中考数学复习 第四章 图形的认识 4.5 特殊的平行四边形（试卷部分）课件.ppt

第四章图形的认识4 5特殊的平行四边形 中考数学 福建专用 1 2016宁德 8 4分 如图 已知 abc ab ac 将 abc沿边bc翻转 得到的 dbc与原 abc拼成四边形abdc 则能直接判定四边形abdc是菱形的依据是 a 四条边相等的四边形是菱形b 一组邻边相等的平行四边形是菱形c 对角线互相垂直的平行四边形是菱形d 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 a组2014 2018年福建中考题组 五年中考 答案a由轴对称性质可知 ab bd ac cd 又 ab ac ab ac cd bd 四边形ab dc是菱形 2 2015龙岩 10 4分 如图 菱形abcd的周长为16 abc 120 则ac的长为 a 4b 4c 2d 2 答案a设ac与bd相交于点o 四边形abcd是菱形 且周长为16 abc 120 ab 4 ac bd ac 2ao abo 60 在rt abo中 ao ab sin60 2 ac 4 故选a 3 2016漳州 16 4分 如图 正方形abco的顶点c a分别在x轴 y轴上 bc是菱形bdce的对角线 若 d 60 bc 2 则点d的坐标是 答案 2 1 解析过点d作dg bc于点g 四边形bdce是菱形 bd cd bdc 60 bcd是等边三角形 bd bc cd 2 cg 1 gd cd sin60 2 d 2 1 4 2016南平 15 4分 如图 正方形abcd中 点e f分别为ab cd上的点 且ae cf ab 点o为线段ef的中点 过点o作直线与正方形的一组对边分别交于p q两点 并且满足pq ef 则这样的直线pq 不同于ef 有条 答案3 解析这样的直线pq 不同于ef 有3条 如图1 过o作pq ef 交ad于p 交bc于q 则pq ef 如图2 以a为圆心 ae长为半径画弧 交ad于p 连接po并延长交bc于q 则pq ef 如图3 以b为圆心 ae长为半径画弧 交ab于q 连接qo并延长交dc于点p 则pq ef 5 2017福建 24 12分 如图 矩形abcd中 ab 6 ad 8 p e分别是线段ac bc上的点 且四边形pefd为矩形 1 若 pcd是等腰三角形 求ap的长 2 若ap 求cf的长 解析 1 在矩形abcd中 ab 6 ad 8 adc 90 dc ab 6 ac 10 要使 pcd是等腰三角形 有如下三种情况 当cp cd时 cp 6 ap ac cp 4 当pd pc时 pdc pcd pcd pad pdc pda 90 pad pda pd pa pa pc ap 即ap 5 当dp dc时 过d作dq ac于q 则pq cq s adc ad dc ac dq dq cq pc 2cq ap ac pc 综上所述 若 pcd是等腰三角形 则ap 4 或ap 5 或ap 2 连接pf de 记pf与de的交点为o 连接oc 四边形abcd和四边形pefd都是矩形 adc pdf 90 即 adp pdc pdc cdf adp cdf bcd 90 oe od oc ed 在矩形pefd中 pf de oc pf op of pf oc op of ocf ofc ocp opc 又 opc ofc pcf 180 2 ocp 2 ocf 180 pcf 90 即 pcd fcd 90 在rt adc中 pcd pad 90 pad fcd adp cdf ap cf 易错警示在第 1 问中 分三种情况cp cd pd pc dp dc讨论 不能丢解 一题多解在第 2 问中 连接pf de 证pf与de相交于点o 连接oc 四边形dpef是矩形 op oe od of ecd是直角三角形 oc oe od d p e c f都在以o为圆心 oc长为半径的圆上 pcf bcd 90 dcf acb ad bc acb dac dcf dap 又 adc pdf 90 cdf adp cdf adp cf 6 2016三明 20 8分 如图 在 abc中 acb 90 d e分别为ac ab的中点 bf ce交de的延长线于点f 1 求证 四边形ecbf是平行四边形 2 当 a 30 时 求证 四边形ecbf是菱形 证明 1 d e分别为边ac ab的中点 de bc 即ef bc 又 bf ce 四边形ecbf是平行四边形 2 证法一 acb 90 a 30 e为ab的中点 cb ab ce ab cb ce 由 1 知 四边形ecbf是平行四边形 四边形ecbf是菱形 证法二 acb 90 a 30 e为ab的中点 bc ab be abc 60 bce是等边三角形 cb ce 由 1 知 四边形ecbf是平行四边形 四边形ecbf是菱形 证法三 e为ab的中点 acb 90 a 30 ce ab be abc 60 bce是等边三角形 cb ce 由 1 知 四边形ecbf是平行四边形 四边形ecbf是菱形 7 2016泉州 26 13分 如图 在四边形abcd中 ad bc a c 点p在边ab上 1 判断四边形abcd的形状并加以证明 2 若ab ad 以过点p的直线为轴 将四边形abcd折叠 使点b c分别落在点b c 