高中数学 第四章 导数及其应用 4.3 导数在研究函数中的应用 4.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值课件 湘教版选修22.ppt

课标要求 1 理解函数最值的概念 了解函数最值与极值的区别和联系 2 会用导数求在闭区间上三次的多项式函数的最大值 最小值 4 3 3三次函数的性质 单调区间和极值 三次函数的导数零点与其单调区间和极值设f x ax3 bx2 cx d a 0 f x 3ax2 2bx c a 0 填写下表 当a 0时 自学导引 u v u v 递增 递增 递增 递减 递增 无 无 x u x v u v u v 递减 递减 递减 递增 递减 当a 0时 极小值 极大值 求函数y f x 在 a b 上的最值与求f x 的极值有什么不同 提示根据函数最值的定义及求最值的方法可知 1 求函数的最值与求函数的极值不同的是 在求可导函数的最值时 不需要对各导数为0的点讨论其是极大值还是极小值 只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可 2 可利用函数的单调性求f x 在闭区间上的最值 若f x 在 a b 上单调递增 则f x 的最大值为f b 最小值为f a 若f x 在 a b 上单调递减 则f a 为函数的最大值 f b 为函数的最小值 自主探究 下列说法正确的是 a 函数在其定义域内若有最值与极值 则其极大值便是最大值 极小值便是最小值b 闭区间上图象连续不断的函数一定有最值 也一定有极值c 若函数在其定义域上有最值 则一定有极值 反之 若有极值则一定有最值d 若函数在给定区间上有最值 则最多有一个最大值 一个最小值 但若有极值 则可有多个极值甚至无穷多个答案d 预习测评 1 答案a 若函数f x 在 a b 上f x 0 则f a 是函数的最 值 f b 是函数的最 值 答案小大已知函数f x x3 ax在r上递增 则a的取值范围是 解析f x x3 ax f x 3x2 a由题意 得3x2 a 0即a 3x2在r上恒成立 a 0 答案 0 3 4 三次函数f x ax3 bx2 cx d a 0 的导数f x 为二次函数f x 3ax2 2bx c a 0 当f x 有两个不相等的零点时 f x 有一个极大值 一个极小值 对应有三个单调区间 当f x 有一个零点或没有零点时 f x 没有极值 此时f x 是单调的 具体分析如下 方程f x 0根的判别式 4b2 12ac 则有 要点阐释 1 三次函数的性质 当 0时 若a 0则f x 在r上是增函数 若a0时 设f x 0的两根x10时 f x 的递增区间有两个 为 x1 和 x2 递减区间有一个 为 x1 x2 x1是极大值点 x2是极小值点 当a 0时 f x 的递减区间有两个 为 x1 和 x2 递增区间有一个 为 x1 x2 x1是极小值点 x2是极大值点 1 极值是部分区间内的函数的最值 而最值是相对整个区间内的最大或最小值 2 求最值的步骤 求出函数y f x 在 a b 内的极值 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 2 求函数y f x 在 a b 上的最值 1 函数的极值表示函数在某一点附近的局部性质 是在局部对函数值的比较 函数的最值是表示函数在一个区间上的情况 是对函数在整个区间上的函数值的比较 2 函数的极值不一定是最值 需要将极值和区间端点的函数值进行比较 或者考查函数在区间内的单调性 3 如果连续函数在区间 a b 内只有一个极值 那么极大值就是最大值 极小值就是最小值 4 可导函数在极值点的导数为零 但是导数为零的点不一定是极值点 例如 函数y x3在x 0处导数为零 但x 0不是极值点 3 极值与最值的区别和联系 1 f x 2x3 3x2 6x 1 2 f x 2x3 9x2 12x 7 典例剖析 题型一求三次函数的单调区间和极值点 例1 求下列函数的单调区间和极值点 点评对此类题目 只要理解了f x 的符号对函数f x 取极值的影响 所有问题便迎刃而解 所以重要的是方法的领悟 1 求f x 的单调递减区间 2 若f x 在区间 2 2 上的最大值为20 求它在该区间上的最小值 题型二三次函数的最值 例2 已知函数f x x3 3x2 9x a 2 结合 1 令f x 0 得x 1或x 3 又x 2 2 x 1 当 20 x 1是函数f x 的极小值点 该极小值也就是函数f x 在 2 2 上的最小值 即f x min f 1 a 5 又函数f x 的区间端点值为f 2 8 12 18 a a 22 f 2 8 12 18 a a 2 a 22 a 2 f x max a 22 20 a 2 此时f x min a 5 2 5 7 点评 1 函数在闭区间上的最大值和最小值 就是开区间上的极值和端点的函数值中的最大 最小值 2 若在闭区间上只有一个极大值 或极小值 这个极大值 或极小值 即为函数的最大值 或最小值 另一最值在区间的端点处取得 解法一函数f x 的导数f x x2 ax a 1 令f x 0 解得x 1或x a 1 当a 1 1 即a 2时 函数f x 在 1 上为增函数 不合题意 当a 1 1 即a 2时 函数f x 在 1 上为增函数 在 1 a 1 上为减函数 在 a 1 上为增函数 题型三由三次函数的单调性确定参数的值或范围 点评f x 为增函数 一定可以推出f x 0 但反之不一定 因为f x 0 即为f x 0或f x 0 当函数在某个区间内恒有f x 0 则f x 为常函数 不具有单调性 所以f x 0是f x 为增函数的必要不充分条件 设函数f x 2x3 3ax2 3bx 8c在x 1和x 2时取得极值 1 求a b的值 2 若对于任意的x 0 3 都有f x c2成立 求c的取值范围 3 2 由 1 可知 f x 2x3 9x2 12x 8c f x 6x2 18x 12 6 x 1 x 2 当x 0 1 时 f x 0 当x 1 2 时 f x 0 所以 当x 1时 f x 取极大值f 1 5 8c 又f 3 9 8c 则当x 0 3 时 f x 的最大值为f 3 9 8c 因为对于任意的x 0 3 有f x 9 因此c的取值范围为 1 9 求函数f x x3 2