球坐标系中拉普拉斯方程的简单物理应用-我联系本科毕业论文毕业论文

毕业论文题 目： 球坐标系中拉普拉斯方程的简单物理应用学 号： 3100114512姓 名： 吴琦教 学 院： 理学院专业班级： 物理学2013级本科班指导教师： 张压完成时间： 2017 年 月 日 教务处制贵州工程应用技术学院毕业论文（设计）任务书课题名称球坐标系中拉普拉斯方程的简单物理应用学生姓名吴琦学号3100114512教学院理学院专业、班级物理学2013级本科班课题简介：拉普拉斯方程以势函数的形式描写了电场、引力场等物理对象的性质，因此求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域中经常遇到的一类重要的问题。其中球坐标系中的拉普拉斯方程在求解许多圆域内的问题中有广泛的应用，因此求解球坐标系中的拉普拉斯方程显得十分重要。近年来，拉普拉斯方程在物理上有极其广泛的应用。例如对于纳米球及纳米球壳颗粒的线性及非线性光学特性的研究，又如可以通过求解拉普拉斯方程得出在非均匀电场对矿粒吸引力的大小依赖于矿物的介电系数，由此来分选出不同矿质的颗粒。课题内容和任务：根据数学物理方程中的三个稳定场方程导出拉普拉斯方程，写出不同坐标系中的拉普拉斯方程，并对球坐标系中的拉普拉斯方程进行求解。通过应用球坐标系中拉普拉斯方程在导体球和双锥中的具体问题，结合计算机软件Mathematica的绘图，分析其物理意义。通过翻阅书籍和查找网络资料等途径收集研究素材，对收集的素材进行研读，从而全面地、正确地掌握球坐标系中拉普拉斯方程的相关研究内容和研究方法，根据资料所提供的信息完成该课题的内容，最后撰写毕业论文。进度计划：2016. 12. 272017. 02. 21：对选题进行研究；2017. 02. 232017. 03. 13：撰写论文，完成初稿； 发出日期课题计划完成日期指导教师签名教学院院长签章注：本表一式一份，用于装订完整文本。贵州工程应用技术学院毕业论文（设计）学生诚信声明书本人郑重声明：本人所提交的毕业论文(设计) 是本人在指导教师指导下独立研究、写作的成果，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果，论文中所引用他人的无论以何种方式发布的文字、研究成果，均在论文中加以说明；对本文研究做出过重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。如果存在弄虚作假、抄袭、剽窃的情况，本人愿承担全部责任。论文(设计)作者： （签字） 时间： 年 月 日指 导 教 师： （签字） 时间： 年 月 日 贵州工程应用技术学院毕业论文（设计）版权使用授权书本毕业论文(设计) 是本人在校期间所完成学业的组成部分，是在指导教师的指导下完成的，论文（设计）工作的知识产权属于贵州工程应用技术学院。本人同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文（设计）的复印件和电子版，允许论文（设计）被查阅和借阅；本人授权贵州工程应用技术学院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、网页制作或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。毕业论文（设计）无论做何种处理，必须尊重本人的著作权，署明本人姓名。未经指导教师和贵州工程应用技术学院同意，本人不擅自发表毕业论文(设计)相关研究内容或利用毕业论文(设计)从事开发和盈利性活动。毕业后若发表毕业论文(设计)中的研究成果，需征得指导教师同意，作者第一单位署名应为“贵州工程应用技术学院”， 成果发表时本人工作（学习）单位可以在备注中注明。论文(设计)作者： （签字） 时间： 年 月 日指 导 教 师： （签字） 时间： 年 月 日目 录摘要:iAbstract:ii引言11. 拉普拉斯方程及其求解11.1 拉普拉斯方程11.1.1 引例11.1.2 不同坐标系中的拉普拉斯方程31.2 球坐标系中拉普拉斯方程的求解52. 