagrange插值,三次样条插值)再给出Lagrange插值多项式的子程序文件Myfun_1.mfunction y = Myfun_1(x0,y0,x)n=length(x0)m=length(x);for i=1:m sum=0.0; for j=1:n p=1.0; for k=1:n if (k=j) p=p*(x(i)-x0(k)/(x0(j)-x0(k); end end sum=sum+p*y0(j); end y(i)=sum;end4 计算结果及其分析下面是我们根据程序计算结果得到的数据，其中分别给出了在各典型处的的原函数的值、Lagrange插值结果与样条插值结果；以及绝对误差和,相对误差,。由于在两端点处进行Lagrange插值插值的时候可能出现Runge现象，因此我们在两端点附近多给了几个点的数据。表1-1实验结果相关数据xf(x)L10(x)S(x)误差L10(x)-f(x)相对误差(L10(x)-f(x)/ f(x)误差S(x)-f(x)相对误差(S(x)-f(x)/ f(x)-1.00 0.10000 0.10000 0.10000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 -0.98 0.10370 0.41597 0.10409 0.31228 3.01147 0.00040 0.00383 -0.96 0.10759 0.56881 0.10823 0.46122 4.28677 0.00064 0.00592 -0.94 0.11170 0.61150 0.11245 0.49980 4.47440 0.00075 0.00669 -0.92 0.11604 0.58445 0.11680 0.46841 4.03656 0.00076 0.00651 -0.90 0.12063 0.51779 0.12131 0.39716 3.29244 0.00069 0.00569 -0.88 0.12548 0.43329 0.12604 0.30781 2.45313 0.00057 0.00452 -0.86 0.13061 0.34608 0.13103 0.21547 1.64974 0.00042 0.00320 -0.84 0.13605 0.26605 0.13631 0.13001 0.95560 0.00026 0.00192 -0.82 0.14181 0.19906 0.14193 0.05725 0.40368 0.00012 0.00082 -0.80 0.14793 0.14793 0.14793 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 -0.70 0.18484 0.11010 0.18484 -0.07474 -0.40433 0.00000 0.00000 -0.60 0.23585 0.23585 0.23585 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 -0.50 0.30769 0.33383 0.30640 0.02614 0.08494 -0.00129 -0.00419 -0.40 0.40984 0.40984 0.40984 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 -0.30 0.55249 0.53935 0.55629 -0.01314 -0.02378 0.00380 0.00689 -0.20 0.73529 0.73529 0.73529 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 -0.10 0.91743 0.92247 0.91516 0.00504 0.00549 -0.00227 -0.00247 0.00 1.00000 1.00000 1.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.10 0.91743 0.92247 0.91516 0.00504 0.00549 -0.00227 -0.00247 0.20 0.73529 0.73529 0.73529 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.30 0.55249 0.53935 0.55629 -0.01314 -0.02378 0.00380 0.00689 0.40 0.40984 0.40984 0.40984 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.50 0.30769 0.33383 0.30640 0.02614 0.08494 -0.00129 -0.00419 0.60 0.23585 0.23585 0.23585 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.70 0.18484 0.11010 0.18484 -0.07474 -0.40433 0.00000 0.00000 0.80 0.14793 0.14793 0.14793 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.82 0.14181 0.19906 0.14193 0.05725 0.40368 0.00012 0.00082 0.84 0.13605 0.26605 0.13631 0.13001 0.95560 0.00026 0.00192 0.86 0.13061 0.34608 0.13103 0.21547 1.64974 0.00042 0.00320 0.88 0.12548 0.43329 0.12604 0.30781 2.45313 0.00057 0.00452 0.90 0.12063 0.51779 0.12131 0.39716 3.29244 0.00069 0.00569 0.92 0.11604 0.58445 0.11680 0.46841 4.03656 0.00076 0.00651 0.94 0.11170 0.61150 0.11245 0.49980 4.47440 0.00075 0.00669 0.96 0.10759 0.56881 0.10823 0.46122 4.28677 0.00064 0.00592 0.98 0.10370 0.41597 0.10409 0.31228 3.01147 0.00040 0.00383 1.00 0.10000 0.10000 0.10000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 尽管从数据可以看出一些端倪，但是通过图象我们更能清楚地看到最终插值结果的定性情况。