勾股定理正式

18 1勾股定理 韩城市新城区第一中学苏春荣 毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家 数学家 天文学家 相传2500 年前 一次 毕达哥拉斯去朋友家作客 在宴席上 其他的宾客都在尽情欢乐 高谈阔论 只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来 原来 朋友家的地是用一块块等腰直角三角形形状的砖铺成的 黑白相间 非常美观大方 主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪 就想过去问他 谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子 站起来 大笑着跑回家去了 原来他发现朋友家用砖铺成的地面中反映了的直角三角形的某种特性 同学们 我们也来观察下面图中的地面 看看你能发现这种特性吗 是否也和大哲学家有同样的发现呢 数学家毕达哥拉斯的故事 探究 毕达哥拉斯 公元前572 前492年 古希腊著名的哲学家 数学家 天文学家 A B C的面积有什么关系 SA SB SC 这个等腰直角三角形三边有什么关系 两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C 如图 每个小方格的边长均为1 请分别算出图中正方形A B C的面积 看看能得出什么结论 SA SB SC 对于等腰直角三角形有这样的性质 两直角边的平方和等于斜边的平方 D F E 图 A B C 图2 图3 4 9 13 9 25 34 sA sB sC 两直角边的平方和等于斜边的平方 探究与猜想 对于非等腰直角三角形有这样的性质吗 这个图形的面积可以怎样表示呢 证明 c a b a 证明 如果直角三角形两直角边分别为a b 斜边为c 那么a2 b2 c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 勾 股 弦 勾股定理 C B A 1 在Rt ABC中 C 90 已知 a 5 b 12 求c 已知 b 6 c 10 求a 已知 a 7 c 25 求b c a b 总结 已知直角三角形的任意两边 通过勾股定理可以求出第三边 学以致用 C A B 在一个直角三角形中 两边长分别为6 8 则第三边的长为 强化提高 本节课你有哪些收获 回顾反思 必做 习题1 题 10题 选做 通过查阅资料 了解勾股定理的证明方法 作业 再见 猜想 命题1如果直角三角形的两直角边长分别为a b 斜边长为c 那么 看左边的图案 这个图案是公元3世纪我国汉代的赵爽在注解 周髀算经 时给出的 人们称它为 赵爽弦图 赵爽根据此图指出 四个全等的直角三角形 红色 可以如图围成一个大正方形 中间的部分是一个小正方形 黄色 是不是所有的直角三角形都具有这样的特点呢 这就需要我们对一个一般的直角三角形进行证明 到目前为止 对这个命题的证明方法已有几百种之多 下面我们就来看一看我国汉代数学家赵爽是怎样证明这个命题的 命题1如果直角三角形的两直角边长分别为a b 斜边长为c 那么 猜想 赵爽弦图 表现了我国古代人对数学的钻研精神和聪明才智 它是我国数学的骄傲 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理 而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明 最早对勾股定理进行证明的 是三国时期吴国的数学家赵爽 正因为此 这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会会徽 这个定理在中国又称为 商高定理 在外国称为 毕达哥拉斯定理 为什么一个定理有这么多名称呢 商高是公元前十一世纪的中国人 当时中国的朝代是西周 是奴隶社会时期 在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作 周髀算经 中记录着商高同周公的一段对话 商高说 故折矩 勾广三 股修四 经隅五 什么是 勾 股 呢 在中国古代 人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 勾 下半部分称为 股 商高那段话的意思就是说 当直角三角形的两条直角边分别为3 短边 和4 长边 时 径隅 就是弦 则为5 以后人们就简单地把这个事实说成 勾三股四弦五 由于勾股定理的内容最早见于商高的话中 所以人们就把这个定理叫作 商高定理 毕达哥拉斯 Pythagoras 是古希腊数学家 他是公元前五世纪的人 比商高晚出生五百多年 希腊另一位数学家欧几里德 Euclid 是公元前三百年左右的人 在编著 几何原本 时 认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的 所以他就把这个定理称为 毕达哥拉斯定理 以后就流传开了 史话勾股定理 在西方 希腊数学家欧几里德 Euclid 公元前三百年左右 在编著 几何原本 时 认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的 所以他就把这个定理称为 毕达哥拉斯定理 以后就流传开了 毕达哥拉斯 Pythagoras 是古希腊数学家 他是公元前五世纪的人 比商高晚出生五百多年 相传 毕达哥拉斯学派找到了勾股定理的证明后 欣喜若狂 杀了一百头牛祭神 由此 又有 百牛定理 之称 本节课我们经历了怎样的过程 经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理 再到探索定理 最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程 本节课我们学到了什么 通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理 