【学海导航】高考数学第一轮总复习 9.6空间向量的坐标运算（第1课时）课件 理 （广西专版）.ppt

第九章直线 平面 简单几何体 空间向量的坐标运算 第讲 6 第一课时 1 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直 且长都为1 则这个基底叫做 常用 i j k 来表示 2 在空间选定一点o和一个单位正交基底 i j k 以o为原点 分别以i j k的方向为正方向建立三条数轴 x轴 y轴 z轴 它们都叫做 点o叫做原点 向量i j k都叫做 单位正交基底 坐标轴 坐标向量 通过每两个坐标轴的平面叫做 分别称为xoy平面 yoz平面 zox平面 3 在空间直角坐标系中 记右手拇指指向 的正方向 食指指向 的正方向 如果中指能指向 的正方向 则称这个坐标系为右手直角坐标系 4 在空间直角坐标系o xyz中 对空间任一向量a 满足a a1i a2j a3k的有序实数组 a1 a2 a3 叫做a的坐标 简记为a 坐标平面 x轴 y轴 z轴 a1 a2 a3 5 在空间直角坐标系o xyz中 对空间任一向量a 满足a xi yj zk的有序实数组 x y z 叫做点a的坐标 记作 其中x y z分别叫做点a的 6 设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则 a x y z 横坐标 纵坐标 竖坐标 a b a b a r a b a b r a b a1b1 a2b2 a3b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1b1 a2b2 a3b3 0 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1 a2 a3 7 设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则cos a b 8 设a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则dab 9 如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面 即a 那么向量a叫做平面 的 法向量 1 已知向量a 1 1 0 b 1 0 2 且ka b与2a b互相垂直 则k的值是 a 1b c d 解 ka b k 1 1 0 1 0 2 k 1 k 2 2a b 2 1 1 0 1 0 2 3 2 2 因为两向量垂直 所以3 k 1 2k 2 2 0 解得k d 2 在空间直角坐标系中 已知点a 1 0 2 b 1 3 1 点m在y轴上 且m到a与到b的距离相等 则m的坐标是 解 设m 0 y 0 由12 y2 4 1 3 y 2 1 可得y 1 故m 0 1 0 0 1 0 3 已知空间三点a 1 1 1 b 1 0 4 c 2 2 3 则与的夹角 的大小是 解 2 1 3 1 3 2 所以 120 120 1 如图 在棱长为1的正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是d1d db的中点 g在棱cd上 且cg cd h是c1g的中点 以d为原点 da dc dd1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 求向量和的坐标 题型1求点和向量的坐标 解 由已知可得 e 0 0 f 0 c1 0 1 1 g 0 0 因为h是c1g的中点 所以h 0 故点评 涉及空间向量的坐标问题 首先建立空间直角坐标系 即找到从一点出发的三条两两互相垂直的直线 以此点为原点 三条直线分别为三条坐标轴 然后根据条件写出关键点的坐标 再求得向量的坐标 如图所示 pd 平面abcd 且四边形abcd为正方形 ab 2 e是pb的中点 cos 1 建立适当的空间直角坐标系 写出点e的坐标 2 在平面pad内求一点f 使ef 平面pcb 解 1 以点d为原点 以da dc dp所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 则a 2 0 0 b 2 2 0 c 0 2 0 设e 1 1 m 所以 1 1 m 0 0 2m 所以cos 解得m 1 所以点e的坐标是 1 1 1 2 因为f 平面pad 所以可设f x 0 z 则 x 1 1 z 1 因为ef 平面pcb 所以 由 x 1 1 z 1 2 0 0 0 解得x 1 由 x 1 1 z 1 0 2 2 0 解得z 0 所以点f的坐标是 1 0 0 即点f是ad的中点 2 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n e分别是a1d1 a1b1 c1d1的中点 求证 be 平面amn 证明 如图建立空间直角坐标系 设正方体的棱长为4 则a 4 0 0 m 2 0 4 n 4 2 4 b 4 4 0 e 0 2 4 题型2平行问题的判定与证明 所以 2 2 0 2 0 4 4 2 4 设 x y 则解得所以 所以与 共面 所以be 平面amn 点评 利用坐标向量判断平行 或共面 问题的思路是 先利用平面向量基本定理 即向量a与两向量b c共面的充要条件 a xb yc x y r 当向量b c是坐标形式时 由待定系数法可得三个方程 两个未知数 如果有解 则说明三向量共线 再根据向量对应直线的关系得到平行 或共面 3 如图 直三棱柱abc a1b1c1d1中 acb 90 ac 1 cb 2 侧棱aa1 1 侧面aa1b1b的两条对角线的交点为d b1c1的中点为m 求证 cd 平面bdm 证明 如图建立直角坐标系 则b 0 0 b1 1 0 a1 0 1 1 d m 1 0 题型3垂直问题的判定与证明 所以 1 1 0 于是有所以cd a1b 且cd dm 因为a1b和dm为平面bdm内两条相交直线 所以cd 平面bdm 点评 利用空间向量的坐标运算证空间两直线垂直问题的一般步骤是 先建立空间直角坐标系 然后写出 或求出 关键点的坐标 再计算出直线所对应向量的坐标 最后计算其数量积 并判断是否为零 如图所示 已知在矩形abcd中 ab 1 bc a a 0 pa 平面abcd 且pa 1 1 试建立适当的坐标系 并写出点p b d的坐标 2 问当实数a在什么范围时 bc边上能存在点q 使得pq qd 解 1 以a为坐标原点 ab ad ap所在直线分别为x y z轴建立坐标系 如图所示 因为pa ab 1 bc a 所以p 0 0 1 b 1 0 0 d 0 a 0 2 设点q 1 x 0 则 1 x a 0 1 x 1 由 0 得x2 ax 1 0 显然当该方程有实数解时 bc边上才存在点q 使得pq qd 故 a2 4 0 因为a 0 故a的取值范围为 2 1 在给定的空间直角坐标系中 对任一向量a 据空间向量基本定理知 a的坐标是唯一存在的 2 在空间直角坐标系o xyz中 对空间任一点p 过点p作yoz平面的平行平面 交x轴于点a 则点p的横坐标 且当与i方向相同时 x 0 反之 x 0 同理可确定点p的纵坐标y和竖坐标z 3 在空间直角坐标系中 求点的坐标主要有三种方法 一是几何法 即通过点p到三个坐标平面的距离来确定点p的坐标 二是待定系数法 即首先设出点p的坐标 再结合条件建立方程组求待定系数的值 进而得到点p的坐标 三是向量运算法 即把求点p的坐标转化为求向量的坐标 4 若点p在直线ab上 设 1 a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则利用待定系数法可得点p的坐标为 这就是空间有向线段定比分点公式 可用来求点的坐标 5 在空间图形中 若有三条两两互