球坐标系中拉普拉斯方程的应用82.1 导体球82.2 双锥113. 结论15参考文献16致谢17贵州工程应用技术学院本科毕业论文i贵州工程应用技术学院本科毕业论文球坐标系中拉普拉斯方程的简单物理应用作者姓名：吕旖旎 专业班级：物理学2013级本科班学号：39261113102 指导教师：张凤玲摘要:本文首先通过数学物理方程中三个稳定场方程导出了拉普拉斯方程；其次，介绍了不同坐标系中的拉普拉斯方程；再次，对球坐标系中的拉普拉斯方程进行求解；最后，介绍了球坐标系中拉普拉斯方程在物理中的简单应用。关键词:数学物理方程；球坐标系；拉普拉斯方程；物理应用iiiLaplace equation in spherical coordinates of simple physical applicationsCandidate : Lv Yi-ni Major: PhysicsStudent No.: 39261113102 Advisor: Zhang Feng-lingAbstract: Firstly, the Laplace equation was derived through the three stable field equations in mathematical physics equations. Secondly, this paper introduced the Laplace equation in different coordinate system. Thirdly, the Laplace equation in spherical coordinates was solved. Finally, the simple physical applications of Laplace equation in spherical coordinates were introduced.Key words: Mathematical physics equations; Spherical coordinates; Laplace equation; Physical application引言17841785年，拉普拉斯求得天体对其外面任一个质点的引力分量可以用一个势函数表示，这个势函数满足一个偏微分方程1。这个偏微分方程就是著名的拉普拉斯方程2,3。本文首先通过数学物理方程中的稳定场方程4，发现将三类稳定场方程：浓度分布方程、温度分布方程和势场分布方程导出都得到同一个方程，即拉普拉斯方程。拉普拉斯方程与时间无关，是关于空间的偏微分方程。在数学物理方程中，拉普拉斯方程有许多不同的形式：有三维下直角坐标系中的拉普拉斯方程、柱坐标系中的拉普拉斯方程、极坐标系中的拉普拉斯方程，另外常用的还有球坐标系中的拉普拉斯方程。通过介绍几种拉普拉斯方程在不同坐标系中的形式，说明在不同的问题中应该选择恰当的坐标系才能使变量的分离5和问题能够变得容易解决。拉普拉斯方程以势函数的形式描写了电场、引力场等物理对象的性质，因此求解拉普拉斯方程是电磁学6、天文学和流体力学等领域中经常遇到的一类重要的问题。其中球坐标系中的拉普拉斯方程在求解许多圆域内的问题中有广泛的应用，因此着重对球坐标系中的拉普拉斯方程进行求解7,8，从而得到其通解表达式。近年来，拉普拉斯方程在物理上有极其广泛的应用。例如对于纳米球及纳米球壳颗粒的线性及非线性光学特性的研究9,10，又如可以通过求解拉普拉斯方程得出在非均匀电场对矿粒吸引力的大小依赖于矿物的介电系数，由此可以分选出不同矿质的颗粒11。本文通过列举几个球坐标系中拉普拉斯方程在物理中的具体问题，运用之前求出的通解再加上具体问题中的特解12，结合计算机软件Mathematica13,14的编程计算，将问题的解用图像展现出来。从而，可以更进一步地理解其中的物理意义。1. 拉普拉斯方程及其求解1.1 拉普拉斯方程1.1.1 引例按照常见的典型物理过程，可以把数学物理方程分为三类：波动方程、输出方程和稳定场方程。其中，稳定场方程4是指所研究的各种物理现象处于稳定状态时所满足的偏微分方程，它描述一种物理的平衡状态。1.