2018学年湖北省襄阳四中高三（上）9月月考数学试卷（理科）（含解析）

2017-2018学年湖北省襄阳四中高三（上）9月月考数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。1（5分）已知集合，则ABCD2（5分）的值为ABCD3（5分）命题“，”的否定是A，B，C，D，4（5分）曲线在点处的切线方程为ABCD5（5分）下列说法正确的是A“”是“”的充分不必要条件BC命题“若，则”的逆命题为真命题D命题“若，则，或”为真命题6（5分）已知函数，的最小正周期是，将图象向左平移个单位长度后，所得的函数图象过点，则函数A在区间，上单调递减B在区间，上单调递增C在区间，上单调递减D在区间，上单调递增7（5分）已知定义在上的奇函数，满足且在区间，上是增函数，则ABCD8（5分）如图，正方形的顶点，顶点，位于第一象限，直线将正方形分成两部分：记位于直线左侧阴影部分的面积为，则函数的图象大致是ABCD9（5分）函数的导函数为，若，且（1），则A的最小值为B的最大值为C的最小值为D的最大值为10（5分）设，那么ABCD11（5分）已知点，是函数，的图象上相邻的三个最值点，是正三角形，若函数的导函数为，则函数在区间的取值范围是A，B，C，D，12（5分）已知、满足，则、使得恒成立的的最大值为ABCD二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分） 14（5分） 15（5分）对于任意实数，符号表示的整数部分，即是不超过的最大整数，例如；，函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用则函数，值域为 16（5分）如图，正方形的边长为1，、分别为、上的点，当时，求的周长 三、解答题：共70分17（10分）设是数列的前项和，（1）求的通项；（2）设，求数列的前项和18（12分）如图，是直角斜边上一点，（1）若，求角的大小；（2）若，且，求的长19（12分）如图，四棱锥中，底面为菱形，是的中点（1）若，求证：平面平面；（2）若平面平面，且，在线段上是否存在点，使二面角的大小为若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由20（12分）某科研小组对热能与电能的转化和燃煤每分钟的添加量之间的关系进行科学研究，在对某发电厂号机组的跟踪调研中发现：若该机组每分钟燃煤的添加量设计标准为吨，在正常状态下，通过自动传输带给该机组每分钟添加燃煤吨，理论上可以共生产电能千瓦，而由于实际添加量与设计标准存在误差，实际上会导致电能损耗千瓦，最后实际产生的电能为千瓦（1）试写出关于的函数表达式；当时，求的极大值（2）该科研小组决定调整设计标准，控制添加量，实现对最终生产的电能的有效控制的科学实验，若某次实验中（单位：吨），用电高峰期间，要求该厂的输出电能为每分钟不得低于9千瓦，否则供电不正常试问这次实验能否实现这个目标？请说明理由21（12分）在平面直角坐标系中，动点到点的距离与到直线的距离的比值为求动点的轨迹的方程；过点作与轴不垂直的直线交轨迹于，两点，在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由22（12分）已知函数（其中为常数）（1）当时，对于任意大于1的实数，恒有成立，求实数的取值范围；（2）当时，设函数的3个极值点为，且，求证：2017-2018学年湖北省襄阳四中高三（上）9月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。1（5分）已知集合，则ABCD【考点】：交集及其运算【专题】11：计算题【分析】首先根据对数函数和指数函数的特点求出集合和，然后再求两个集合的交集即可【解答】解：集合，故选：【点评】本题考查了交集运算以及函数的至于问题，要注意集合中的自变量的取值范围，确定各自的值域2（5分）的值为ABCD【考点】：诱导公式【分析】由、及特殊角三角函数值解之【解答】解：，故选：【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值3（5分）命题“，”的否定是A，B，C，D，【考点】：命题的否定【专题】1：常规题型【分析】特称命题“，”的否定是：把改为，其它条件不变，然后否定结论，变为一个全称命题即“，”【解答】解：特称命题“，”的否定是全称命题：“，”故选：【点评】写含量词的命题的否定时，只要将“任意”与“存在”互换，同时将结论否定即可，属基础题4（5分）曲线在点处的切线方程为ABCD【考点】62：导数及其几何意义【分析】首先判断该点是否在曲线上，若在曲线上，对该点处求导就是切线斜率，利用点斜式求出切线方程；若不在曲线上，想法求出切点坐标或斜率【解答】解：点在曲线上，即切线斜率为利用点斜式，切线方程为，即故选：【点评】考查导数的几何意义，该题比较容易5（5分）下列说法正确的是A“”是“”的充分不必要条件BC命题“若，则”的逆命题为真命题D命题“若，则，或”为真命题【考点】：命题的真假判断与应用【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：简易逻辑【分析】由利用充要条件判断即可；反例：取，则，判断正误即可写出逆命题，判断真假即可；写出命题“若，则，或”的逆否命题判断真假即可【解答】解：对于“”不能得到“”，反之成立，所以“”是“”的必要不充分条件，所以不正确；对于，取，则，因此不正确对于，命题“若，则”的逆命题为：“若，则”如果，可能，所以逆命题是假命题，所以不正确；对于，命题“若，则，或”，命题的逆否命题为：若且，则，逆否命题是真命题，所以原命题是真命题；故选：【点评】本题考查了函数的性质、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6（5分）已知函数，的最小正周期是，将图象向左平移个单位长度后，所得的函数图象过点，则函数A在区间，上单调递减B在区间，上单调递增C在区间，上单调递减D在区间，上单调递增【考点】：函数的图象变换【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质【分析】根据正弦函数的周期性求得，根据函数的图象经过定点求得，可得函数的解析式，再根据的图象变换规律，正弦函数的单调性得出结论【解答】解：函数，的最小正周期是，将的图象向左平移个单位长度后，可得的图象，再根据所的图象过点 