上 且b c 经过点d 折痕与四边形的另一交点为q 在图2中作出四边形pb c q 保留作图痕迹 不必说明作法和理由 如果 c 60 那么为何值时 b p ab 解析 1 四边形abcd是平行四边形 理由如下 ad bc a b 180 又 a c b c 180 ab dc 四边形abcd是平行四边形 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2 如图 四边形pb c q即为所求 过点b 作b h ad于h 设b p与ad相交于点e c 60 a c 60 pbc 120 b p ab 1 2 30 pb d pbc 120 3 30 2 b e b d de 2eh 设ap a pb b 则pb pb b 在rt ape中 a 60 pe a ae 2a b e b p pe b a 在rt b eh中 eh b ecos30 b a 又 ab ad ae de ae 2eh a b 2a 2 b a 1 b 2a 即 当 时 b p ab 8 2015龙岩 20 10分 如图 e f分别是矩形abcd的边ad ab上的点 若ef ec 且ef ec 1 求证 ae dc 2 已知dc 求be的长 解析 1 证明 在矩形abcd中 a d 90 1 2 90 ef ec fec 90 2 3 90 1 3 2分 在 aef和 dce中 aef dce 4分 ae dc 6分 2 由 1 知ae dc ae dc 在矩形abcd中 ab dc 8分 在rt abe中 ab2 ae2 be2 即 2 2 be2 be 2 10分 b组2014 2018年全国中考题组考点一矩形 1 2017四川绵阳 9 3分 如图 矩形abcd的对角线ac与bd交于点o 过点o作bd的垂线分别交ad bc于e f两点 若ac 2 aeo 120 则fc的长度为 a 1b 2c d 答案a 四边形abcd是矩形 oa ob oc ac ad bc ofc aeo 120 bfo 60 ef bd bof 90 obf ocb 30 cof bfo ocb 30 of fc of ob tan30 1 fc 1 故选a 2 2016天津 10 3分 如图 把一张矩形纸片abcd沿对角线ac折叠 点b的对应点为b ab 与dc相交于点e 则下列结论一定正确的是 a dab cab b acd b cdc ad aed ae ce 答案d由折叠知 eac bac ab cd eca bac eac eca ae ce 故选d 答案b 四边形abcd是平行四边形 ad bc ad bc ab cd de bc 又de ad de bc 四边形dbce是平行四边形 若ab be 则cd be 则平行四边形dbce是矩形 若ce de 即 dec 90 则平行四边形dbce是矩形 若 adb 90 则 bde 90 则平行四边形dbce是矩形 当be dc时 平行四边形dbce是菱形 故选b 4 2018四川成都 14 4分 如图 在矩形abcd中 按以下步骤作图 分别以点a和c为圆心 以大于ac的长为半径作弧 两弧相交于点m和n 作直线mn交cd于点e 若de 2 ce 3 则矩形的对角线ac的长为 答案 解析如图 连接ae 由作图方法得mn垂直平分ac ea ec 3 在rt ade中 ad 在rt adc中 ac 思路分析连接ae 根据题中的作图方法 可得mn垂直平分ac 则ea ec 3 用勾股定理先计算出ad 再计算出ac 得解 解题关键本题考查了矩形的性质 基本作图 作已知线段的垂直平分线 勾股定理 识别基本作图并熟练应用勾股定理计算是解题的关键 5 2016广东 15 4分 如图 矩形abcd中 对角线ac 2 e为bc边上一点 bc 3be 将矩形abcd沿ae所在的直线折叠 b点恰好落在对角线ac上的b 处 则ab 答案 解析由折叠和矩形的性质 可知be b e ab e abe 90 eb c 90 bc 3be ec 2be 2b e acb 30 ab ac ac 2 ab 评析本题考查折叠和矩形的性质等知识 属中档题 答案或5或10 解析不妨设重合的顶点为点a 则有以下三种情况 图 1 图 2 图 3 如图 1 ae af 5 所以所求面积为 5 5 如图 2 ae ef 5 rt bef中 可求出be 1 根据勾股定理可得bf 2 所以所求面积为ae bf 5 2 5 如图 3 ae ef 5 rt def中 可求出de 3 根据勾股定理可得df 4 所以所求面积为ae df 5 4 10 综上所述 剪下的等腰三角形的面积为cm2或5cm2或10cm2 7 2018内蒙古包头 22 8分 如图 在四边形abcd中 ad bc abc 90 ab ad 连接bd 点e在ab上 且 bde 15 de 4 dc 2 1 求be的长 2 求四边形debc的面积 注意 本题中的计算过程和结果均保留根号 解析 1 在四边形abcd中 ad bc abc 90 bad 90 ab ad abd adb 45 bde 15 ade 30 在rt ade中 de 4 ae sin30 4 2 ad cos30 4 6 ab ad 6 be 6 2 5分 2 过点d作df bc于点f bfd 90 bad abc 90 四边形abfd是矩形 