稳定的浓度分布方程(这样的标记法易与标题混淆，以下相同问题请自行修改)当在扩散运动中，最终浓度的空间分布不再随时间变化，达到稳定状态则可以得到稳定的浓度分布方程为： (1)(1)式称为泊松方程。如果没有源，式(1)可以化为： (2)(2)式即为拉普拉斯方程。2.稳定的温度分布方程当在热传导方程中物体的温度处于某种稳定状态，温度与时间无关。此时，可得到稳定的温度分布方程为：与(1)式相同。如果没有源，上式可以简化为：即为(2)式。3.稳定的势场分布方程在静止的情况下，电场与磁场无关，其中麦克斯韦方程组的电场部分为：上述这两个方程连同介质的电磁性质方程是解决静电问题的基础。其中第一个方程表示静电场的无旋性，第二个方程表示自由电荷分布是电位移的源。根据静电场的无旋性，我们可以引入标势来描述静电场。电场强度等于电势的负梯度，由此我们可以得到电场强度与电势之间的关系为： (3)在均匀各向同性线性介质中，有： (4)于是我们就可以得到： (5)(5)式即为静电势所满足的基本微分方程，与(1)式一样称为泊松方程。当需要求解的区域内部没有电荷分布时，那么可以得到更为简单的方程： (6)(6)式这个方程也被称为拉普拉斯方程2,3。1.1.2 不同坐标系中的拉普拉斯方程1. 直角坐标系中的拉普拉斯方程如图1所示，矩形薄片的一边，处绝热，另一边温度为零度，处保持温度满足函数，求该薄片内稳定的温度分布。图1 二维场中的矩形薄片先不考虑边界条件，这个问题就可以用以下方程表示： (7)(7)式即为二维下直角坐标系中的拉普拉斯方程。另外，三维下直角坐标系中的拉普拉斯方程为： (8)2.极坐标系中的拉普拉斯方程如果前面所提及的薄片不是矩形的，而是一个半径为的薄圆盘，如图2所示：上下两面绝热，已知圆盘边缘的温度，求圆盘上稳定的温度分布。图2 二维场中的薄圆盘注意到边界条件为，其中为圆盘的半径。对边界条件进行变量分离，若选用直角坐标系，即。令，可知边界条件不能分离出来。但若选用极坐标系，即，令，就可以很容易得到周期性边界条件和有界性自然边界条件，从而问题就变得容易求解。极坐标系中的拉普拉斯方程为： (9)3.球坐标系中的拉普拉斯方程如图3所示：一个内径为和外径为的导体球壳，所带电荷为，同心地包围着一个半径为的导体球。求空间各点的电势和导体球的感应电荷。图3 三维场中的导体球壳对于这一问题，对边界条件进行分离变量5。如果还是选用直角坐标系，边界条件仍然不能分离出来。但如果选用球坐标系，即。可以令，那么就可以进行分离变量，从而问题就可以求解。球坐标系中拉普拉斯方程表示为： (10)由此可见，在用分离变量法解拉普拉斯方程4时，应该选择恰当的坐标系使变量的分离和问题能够变得容易解决。选择坐标系时应考虑使所讨论的边界尽量与一个或者几个坐标重合，这样能使问题变得易于求解。如果边界面是矩形区域，就应该选择直角坐标系。但如果边界面是半径为的球面时，就应该选择球坐标，使得边界与坐标面重合。又如边界面是圆锥面（生成角为），仍应该选择球坐标，使边界面与坐标面重合。在许多物理问题中，尤其是静电场问题，会遇到如导体球壳、介质球等球状模型。此时球坐标系中的拉普拉斯方程就显得十分重要。下面就来求解一下球坐标系中拉普拉斯方程7,8。1.2 球坐标系中拉普拉斯方程的求解由(10)式可得，球坐标系中拉普拉斯方程为：令，可得到： (11)根据分离变量，令可以把拉普拉斯方程分解为两个方程： (12) (13)其中(12)式可以化为： (14)令，则(14)式就可以化为： (15)(15)式的解为： (16)其中和为任意常数。(14)式为球函数方程，令，于是(14)式化为： (17)令，(17)式可以分解为： (18) (19)其中(18)式的解为： (20)，(19)式化为： (21)令，则，所以可以得到： (22)从而： (23)(23)式称为连带勒让德方程15。若，则： (24)(24)式称为勒让德方程，其解为： (25)称为勒让德多项式。所以拉普拉斯方程在球坐标系中的通解为： (26)式中为任意常数，可以在具体的问题中根据边界条件及边值关系确定下来。称为缔合勒让德函数。