02导数概念 王振堂 高等数学 教学课件

一 导数的定义 3 2导数概念 二 导数的几何意义 三 左右导数 四 可导与连续的关系 上面两个实际例题的具体含义很不相同 但从抽象的数量关系来看 实质是一样的 都归结为计算函数改变量与自变量改变量的比当自变量改变量趋于0时的极限 这种特殊的极限叫作函数的导数 瞬时速度 切线斜率 一 导数的定义 一 导数的定义 定义3 1 导数 设函数y f x 在点x0的某个邻域内有定义 如果极限 存在 则称此极限值为函数f x 在点x0处的导数 可记为 导数定义式的其他形式 可导性如果函数f x 在点x0处有导数 则称函数f x 在点x0处可导 否则称函数f x 在点x0处不可导 如果函数f x 在某区间 a b 内每一点处都可导 则称f x 在区间 a b 内可导 导函数设f x 在区间 a b 内可导 此时 对于区间 a b 内每一点x 都有一个导数值与它对应 这就定义了一个新的函数 称为函数y f x 在区间 a b 内对x的导函数 简称为导数 记作 导函数的定义式 解 例1 求函数y x2在点x 2处的导数和它的导函数 当x由2改变到2 x时 函数改变量为 y 2 x 2 22 4 x x 2 当x由x改变到x x时 函数改变量为 y x x 2 x2 2x x x 2 2x x x 2x x 2x 由导数定义可将求导数方法概括为以下几个步骤 求对应与自变量的改变量 x的函数改变量 y f x x f x 作比值 求极限 解 解 1 y a x x b ax b 例2 求线性函数y ax b的导数 a x 解 解 解 例5 给定函数f x x3 求 f x f 0 f 1 f x0 1 y x x 3 x3 3x2 x 3x x 2 x 3 解 连续性与可导性 因为 所以f x 在点x 0处连续 因为极限 不存在 所以f x 在点x 0处不可导 二 导数的几何意义 函数y f x 在点x0处的导数f x0 就是曲线y f x 在点M x0 y0 处的切线的斜率 由导数的几何意义及直线的点斜式方程 可知曲线y f x 上点 x0 y0 处的切线方程为y y0 f x0 x x0 解 所求切线方程为 即x y 2 0 y 1 x 1 二 导数的几何意义 函数y f x 在点x0处的导数f x0 就是曲线y f x 在点M x0 y0 处的切线的斜率 由导数的几何意义及直线的点斜式方程 可知曲线y f x 上点 x0 y0 处的切线方程为y y0 f x0 x x0 法线方程为 法线方程为 即y x y 1 x 1 和法线方程 三 左右导数 定义3 2 左右导数 设函数y f x 在x0的某邻域内有定义 三 左右导数 定义3 2 左右导数 当且仅当函数在一点的左 右导数存在且相等时 函数在该点才是可导的 可导与左右导数的关系 函数在闭区间上的可导性 函数f x 在 a b 上可导 指f x 在开区间 a b 内处处可导 且存在f b 及f a 四 可导与连续的关系 定理3 1 可导与连续的关系 如果函数y f x 在点x0处可导 则它在点x0处一定连续 这是因为 如果函数f x 在x0可导 则 这个定理的逆定理不成立 即函数y f x 在点x0处连续 但在点x0处不一定可导 请记住 可导一定连续 但连续不一定可导 应注意的问题 解 因为 从而函数y x 在x 0处连续 因为 所以函数y x 在x 0处不可导 解 的连续性与可导性 1 连续性 所以f x 在点x 0处不连续 从而在点x 0处也不可导 因为 因为f 0 1 而 解 的连续性与可导性 因为 所以