bf ad 6 df ab 6 在rt dfc中 dc 2 fc 4 bc 6 4 s四边形debc s deb s bdc 36 6 8分 8 2018吉林 25 10分 如图 在矩形abcd中 ab 2cm adb 30 p q两点分别从a b同时出发 点p沿折线ab bc运动 在ab上的速度是2cm s 在bc上的速度是2cm s 点q在bd上以2cm s的速度向终点d运动 过点p作pn ad 垂足为点n 连接pq 以pq pn为邻边作 pqmn 设运动时间为x s pqmn与矩形abcd重叠部分的图形面积为y cm2 1 当pq ab时 x 2 求y关于x的函数解析式 并写出x的取值范围 3 直线am将矩形abcd的面积分成1 3两部分时 直接写出x的值 备用图 解析 1 2分 2 当0 x 时 如图 过点q作qh ab于h 由题意得qh x ap 2x y s pqmn ap qh 2x x 2x2 4分 y 2x2 当 x 1时 如图 过点q作qh ab于h 设qm与ad交于点g y s梯形pqga qg ap qh 2 x 2x x x2 x 6分 y x2 x 当1 x 2时 如图 过点q作qh ab于h y s梯形pqgn qg pn gn 2 x 2 x 2 x 1 x2 3x 4 y x2 3x 4 8分 3 或 如图 如图 10分 提示 由题意知bc ad abtan60 2 当e点在bc上时 be bc 如图 作ef cd交bd于点f 设bd与ae的交点为o 则bf bd 2 由 feo bao可得bo bf 而ap bq 2x 由pq oa可得 x 同理 当e点在dc上时 de ab 1 设ae bd交点为o 由 deo bao可得bo bd 又ap bq 2x 且pq oa所以 x 评分说明 1 第 2 题 写自变量取值范围用 或 均不扣分 2 第 2 题 结果正确 不画图或画图错误均不扣分 9 2017北京 20 3分 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的 从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线 则所容两长方形面积相等 如图所示 这一推论 他从这一推论出发 利用 出入相补 原理复原了 海岛算经 九题古证 以上材料来源于 古证复原的原则 吴文俊与中国数学 和 古代世界数学泰斗刘徽 请根据上图完成这个推论的证明过程 证明 s矩形nfgd s adc s anf s fgc s矩形ebmf s abc 易知 s adc s abc 可得s矩形nfgd s矩形ebmf 解析s aef s fmc s anf s aef s fgc s fmc 10 2015吉林长春 22 9分 在矩形abcd中 已知ad ab 在边ad上取点e 使ae ab 连接ce 过点e作ef ce 与边ab或其延长线交于点f 猜想 如图 当点f在边ab上时 线段af与de的大小关系为 探究 如图 当点f在边ab的延长线上时 ef与边bc交于点g 判断线段af与de的大小关系 并加以证明 应用 如图 若ab 2 ad 5 利用探究得到的结论 求线段bg的长 解析猜想 af de 2分 探究 af de 证明 ef ce cef 90 1 2 90 四边形abcd为矩形 a d 90 ab cd 2 3 90 1 3 ae ab ae dc aef dce af de 6分 应用 af de ad ae 5 2 3 bf af ab 3 2 1 在矩形abcd中 ad bc fbg fae 即 bg 9分 考点二菱形1 2018河南 10 3分 如图1 点f从菱形abcd的顶点a出发 沿a d b以1cm s的速度匀速运动到点b 图2是点f运动时 fbc的面积y cm2 随时间x s 变化的关系图象 则a的值为 图1图2a b 2c d 2 答案c如图 作de bc于点e 在菱形abcd中 当f在ad上时 y bc de 即a a de de 2 由题意知db 在rt deb中 be 1 ec a 1 在rt dec中 de2 ec2 dc2 22 a 1 2 a2 解得a 故选c 思路分析当点f在ad上运动时 y不变 值为a 可求得菱形的bc边上的高为2 由点f在bd上运动的时间为 得出bd的长 作出菱形的bc边上的高 由勾股定理可求a值 解后反思本题为菱形中的动点和函数图象问题 关键要根据菱形的各边都相等以及y的意义求出菱形的bc边上的高和bd的长 再构造直角三角形 用勾股定理求解 答案b证明 四边形abcd是菱形 ab ad 又bo do ao bd 即ac bd 所以证明步骤正确的顺序是 故选b 3 2016宁夏 5 3分 菱形abcd的对角线ac bd相交于点o e f分别是ad cd边上的中点 连接ef 若ef bd 2 则菱形abcd的面积为 a 2b 4c 6d 8 答案a因为e f分别是ad cd边上的中点 所以ef ac 且ef ac 所以ac 2ef 2 所以s菱形abcd ac bd 2 2 2 故选a 4 2015甘肃兰州 10 4分 如图 菱形abcd中 ab 4 b 60 ae bc af cd 垂足分别为e f 连接ef 则 aef的面积是 a 4b 3c 2d 答案b连接ac 在菱形abcd中 ab