0，故在区间，上，函数在区间，上单单调递增，故错误，且正确在区间，上，故函数在区间，上没有单调性，故排除、，故选：【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题7（5分）已知定义在上的奇函数，满足且在区间，上是增函数，则ABCD【考点】：奇偶性与单调性的综合【专题】51：函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可【解答】解：，即函数的周期是8，则（3）（1），是奇函数，且在区间，上是增函数，在区间，上是增函数，（1），即，故选：【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数的奇偶性和单调性之间的关系进行转化是解决本题的关键8（5分）如图，正方形的顶点，顶点，位于第一象限，直线将正方形分成两部分：记位于直线左侧阴影部分的面积为，则函数的图象大致是ABCD【考点】：根据实际问题选择函数类型【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；49：综合法；51：函数的性质及应用【分析】对分以下两种情况讨论：当时，其阴影部分是一个等腰直角三角形，直角边为；当时，其阴影部分的面积可用正方形的面积减去剩下的部分面积，剩下的部分是一个边长为的等腰直角三角形根据分析写出解析式即可写出答案【解答】解：当时，其阴影部分是一个等腰直角三角形，直角边为，；当时，其阴影部分的面积可用正方形的面积减去剩下的部分面积，剩下的部分是一个边长为的等腰直角三角形，据此可画出函数的图象大致是故选：【点评】本题考查函数的实际应用，求解函数的解析式，对分类讨论写出其解析式是解决问题的关键9（5分）函数的导函数为，若，且（1），则A的最小值为B的最大值为C的最小值为D的最大值为【考点】：利用导数研究函数的单调性【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；52：导数的概念及应用【分析】设，求导，得到，再根据导数和函数的最值得关系即可求出【解答】解：设，令，解得，当，时，解得，函数在单调递增，当，时，解得，函数在单调递减，（1），故选：【点评】本题考查了导数和函数的最值得关系，关键是构造函数，求出函数的表达式，属于中档题10（5分）设，那么ABCD【考点】：指数函数的单调性与特殊点【专题】11：计算题【分析】先由条件结合指数函数的单调性，得到，再由问题抽象出指数函数和幂函数利用其单调性求解【解答】解：且在上是减函数指数函数在上是减函数幂函数在上是增函数故选：【点评】本题主要考查指数函数、幂函数的图象及其单调性11（5分）已知点，是函数，的图象上相邻的三个最值点，是正三角形，若函数的导函数为，则函数在区间的取值范围是A，B，C，D，【考点】63：导数的运算；：由的部分图象确定其解析式【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用；57：三角函数的图象与性质【分析】根据题意，由三角函数的图象的性质分析可得、的值，即可得函数的解析式，进而计算可得的解析式，由的范围计算可得的范围，由正弦函数的性质分析可得答案【解答】解：根据题意，点，是函数，的图象上相邻的三个最值点，则有，则，关于原点对称，则，又由，是正三角形，则，则，故，又由，则，则有，；故选：【点评】本题考查三角函数的图象与三角函数的化简求值，涉及导数的计算，关键求出函数的解析式12（5分）已知、满足，则、使得恒成立的的最大值为ABCD【考点】：函数恒成立问题【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；51：函数的性质及应用【分析】把恒成立，转化为恒成立，展开后利用基本不等式得到，然后求解关于的不等式得其最值【解答】解：若恒成立，则，则，解得：实数的最大值为，故选：【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了不等式的应用，是中档题二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）【考点】：两角和与差的三角函数【专题】11：计算题；35：转化思想；：转化法；56：三角函数的求值【分析】利用诱导公式，两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解【解答】解：故答案为：【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题14（5分）【考点】67：定积分、微积分基本定理【专题】31：数形结合；44：数形结合法；52：导数的概念及应用【分析】首先利用定积分的运算法则将所求转化为和的积分，结合几何意义，然后分别求原函数代入求值【解答】解：故答案为：【点评】本题考查了定积分的计算；关键是正确做出被积函数的原函数以及利用定积分的几何意义求定积分15（5分）对于任意实数，符号表示的整数部分，即是不超过的最大整数，例如；，函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