高中数学第一讲坐标系一平面直角坐标系成长训练.docx

一 平面直角坐标系主动成长夯基达标1.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线2x2+8y2=1，则曲线C的方程为()A.50x2+72y2=1B.9x2+100y2=1C.25x2+36y2=1D.解析:将代入曲线方程2x2+8y2=1,得2(5x)2+8(3y)2=1,即50x2+72y2=1.答案:A2.将曲线x2+y2=1伸缩变换为的伸缩变换公式为()A.B.C.D.解析:设伸缩变换为代入=1得=1与x2+y2=1比较,得2=4,2=9.=2,=3.答案:A3.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.(1)5x+2y=0;(2)x2+y2=1.解:(1)由伸缩变换得到将代入5x+2y=0,得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x+3y=0.经过伸缩变换后,直线仍然变成直线.(2)将代入x2+y2=1,得到经过伸缩变换后的图形的方程是=1.经过伸缩变换后,圆可以变成椭圆.4.在同一平面直角坐标系中，将曲线x2-36y2-8x+12=0变成曲线x2-y2-4x+3=0，求满足图象变换的伸缩变换.解:设伸缩变换为将其代入方程x2-y2-4x+3=0得2x2-2y2-4x+3=0.与方程x2-36y2-8x+12=0比较系数得=,=3.伸缩变换为x=5.ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，则A点的轨迹方程是_.解析:取B、C所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,则B(-2,0),C(2,0).设A(x,y),则D(0,0),|AD|=3.x2+y2=9(y0).答案:x2+y2=9(y0)6.在气象台A正西方向300千米处有一台风中心,它以每小时40千米的速度向东北方向移动,距台风中心250千米以内的地方都要受其影响.问:从现在起,大约多长时间后,气象台A所在地将遭受台风影响持续多长时间?解析:本题的解决如果从题意上考虑,较难入手解决,我们可以考虑通过建立平面直角坐标系来解决.解:如图所示,以气象台为坐标原点,正东方向为x轴正方向,建立直角坐标系.则现在台风中心B的坐标为(-300,0).根据题意,可知,t小时后,B1的坐标为(-300+40tcos45,40tsin45),即(-300+20t,20t),因为以台风中心为圆心,以250千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响,所以B1在圆上或圆内时,气象台将受台风影响.所以令|AB1|250,即(-300+20t)2+(20t)22502,整理得16t2-120t+2750.解得1.99t8.61.故大约2小时后,气象台A所在地将遭受台风影响,大约持续6个半小时.7.如图,已知A、B、C是直线m上的三点，且|AB|=|BC|=6，O切直线m于点A，又过B、C作O异于m的两切线，切点分别为D、E，设两切线交于点P，（1）求点P的轨迹方程;（2）经过点C的直线l与点P的轨迹交于M、N两点，且点C分所成的比等于23，求直线l的方程.解析:先根据圆切线的定义,可得到点P的轨迹是椭圆,然后建立适当的坐标系求出点P的轨迹方程来；根据定比分点坐标公式,找出相关点的坐标来,列出方程组求出点M、N的坐标,从而求出直线方程.解:（1）|PE|=|PD|,|BD|=|BA|,|CE|=|CA|,|PB|+|PC|=|PD|+|DB|+|CE|-|PE|=|BD|+|CE|=|AB|+|CA|=186=|BC|,P点轨迹是以B、C为焦点,长轴长等于18的椭圆.以B、C两点所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则可设椭圆的方程是=1(ab0).a=9,c=3,b2=72.P点的轨迹方程是=1(y0).（2）设M(x1,y1)、N(x2,y2),C(3,0)分MN所成的比为,由消去y2,得(5-x2)2+(1-)=1,解得x2=-3,y2=8,即N(-3,8).由C、N可得直线的方程是4x+3y-12=0或4x-3y-12=0.8.如右图,某隧道设计为双向四车道，车道总宽22 m，要求通行车辆限高4.5 m，隧道全长2.5 km，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.（1）若最大拱高h为6 m，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）若最大拱高h不小于6 m，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为lh，柱体体积为底面积乘以高.结果精确到0.1 m）解析:当最大拱高h为定值时,隧道设计的拱宽l即为2a；当最大拱高h为变量时,可根据均值定理,得到椭圆面积为最小.解:（1）如图建立坐标系,则点P(11,4.5),椭圆方程为=1.将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程,得a=,l=2a=33.3.故隧道的拱宽约为33.3 m.（2）由椭圆方程=1,得=1.因为即ab99,且l=2a,h=b,所以S=lh=.当S取最小值时,有,得a=11,b=,此时,l=2a=2231.1,h=b6.4.故当拱高约为6.4 m,拱宽约为31.1 m时,土方工程量最小.9.某河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货后木船露在水面上的部分高为m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，木船开始不能通航？解析:求抛物线方程时,若由已知条件可知曲线是抛物线,一般用待定系数法.本题中影响通航的因素是高度和宽度,而宽度是首要的,据对称性,可取拱顶为坐标原点,拱桥的对称轴为y轴建立直角坐标系xOy,设抛物线方程为x2=-2py(p0),运用待定系数法确定参数p,问题即可获解.解:根据题意,建立右图所示的直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p0),A（4,-5）在抛物线上,42=-2p(-5),p=1.6.x2=-3.2y(-4x4).设当水面BB上涨到与抛物线拱顶相距h米时船开始不能通航,这时木船两侧与抛物线接触,于是可设木船宽BB的端点B的坐标为（2,y1）,由22-3.2y1,得y1-,h=|y1|+=|-|+=2（m）,所以当水面上涨到与抛物线拱顶相距2 m时,船开始不能通航.10.我们有一种数学方法：数形结合.如果要采取这种方法，基本上都是要建立适当的坐标系，我们为什么要采取这种方法呢？ 答案:坐标系的创建，在代数和几何之间架起了一座桥梁.利用坐标系，我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一个点的位置.它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法应用于几何学的研究.建立直角坐标系，数形结合，我们可以解决许多数学问题，如函数问题就常常需要借助直角坐标系来解决.而在其他领域，坐标系与物理、化学等相关学科交织在一起，在日常生活中有着广泛的应用.如飞机航行、炮弹发射问题等等.我们生活中有这样一个例子：教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，那么学生距墙壁多远时看黑板最清楚（即所张的视角最大）？我们就可以建立一个平面直角坐标系,运用三角函数的知识加以解决，如图所示.平面直角坐标系是进一步学习函数、三角函数及其他坐标系的必备基础知识.走近高考1.为了得到函数y=2sin(),xR的图象,只需把函数y=2sinx,xR的图象上所有的点()A.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)B.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)C.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)答案:C2.如图,已知直线l与半径为1的D相切于点C,动点P到直线l的距离为d,若,建立适当的直角坐标系,求点P的轨迹方程.解:点P的轨迹是以点D为焦点,l为相应准线的椭圆.由e=-c=1,解得a=,c=1,b=1.于是以CD所在直线为x轴,以CD与D的另一交点O为坐标原点建立直角坐标系,所求点P的轨迹方程为+y2=1.3.在平面直角坐标系xOy中,有一个以F1(0,-)和F2(0, )为焦点、离心率为的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向