bc b 60 abc是等边三角形 ae bc ae 2 eac 30 同理可得af 2 caf 30 则 eaf为等边三角形 s aef 2 2 3 故选b 5 2014陕西 9 3分 如图 在菱形abcd中 ab 5 对角线ac 6 若过点a作ae bc 垂足为e 则ae的长为 a 4b c d 5 答案c连接bd 交ac于点o 四边形abcd是菱形 ac bd ab 5 ac 2ao 6 ob 4 bd 2ob 8 s菱形abcd 6 8 24 s菱形abcd bc ae bc ab 5 ae 故选c 6 2018四川成都 24 4分 如图 在菱形abcd中 tana m n分别在边ad bc上 将四边形amnb沿mn翻折 使ab的对应线段ef经过顶点d 当ef ad时 的值为 答案 解析延长nf与dc交于点h adf 90 a fdh 90 dfn dfh 180 a b 180 b dfn a dfh fdh dfh 90 nh dc 在rt edm中 tane tana 设dm 4k k 0 则de 3k em 5k ad 9k dc df 6k tana tan dfh 则sin dfh dh df k ch 9k k k cosc cosa cn ch 7k bn 2k 思路分析延长nf与dc交于点h 由菱形的性质及翻折变换的性质得出nh dc 构造出rt nhc 在rt nhc和rt dhf中 利用边角关系求得相应线段的长 再求出bn cn的长 得出答案 解题关键本题主要考查了菱形的性质 翻折变换以及解直角三角形 灵活运用锐角三角函数表示线段之间的关系是解题的关键 7 2015内蒙古包头 19 3分 如图 在边长为 1的菱形abcd中 a 60 点e f分别在ab ad上 沿ef折叠菱形 使点a落在bc边上的点g处 且eg bd于点m 则eg的长为 答案 解析在菱形abcd中 eg bd 易证 bme bmg 所以em gm 由折叠的性质得eg ae 设em x 则eg ea 2x be 1 2x a 60 ad ab abd是等边三角形 abd 60 所以em eb sin60 即x 1 2x 解得x 所以eg 2x 8 2018呼和浩特 18 6分 如图 已知a f c d四点在同一条直线上 af cd ab de 且ab de 1 求证 abc def 2 若ef 3 de 4 def 90 请直接写出使四边形efbc为菱形时af的长度 解析 1 证明 ab de a d af cd af fc cd fc 即ac df 又 ab de abc def 2 过点e作eo cf于o 由ef 3 ed 4 def 90 可得df 5 所以eo 2 4 又四边形efbc为菱形 所以fo co 1 8 所以af cd 5 3 6 1 4 9 2018吉林 24 8分 如图 在 abc中 ab ac 过ab上一点d作de ac交bc于点e 以e为顶点 ed为一边 作 def a 另一边ef交ac于点f 1 求证 四边形adef为平行四边形 2 当点d为ab中点时 adef的形状为 3 延长图 中的de到点g 使eg de 连接ae ag fg 得到图 若ad ag 判断四边形aegf的形状 并说明理由 解析 1 证明 de ac def efc def a a efc ef ab 四边形adef为平行四边形 2分 2 菱形 4分 3 结论 四边形aegf为矩形 5分 理由 由 1 知 四边形adef为平行四边形 af de ad ef eg ed af eg 四边形aegf是平行四边形 6分 ad ag ag ef 7分 四边形aegf为矩形 8分 评分说明 第 3 题 证明过程正确 但前面不先写出结论的不扣分 思路分析 1 根据平行四边形的定义进行判定 2 由d为ab的中点 结合 1 知de ac 又ad ab de ad adef为菱形 3 利用 1 的结论先证明四边形aegf为平行四边形 再证ag ef即可 10 2018湖北黄冈 24 14分 如图 在直角坐标系xoy中 菱形oabc的边oa在x轴正半轴上 点b c在第一象限 c 120 边长oa 8 点m从原点o出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度做匀速运动 点n从a出发沿边ab bc co以每秒2个单位长的速度做匀速运动 过点m作直线mp垂直于x轴并交折线ocb于p 交对角线ob于q 点m和点n同时出发 分别沿各自路线运动 点n运动到原点o时 m和n两点同时停止运动 1 当t 2时 求线段pq的长 2 求t为何值时 点p与n重合 3 设 apn的面积为s 求s与t的函数关系式及t的取值范围 解析 1 在菱形oabc中 易知 aoc 60 aoq 30 当t 2时 om 2 pm 2 qm pq 2 当t 4时 an po 2om 2t t 4时 p点与c点重合 n到达b点 故点p n在边bc上相遇 设t秒时p与n重合 则 t 4 2 t 4 8 解得t 即t 秒时 p与n重合 3 当0 t 4时 pn oa 8 且pn oa pm t s apn 8 t 4t 当4 t 时 pn 8 3 t 4 20 3t s apn 4 20 3t 40 6t 当 t 8时 pn 3 t 4 8 3t 20 s apn 4 3t 20 6t 40 