用则函数，值域为，1，2，3，【考点】34：函数的值域【专题】33：函数思想；：转化法；51：函数的性质及应用【分析】通过讨论的范围，求出各个区间上的的范围，取并集即可【解答】解：当，时，3，当，时，当，时，当，时，当时，故函数的值域是，1，2，3，故答案为：，1，2，3，【点评】本题考查了求函数的值域问题，考查分类讨论思想，对应思想，是一道中档题16（5分）如图，正方形的边长为1，、分别为、上的点，当时，求的周长2【考点】：三角形中的几何计算【专题】35：转化思想；48：分析法；56：三角函数的求值【分析】设，则，在直角三角形，直角三角形中，求得，可得，运用勾股定理可得，再由两角和差的正切公式，化简整理，即可得到所求值【解答】解：设，则，在直角三角形中，则，在直角三角形中，则，则在直角三角形中，则三角形的周长为故答案为：2【点评】本题考查解直角三角形，三角函数的恒等变换，考查化简整理的运算能力，属于中档题三、解答题：共70分17（10分）设是数列的前项和，（1）求的通项；（2）设，求数列的前项和【考点】：数列的求和；：数列递推式【专题】35：转化思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列【分析】（1）运用数列的递推式：，代入化简整理，再由等差数列的定义和通项公式即可得到所求；（2）求得，运用数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和【解答】解：（1），即，由题意，将式两边同除以，得，数列是首项为，公差为2的等差数列可得，得，由条件可得；（2），【点评】本题考查数列的递推式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题18（12分）如图，是直角斜边上一点，（1）若，求角的大小；（2）若，且，求的长【考点】：正弦定理；：余弦定理【专题】11：计算题；58：解三角形【分析】（1）利用正弦定理求出的值，进而求出的度数，即可求出的度数；（2）设，表示出，以及，利用同角三角函数间的基本关系及余弦定理求出的值，确定出的长即可【解答】解：（1）在中，由正弦定理得：，由题意得：，；（2）设，则，在中，在中，由余弦定理得：，解得：，则【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键19（12分）如图，四棱锥中，底面为菱形，是的中点（1）若，求证：平面平面；（2）若平面平面，且，在线段上是否存在点，使二面角的大小为若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由【考点】：平面与平面垂直；：二面角的平面角及求法【专题】：空间位置关系与距离；：空间角【分析】（1）由已知得，由此能证明平面平面（2）以为坐标原点，分别以，为，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出存在点为线段靠近的三等分点满足题意【解答】（1）证明：，为的中点，又底面为菱形，又，平面，又平面，平面平面（2）解：平面平面，平面平面，平面，以为坐标原点，分别以，为，轴，建立空间直角坐标系，如图则，0，0，设，则，平面的一个法向量，0，设平面的法向量为，由，得，0，二面角的大小为，解得，存在点为线段靠近的三等分点满足题意【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20（12分）某科研小组对热能与电能的转化和燃煤每分钟的添加量之间的关系进行科学研究，在对某发电厂号机组的跟踪调研中发现：若该机组每分钟燃煤的添加量设计标准为吨，在正常状态下，通过自动传输带给该机组每分钟添加燃煤吨，理论上可以共生产电能千瓦，而由于实际添加量与设计标准存在误差，实际上会导致电能损耗千瓦，最后实际产生的电能为千瓦（1）试写出关于的函数表达式；当时，求的极大值（2）该科研小组决定调整设计标准，控制添加量，实现对最终生产的电能的有效控制的科学实验，若某次实验中（单位：吨），用电高峰期间，要求该厂的输出电能为每分钟不得低于9千瓦，否则供电不正常试问这次实验能否实现这个目标？请说明理由【考点】：根据实际问题选择函数类型【专题】15：综合题；51：函数的性质及应用【分析】（1）由题设知，从而得到，由此能求出时的极大值（2）由，知在，上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，从而得到，（1），由此能求出结果【解答】解：（1）由题设知，当时，是增函数；，是增函数当时，是增函数；，是减函数；当时，是增函数时，有极大值（a）（2），由（1）知在，上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，（1），（1），（1）当时，（1），当时，（1），故当，时，（1），可以实现目标当，时，从而，时，时，综上所述，时，能实现目标；，时，不能实现目标【点评】本题考查函数在生产生活中的合理运用，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用21（12分）在平面直角坐标系中，动点到点的距离与到直线的距离的比值为求动点的轨迹的方程；过点作与轴不垂直的直线交轨迹于，两点，在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由【考点】：轨迹方程【专题】35：转化思想；49：综合法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设，用，表示出到和到直线的距离列出方程化简即可；（）由可知，讨论的斜率，联立方程组，利用根与系数的关系求出的中点坐标，求出的中垂线方程，得出关于的函数，从而得出的范围【解答】