还知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索 验证数学结论的数形结合思想 学了本节课后我们有什么感想 很多的数学结论存在于平常的生活中 需要我们用数学的眼光去观察 思考 发现 这节课我们还受到了数学文化辉煌历史的教育 这节课你有什么收获 a b 2 a2 b2 2ab c2 2ab 可得 a2 b2 c2 生活中的数学问题 一个门框的尺寸如图所示 一块长 m 宽 m的薄木板能否从门框内通过 为什么 2m 1m 探究1 图2 图3 4 9 13 9 25 34 sA sB sC 两直角边的平方和等于斜边的平方 对于任意直角三角形都有这样的性质吗 a b c c2 a2 b2 结论变形 图1 1 如图 每个小方格的面积均为1 请分别算出图中正方形A B C的面积 看看能得出什么结论 SA SB SC 作业 P77习题1 题 10题 1 在 ABC中 C 90 a 6 b 8 则c 2 在 ABC中 a 6 b 8 试求第三边c的值 10 练一练 b a c a2 b2 c2 9 9 16 16 25 25 B A C 等腰直角三角形有上述性质 其他的直角三角形也有这个性质吗 如图 每个小方格的面积均为1 请分别算出图中正方形A B C的面积 看看能得出什么结论 探究 SA SB SC c b a c2 a b 2 4 ab a2 2ab b2 2ab c2 a2 b2 依据科学理论的证实 一 3世纪我国汉代的赵爽指出 四个全等的直角三角形如下拼成一个中空的正方形 由大正方形的面积等于小正方形的面积与4个三角形的面积和得 两直角边的平方和等于斜边的平方 赵爽弦图 A B C的面积有什么关系 直角三角形三边有什么关系 SA SB SC 两直边的平方和等于斜边的平方 2 求出下列直角三角形中未知边的长度 5 x 13 学以致用 做一做 解 1 在Rt ABC中 由勾股定理得 AB2 AC2 BC2 X2 36 64 x2 100 x2 62 82 x 10 x 0 x2 52 132 x2 132 52 x2 144 x 12 2 在Rt ABC中 由勾股定理 AB2 AC2 BC2 x 0 A C B A C B 课堂小结 勾股定理是几何中最重要的定理之一 它揭示了直角三角形三边之间的数量关系 勾股定理的主要作用是在直角三角形中 已知任意两边求第三边的长 在1876年一个周末的傍晚 美国华盛顿的郊外 有一位中年人正在散步 欣赏黄昏的美景 他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德 他走着走着 突然发现附近的一个小石凳上 有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么 时而大声争论 时而小声探讨 由于好奇心驱使 伽菲尔德循声向两个小孩走去 想搞清楚两个小孩到底在干什么 只见一个小男孩正俯着身子 用树枝在地上画一个直角三角形 于是伽菲尔德便问 你们在干什么 只见那个小男孩头也不抬地说 请问先生 如果直角三角形的两条直角边分别是 和4 那么斜边长为多少呢 伽菲尔德答到 是 呀 小男孩又问道 如果两条直角边分别为 和 那么这个直角三角形的斜边长又是多少呢 伽菲尔德不假思索地回答到 那斜边的平方 一定等于5的平方加上7的平方 小男孩又说道 先生 你能说出其中的道理吗 伽菲尔德一时语塞 无法解释了 心理很不是滋味 于是伽菲尔德不再散步 立即回家 潜心探讨小男孩给他留下的难题 依据科学理论的证实 二 a b b a c2 2 ab a2 ab b2 c2 ab a2 b2 c2 a a b b c c 伽菲尔德经过反复的思考与演算 终于弄清楚了其中的道理 并给出了简洁的证明方法 1876年4月1日 伽菲尔德在 新英格兰教育日志 上发表了他对勾股定理的这一证法 1881年 伽菲尔德就任美国第二十任总统后 人们为了纪念他对勾股定理直观 简捷 易懂 明了的证明 就称这一证法称为 总统 证法 b a a b 2 c2 4 ab a2 2ab b2 c2 2ab a2 b2 c2 c 依据科学理论的证实 三 目前 世界上共有500多种证明 勾股定理 的方法 定理 经过证明被确认是正确的命题叫做定理 本节课我们经历了怎样的过程 经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理 再到探索定理 最后学会验证定理的过程 本节课我们学到了什么 通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理 还知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索 验证数学结论的数形结合思想 得出结论 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和 等于以斜边为边长的正方形的面积 即在等腰直角三角形中 两直角边的平方和等于斜边的平方 一起探究 等腰直角三角形三边之间有上述性质 那么其他的直角三角形三边是否也具有上述性质呢 请用网格纸动手画一画 量一量 和同桌交流想法 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾 较长的直角边称为股 斜边称为弦 所以命题1叫勾股定理 经过证明被确认正确的命题叫定理 C的面积 单位面积 13 25 1 观察图1 图2 并填写下表 A的面积 单位面积 B的面积 单位面积 图1 图2 16 9 4 9 做一做 分割成若干个直角边为整数的三角形 面积单位 2 三个正方形A B C的面积之间有什么关系 SA SB SC 即 两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积 命题1如果直角三角形的两直角边长分别为a b 斜边长为c 那么 猜想 4