当8 t 12时 on 24 2t n到om的距离为12 t n到cp的距离为4 12 t t 8 cp t 4 bp 12 t s apn s菱形oabc s aon s cpn s apb 32 8 12 t t 4 t 8 12 t 4 t2 12t 56 综上 s与t的函数关系式为s 注 第一段函数的定义域写为0 t 4 第二段函数的定义域写为4 t 也可以 11 2017北京 22 5分 如图 在四边形abcd中 bd为一条对角线 ad bc ad 2bc abd 90 e为ad的中点 连接be 1 求证 四边形bcde为菱形 2 连接ac 若ac平分 bad bc 1 求ac的长 解析 1 证明 e为ad的中点 ad 2ed ad 2bc ed bc ad bc 四边形bcde为平行四边形 又 在 abd中 e为ad的中点 abd 90 be ed bcde为菱形 2 设ac与be交于点h 如图 ad bc dac acb ac平分 bad bac dac bac acb ba bc 由 1 可知 be ae bc ab be ae abe为等边三角形 bac 30 ac be ah ch 在rt abh中 ah ab cos bah ac 2ah 12 2015贵州遵义 24 10分 在rt abc中 bac 90 d是bc的中点 e是ad的中点 过点a作af bc交be的延长线于点f 1 求证 aef deb 2 证明四边形adcf是菱形 3 若ac 4 ab 5 求菱形adcf的面积 解析 1 证明 在rt abc中 bac 90 d是bc的中点 ad bc dc bd 1分 af bc dbe afe e是ad的中点 ed ea 又 bed fea 2分 bde fae aas 3分 2 证明 由 1 知af bd dc 4分 af dc 四边形adcf是平行四边形 5分 又 ad dc 四边形adcf是菱形 6分 3 连接df af dc bd cd af bd 7分 四边形abdf是平行四边形 df ab 5 8分 s菱形adcf ac df 4 5 10 10分 考点三正方形1 2017河北 11 2分 如图是边长为10cm的正方形铁片 过两个顶点剪掉一个三角形 以下四种剪法中 裁剪线长度所标的数据 单位 cm 的是 答案a由勾股定理得正方形的对角线的长是10 因为10 15 所以正方形内部的每一个点到正方形的顶点的距离都小于15 故选a 2 2016陕西 8 3分 如图 在正方形abcd中 连接bd 点o是bd的中点 若m n是边ad上的两点 连接mo no 并分别延长交边bc于两点m n 则的全等三角形共有 a 2对b 3对c 4对d 5对 答案c易知 abd cbd mon m on don bon dom bom 故选c 3 2018江西 12 3分 在正方形abcd中 ab 6 连接ac bd p是正方形边上或对角线上一点 若pd 2ap 则ap的长为 答案2 或2 解析 四边形abcd是正方形 ab 6 ac bd ac bd 6 oa od 3 有三种情况 点p在ad上时 ad 6 pd 2ap ap ad 2 点p在ac上时 不妨设ap x x 0 则dp 2x 在rt dpo中 由勾股定理得dp2 do2 op2 即 2x 2 3 2 3 x 2 解得x 负值舍去 即ap 点p在ab上时 pad 90 pd 2ap adp 30 ap adtan30 6 2 综上所述 ap的长为2 或2 e2 思路分析根据正方形的性质得出ac bd ac bd ob oa oc od 画出符合题意的三种情况 根据正方形的性质 勾股定理及锐角三角函数求解即可 解题关键熟记正方形的性质 分析符合题意的情况 并准确画出图形是解题的关键 易错警示此题没有给出图形 需将点p的位置分类讨论 做题时 往往会因只画出点p在正方形边上而致错 4 2018呼和浩特 16 3分 如图 已知正方形abcd 点m是边ba延长线上的动点 不与点a重合 且am ab cbe由 dam平移得到 若过点e作eh ac h为垂足 则有以下结论 点m位置变化 使得 dhc 60 时 2be dm 无论点m运动到何处 都有dm hm 无论点m运动到何处 chm一定大于135 其中正确结论的序号为 答案 解析如图所示 取ce的中点o 以点o为圆心 oh为半径画圆 连接dh 延长eh交ad于f 连接fm bh hm 易知eh ha hf 当 dhc 60 时 易得 ceb chb 60 则 bce 30 所以2be ce dm 故 正确 因为 che 90 所以 ahf 90 易知 dhf ahm 所以 dhm 90 易知dh hm 所以无论点m运动到何处 都有dm hm 故 正确 由 可知 dhm 90 而 chd 45 所以无论点m运动到何处 chm一定大于135 故 正确 所以 都正确 思路分析点e在运动的过程中 cba che 90 故b e h c四点共圆 作出图形 再进行判断 解题关键解决本题的关键是要借助中点发现辅助圆 5 2016山东青岛 13 3分 如图 在正方形abcd中 对角线ac与bd相交于点o e为bc上一点 ce 5 f为de的中点 若 cef的周长为18 则of的长为 答案 解析 四边形abcd是正方形 bo do bc cd bcd 90 在rt dce中 