首先我们给出、及S(x)的曲线:图1.1实验图像其中蓝色的oo曲线代表曲线,绿色的曲线代表曲线。可见此时两者之间具有很大的差别，尤其在端点附近会出现严重的偏离的现象，即出现了所谓的Runge现象。红色的*曲线代表曲线，可见两条曲线几乎完全重合，与符合的很好。可见，收敛性很好。也许有人疑问，当结点减少时，实验结果是什么样子的呢？我们可以通过实验求证一下，取n=5时，对实验数据图像进行分析。在此，由于数据量过大，对于数据的分析不多探讨，我们之间对图像进行直观性的比较分析。图1-2 结点减少为5时，图像的比较通过上面的图像，我们可以很直观的看出，三次样条插值收敛性比较好，比较贴近原始图像，而通过对图1-1和图1-2的比较可知结点增加时，Lagrange插值图像偏离加大，三次样条收敛依然良好。我们可以再试着增加结点，比较相应的结果，取结点数n=20时，既把之前的主程序文件结点数设置为20时，再一次得到相应的数据和图像，由于数据量过大，在此不做过多研究，仅仅给出比较图像对实验进行分析。图1-3 结点增加为20时，图像比较由上图很容易看出，当结点增加时，Lagrange插值图像与原始图片偏离更加严重，而三次样条插值光滑度依然很好，而且精度比之前的更高，几乎完全重合，误差进一步减小，可见其收敛性。由此，通过上面的实验数据及图像的比较分析，很容易验证了就样条插值的收敛性。附录Lagrange插值多项式的子程序文件Myfun_1.mfunction y = Myfun_1(x0,y0,x)n=length(x0)m=length(x);for i=1:m sum=0.0; for j=1:n p=1.0; for k=1:n if (k=j) p=p*(x(i)-x0(k)/(x0(j)-x0(k); end end sum=sum+p*y0(j); end y(i)=sum;end总结我们通过本次试验中的实际计算发现对本次试验中的Lagrange插值函数确实出现了Runge现象，尤其当结点增加的时候偏离现象尤为明显，而且有时会在插值区间的两端点附近会出现严重的偏离的现象，即所谓的Runge现象。插值结果很不令人满意；我们转而采用分段的三次样条插值，随着n的增大，三次样条插值多项式将越来越接近被插值的函数，得到了非常好的插值效果。同时也在比较中验证了样条插值的收敛性。同时，经过这几天的努力，数值分析的课程设计终于完成了，有种如释重负的感觉。我认识到：知识必须通过应用才能实现其价值！有些东西以为学会了，但真正到用的时候才发现自己不知如何使用，所以我认为只有到真正会用的时候才是真的学会了，自己所要做的是要更加努力。课程设计不仅是对前面所学知识的一种检验，而且也是对自己能力的一种提高。通过这次课程设计使我明白了自己原来知识还比较欠缺，自己要学习的东西还太多。这次课程设计，让我更加明白学习是一个长期积累的过程。这次的课程设计也使我意识到了只是运用的重要性，平时学的知识只有运用到实践中才能发挥它本身的作用，才能创造更大的价值。参考文献1 黄明游，冯国忱.数值分析M.北京：高等教育出版社,20082 曹弋，MATLAB教程及实训M.北京：机械工业出版社,20083 石博强,赵金.MATLAB数学计算与工程分析范例教程M.北京:中国铁道出版社,2005.翻译英语原文：SPLINE Cubic spline data interpolation.YY = SPLINE(X,Y,XX) uses cubic spline interpolation to find YY, the values of the underlying function Y at the points in the vector XX. The vector X specifies the points at which the data Y is given. If Y is a matrix, then the data is taken to be vector-valued and interpolation is performed for each column of Y and YY will be length(XX)-by-size(Y,2). PP = SPLINE(X,Y) returns the piecewise polynomial form of the cubic spline interpolant for later use with PPVAL and the spline utility UNMKPP. Ordinarily, the not-a-knot end conditions are used. However, if Y contains two more values than X has entries, then the first and last value in Y are used as the endslopes for the cubic spline. Namely:f(X) = Y(:,2:end-1), df(min(X) = Y(:,1), df(max(X) = Y(:,end) Example: This generates a sine curve, then samples the spline over a finer mesh:x = 0:10; y = sin(x);xx = 0:.25:10;yy = spline(x,y,xx);plot(x,y,o,xx,yy) Example: This illustrates the use of clamped or complete spline interpolation where end slop