f为de的中点 cf de ef df cef的周长为18 ce cf ef 18 又 ce 5 cf ef 18 5 13 de df ef 13 dc 12 bc 12 be 12 5 7 在 bde中 bo do f为de的中点 of为 bde的中位线 of be 6 2014黑龙江哈尔滨 19 3分 如图 在正方形abcd中 ac为对角线 点e在ab边上 ef ac于点f 连接ec af 3 efc的周长为12 则ec的长为 答案5 解析设正方形abcd的边长为x ac是正方形abcd的对角线 bac 45 ef ac ef af 3 ae 3 fc ac af x 3 efc的周长为12 ec 12 fc ef 12 x 3 3 12 x be ab ae x 3 ec 12 x 解得x ec 12 5 7 2017陕西 19 7分 如图 在正方形abcd中 e f分别为边ad和cd上的点 且ae cf 连接af ce交于点g 求证 ag cg 证明 四边形abcd是正方形 adf cde 90 ad cd ae cf de df 2分 adf cde daf dce 4分 又 age cgf ae cf age cgf ag cg 7分 8 2016黑龙江哈尔滨 24 8分 已知 如图 在正方形abcd中 点e在边cd上 aq be于点q dp aq于点p 1 求证 ap bq 2 在不添加任何辅助线的情况下 请直接写出图中四对线段 使每对中较长线段与较短线段长度的差等于pq长 解析 1 证明 四边形abcd为正方形 ab ad dab 90 baq dap 90 dp aq apd 90 adp dap 90 adp baq 1分 aq be aqb 90 apd aqb 2分 dap abq 3分 ap bq 4分 2 aq与ap dp与ap aq与bq dp与bq 8分 评析解本题的关键是掌握正方形的性质 三角形全等的判定和性质 9 2015山东临沂 25 11分 如图1 在正方形abcd的外侧 作两个等边三角形ade和dcf 连接af be 1 请判断 af与be的数量关系是 位置关系是 2 如图2 若将条件 两个等边三角形ade和dcf 变为 两个等腰三角形ade和dcf 且ea ed fd fc 第 1 问中的结论是否仍然成立 请作出判断并给予证明 3 若三角形ade和dcf为一般三角形 且ae df ed fc 第 1 问中的结论都能成立吗 请直接写出你的判断 解析 1 af be af be 2分 2 结论成立 3分 证明 四边形abcd是正方形 ba ad dc bad adc 90 在 ead和 fdc中 ead fdc ead fdc ead dab fdc cda 即 bae adf 4分 在 bae和 adf中 bae adf be af abe daf 6分 daf baf 90 abe baf 90 af be 9分 3 结论都能成立 11分 c组教师专用题组考点一矩形 1 2018乌鲁木齐 10 4分 如图1 在矩形abcd中 e是ad上一点 点p从点b沿折线be ed dc运动到点c时停止 点q从点b沿bc运动到点c时停止 速度均为每秒1个单位长度 如果点p q同时开始运动 设运动时间为t bpq的面积为y 已知y与t的函数图象如图2所示 以下结论 bc 10 cos abe 当0 t 10时 y t2 当t 12时 bpq是等腰三角形 当14 t 20时 y 110 5t中正确的有 图1图2a 2个b 3个c 4个d 5个 答案b由题图1 2可知 t 10时 p点运动到e点 再由10 t 14时y不变得 p点在线段ed上运动时 q点已运动至c点 又 0 t 10时 函数图象为一条光滑的曲线 p点运动至e点时 q点恰好运动至c点 bc 10 故 正确 由t 10时p点运动到e点得 be 10 由题图2知三角形pbq的最大面积为40 作ef bc于点f 如图所示 40 解得ef 8 即ab 8 cos abe 故 错 作pm bq于点m 当0 t 10时 bmp bfe 即 解得pm t s bpq t2 即y t2 易知t 0时 y 0 当0 t 10时 y t2 故 正确 当t 12时 q点与c点重合 p点在ed上 且bq bc 10 dp 2 在直角三角形pqd中 pq 2be 10 t 12时 bpq不是等腰三角形 故 错误 由上述易知 当14 t 20时 p点在cd上 此时cp 8 t 14 22 t y 10 22 t 110 5t 故 正确 故选b 思路分析根据题图1及10 t 14时函数的图象可以得到be bc 从而可以判断 作辅助线ef bc于点f 由于ef ab 从而可以得到cos abe的值 可以判断 当0 t 10时 求得 bpq底边bq上的高 从而可以得到 bpq的面积 再验证t 0时y的值 从而可以判断 根据题意可以分别求得t 12时bq pq的长及bp的范围 从而判断 先求14 t 20时cp关于t的表达式 再由直角三角形的面积公式即可求出y关于t的表达式 从而判断 解题关键本题的解题关键是明确题意 利用数形结合的思想 找出所求问题需要的条件 2 2017甘肃兰州 8 4分 如图 矩形abcd的对角线ac与bd相交于点o adb 30 ab 4 则oc a 5b 4c 3 5d 3 答案b因为四边形abcd为矩形 所以ac bd oc ac 已知 adb 30 故在直角三角形abd中 bd 2ab 8 所以ac 8 所以oc ac 4 故选b 4 2016四川南充 8 3分 如图 对折矩形纸片abcd 使ab与dc重合得到折痕ef 将纸片展平 再一次折叠 使点d落到ef上点g处 并使折痕经过点a 展平纸片后 dag的大小为 a 30 b 45 c 60 d 75 答案c如图 根据第二次折叠可知 1 2 mga 90 由第一次折叠可知 mn an 即ng是rt amg的中线 故an gn 所以 2 3 又ef ab 所以 3 4 故 1 2 4 又因为 1 2 4 90 所以 1 2 4 30 所以 1 2 dag 60 故选c 5 2015江西南昌 5 3分 如图 小贤为了体验四边形的不稳定性 将四根木条用钉子钉成一个矩形框架abcd b与d两点之间用一根拉直固定 然后向右扭动框架 观察所得四边形的变化 下列判断的是 a 四边形abcd由矩形变为平行四边形b bd的长度增大c 四边形abcd的面积不变d 四边形abcd的周长不变 答案c向右扭动框架abcd的过程中 ad与bc的距离逐渐减小 即 abcd的高发生变化 所以面积改变 选项c错误 故选c 6 2015安徽 9 4分 如图 矩形abcd中 ab 8 bc 4 点e在ab上 点f在cd上 点g h在对角线ac上 若四边形egfh是菱形 则ae的长是 a 2b 3c 5d 6 答案c连接ef交gh于点o 由四边形egfh为菱形 可得ef gh oh og 因为四边形abcd为矩形 所以 b 90 因为ab 8 bc 4 所以ac 4 易证 age chf 所以ag ch 所以ao ac 2 因为eo gh b 90 所以 aoe b 又因为 oae bac 所以 aoe abc 所以 所以ae 5 故选c 7 2014江苏南京 6 2分 如图 在矩形aobc中 点a的坐标是 2 1 点c的纵坐标是4 则b c两点的坐标分别是 a b c d 答案b过点a作aa1 x轴于点a1 过点b作bb1 x轴于点b1 过点c作b1b的垂线 交b1b的延长线于点d 如图所示 易知 aoa1 bcd 故点b的纵坐标是4 1 3 从而由 aoa1 obb1得 解得ob1 所以b 故点c的横坐标为 2 即c 故选b 8 2016安徽 14 5分 如图 在矩形纸片abcd中 ab 6 bc 10 点e在cd上 将 bce沿be折叠 点c恰落在边ad上的点f处 点g在af上 将 abg沿bg折叠 点a恰落在线段bf上的点h处 有下列结论 ebg 45 def abg s abg s fgh ag df fg 其中正确的是 把所有正确结论的序号都选上 答案 解析 abg hbg fbe cbe abc 90 ebg 45 正确 ab 6 bf bc 10 af 8 fd ad af 10 8 2 设de x 则ef ce 6 x 在rt def中 df2 de2 ef2 22 x2 6 x 2 x 即de ef bh ab 6 hf bf bh 10 6 4 又易知rt def rt hfg 即 gf 5 ag 3 若 def abg 则 但 故 不正确 bh 6 hf 4 s bgh s fgh abg hbg s abg s fgh 正确 fhg edf fg 5 ag df 5 ag df fg 正确 9 2015江苏苏州 18 3分 如图 四边形abcd为矩形 过点d作对角线bd的垂线 交bc的延长线于点e 取be的中点f 连接df df 4 设ab x ad y 则x2 y 4 2的值为 答案16 解析由题意知df是rt bde的中线 所以df bf fe 4 矩形abcd中 ab dc x bc ad y 在rt cdf中 cf bf bc 4 y cd x df 4 由勾股定理得cf2 cd2 df2 即x2 y 4 2 42 16 评析本题考查勾股定理的应用 直角三角形的性质 综合性较强 对学生能力要求较高 属难题 10 2015重庆 18 4分 如图 在矩形abcd中 ab 4 ad 10 连接bd dbc的角平分线be交dc于点e 现把 bce绕点b逆时针旋转 记旋转后的 bce为 bc e 当射线be 和射线bc 都与线段ad相交时 设交点分别为f g 若 bfd为等腰三角形 则线段dg长为 答案 解析过点f作fh bd交bg的延长线于点h 在矩形abcd中 bd 14 ad bc adb dbc be平分 dbc fbg ebc dbc fbg fdb 由题意可得bf fd fbd fdb fbg fbd fbg gbd fh bd h gbd h fbg fb fh fd 设fd x x 0 在rt abf中 由勾股定理得bf2 af2 ab2 即x2 10 x 2 4 2 解得x fb fh fd fh bd fhg dbg 设gd y y 0 解得y gd 评析本题重点考查勾股定理 矩形的性质 相似三角形的性质与判定 方程思想等 综合性较强 属于难题 11 2018辽宁沈阳 18 8分 如图 在菱形abcd中 对角线ac与bd交于点o 过点c作bd的平行线 过点d作ac的平行线 两直线相交于点e 1 求证 四边形oced是矩形 2 若ce 1 de 2 则菱形abcd的面积是 解析 1 证明 四边形abcd为菱形 ac bd cod 90 ce od de oc 四边形oced是平行四边形 cod 90 平行四边形oced是矩形 2 4 思路分析 1 根据菱形对角线互相垂直可得 cod 90 根据平行四边形及矩形的定义可证 2 根据平行四边形对边相等 可得oc 2 od 1 根据菱形对角线互相垂直平分 可得bo 1 ao 2 可求四个直角三角形面积均为1 菱形abcd的面积为4 12 2016宁夏 26 10分 在矩形abcd中 ab 3 ad 4 动点q从点a出发 以每秒1个单位的速度 沿ab向点b移动 同时点p从点b出发 仍以每秒1个单位的速度 沿bc向点c移动 连接qp qd pd 若两个点同时运动的时间为x秒 0 x 3 解答下列问题 1 设 qpd的面积为s 用含x的函数关系式表示s 当x为何值时 s有最小值 并求出最小值 2 是否存在x的值 使得qp dp 试说明理由 解析 1 当两个点同时运动的时间为x秒时 则aq x bp x bq 3 x pc 4 x 1分 s qpd s矩形abcd s daq s qbp s dcp ab bc ad aq bp bq pc cd 3 4 x 4 x 3 x 4 x 3 x2 2x 6 x 2 2 4 5分 当x 2时 s qpd的最小值为4 6分 2 解法一 若存在x 使得qp dp 则在rt qpd中 dq2 qp2 pd2 在rt daq中 dq2 aq2 ad2 x2 42 在rt qbp中 qp2 bq2 bp2 3 x 2 x2 在rt dcp中 pd2 cd2 pc2 32 4 x 2 即x2 42 3 x 2 x2 32 4 x 2 整理 得x2 7x 9 0 8分 解得x 或x 3 不合题意 舍去 存在x 使得qp dp 10分 解法二 若存在x 使得qp dp 则rt qbp rt pcd 即 整理 得x2 7x 9 0 8分 解得x 或x 3 不合题意 舍去 存在x 使得qp dp 10分 评析本题是以矩形为载体的动点问题 主要考查矩形的性质 三角形的面积等 解题的关键是用含x的代数式表示各线段的长 属难题 13 2015山东聊城 21 8分 如图 在 abc中 ab bc bd平分 abc 四边形abed是平行四边形 de交bc于点f 连接ce 求证 四边形becd是矩形 证明 ab bc bd平分 abc bd ac ad cd 2分 四边形abed是平行四边形 be ad be ad 4分 be cd 四边形becd是平行四边形 6分 bd ac bdc 90 becd是矩形 8分 考点二菱形1 2018贵州贵阳 5 3分 如图 在菱形abcd中 e是ac的中点 ef cb 交ab于点f 如果ef 3 那么菱形abcd的周长为 a 24b 18c 12d 9 答案a e是ac的中点 ac 2ae ef cb 2 bc 2ef 6 菱形abcd的周长为6 4 24 故选a 2 2018陕西 8 3分 如图 在菱形abcd中 点e f g h分别是边ab bc cd和da的中点 连接ef fg gh和he 若eh 2ef 则下列结论正确的是 a ab efb ab efc ab 2efd ab ef 答案d如图 连接ac bd交于o 四边形abcd是菱形 ac bd oa oc ob od 点e f g h分别是边ab bc cd和da的中点 ef ac eh bd eh 2ef bd 2ac ob 2oa ab oa 易知oa ef ab ef 故选d 思路分析首先根据菱形的性质得到ac bd oa oc ob od 然后根据三角形中位线定理得出ef ac eh bd 进而得到ob 2oa 最后根据勾股定理求得ab oa 即得ab ef 3 2017江西 6 3分 如图 任意四边形abcd中 e f g h分别是ab bc cd da上的点 对于四边形efgh的形状 某班学生在一次数学活动课中 通过动手实践 探索出如下结论 其中的是 a 当e f g h是各边中点 且ac bd时 四边形efgh为菱形b 当e f g h是各边中点 且ac bd时 四边形efgh为矩形c 当e f g h不是各边中点时 四边形efgh可以为平行四边形d 当e f g h不是各边中点时 四边形efgh不可能为菱形 答案d连接ac bd 当e f g h是各边中点时 由三角形中位线定理可得ef ac且ef ac gh ac且gh ac 所以ef gh且ef gh 所以四边形efgh为平行四边形 当ac bd时 因为ef ac eh bd 所以ef eh 所以四边形efgh为菱形 选项a正确 当ac bd时 因为ef ac eh bd 所以ef eh 所以四边形efgh为矩形 选项b正确 当e f g h不是各边中点时 若 则gh ac ef ac 所以gh ef 因为 所以ef gh 所以四边形efgh为平行四边形 选项c正确 例如 当e f g h不是各边中点 且 bd 2ac时 由上述可知四边形efgh为平行四边形 所以 即 所以 即ef eh 所以四边形efgh为菱形 选项d错误 综上 选d 4 2015辽宁沈阳 7 3分 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点 所形成的四边形是 a 平行四边形b 菱形c 矩形d 正方形 答案b如图 在 abd中 e f分别是