(24)式为拉普拉斯方程在球坐标系中的通解，如果在某个问题中具有对称轴，我们可以取这个对称轴作为极轴，那么电势就和方位角无关，此时拉普拉斯方程的通解就可以简化为： (27)其中为任意常数，可以根据边界条件和边值关系确定，称为勒让德函数。如果电势具有球对称，那么(26)式又可以进一步化简为： (28)式(26)、(27)、(28)给出了球坐标系中拉普拉斯方程的通解，接下来就可以根据边界条件和边值关系计算出通解中的任意常数，从而就可以得到满足边界条件的特解5。2. 球坐标系中拉普拉斯方程的应用2.1 导体球在均匀外电场中放入一个半径为接地导体球，那么我们就可以通过求解球坐标系中拉普拉斯方程来求得该导体球的电势和电荷面密度。因为该导体球接地，所以该导体球表面是一个等势体，整个导体的电势为零。首先根据拉普拉斯方程在球坐标系中的通解，可以写出电势的通解为：导体球外电势为， (29)导体球内电势为， (30)再根据边界条件： 注意段落的排版，一句未完除方程式外一般不另起行当时， (31)则： (32) (33)接着利用边值关系：在导体球面上时，为常量 (34)由式(31)、(32)、(33)可得： (35)比较(35)式中两边的系数： (36)可得： (37)根据(34)式可以得到： (38) (39) (40)比较(40)式中两边的系数： (41)又联合(37)式，可以得到： (42)于是，导体球外电势为： (43)导体面上自由电荷面密度为： (44)通过求解拉普拉斯方程在球坐标系中的解得到的接地导体球外的电势(41)式，将(43)式利用Mathematica软件进行三维函数图的描绘运行程序：In5=程序只是下面部分Plot3D-2RCosq+(28)/R2Cosq,R,1,10,q,0,2p,AxesLabelR,q,y在描绘过程中因为都为常数，所以令。可以得到球外电势（在图中用表示）与的关系情况如图4所示。图4 导体球外电势图然后根据导体面上自由电荷面密度公式(44)式，同样用Mathematica软件进行二维函数图的描绘运行程序：In1=Plot38.8510-122Cosq,q,0,2p,AxesLabelq,y图5 导体电荷面密度图其中为真空电容率，为常数，取，可以得到导体面上自由电荷面密度（图中用表示）和的关系如图5所示，根据图像可以直观地看出：在从范围变化的情况下，导体电荷面密度随角度的增大先减少后增大，当时电荷面密度最小。此外还可以得知：当自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其他自由电荷分布时，就可以选择导体的内部为求解区域。除此之外，对于一些空间电荷分布比较简单的情形也可以运用拉普拉斯方程进行求解。2.2 双锥用同轴理想导电薄片做成的无限长双锥，如图6所示。外锥电位为零，内锥电位为，锥尖在处绝缘。求两锥间电位的一般表达式。图6 无限长双锥图根据(10)式，在球坐标系中：因为两锥间的电势与，无关，仅与有关，所以电势满足方程： (45)其通解为： (46)根据边界条件：当时， (47)当时， (48)把式(47)、(48)代入(46)式中，可得到： (49) (50)由(48)式可以得到： (51)于是锥间的电势为： (52)同理可得，当外锥面为无限大平面时，两锥间电势为： (53)根据(3)式电场强度与电势之间的关系， (54)平面上电荷密度为： (55)将所求的电场表达式(54)式通过Mathematica软件进行三维函数图的描绘运行程序：In2=Plot3D10/(rSinqAbsLog,Tanp/12),r,1,10,q,0,2p,AxesLabelr,q,E在描绘过程中因为都为常数，所以令。可以得到双锥电场强度和半径，角度的关系如图7所示。图7 双锥电场变化图然后根据双锥平面上自由电荷面密度公式(55)式，同样用Mathematica软件进行二维函数图的描绘运行程序：In1=Plot-38.8510-1210/rLog,Tanp/12,r,1,10,AxesLabelr,y其中为真空电容率，为常数，同样取。可以得到双锥平面上电荷密度（图中用表示）和半径的关系如图8所示，根据图像可以直观地看出：当从1到10变化时，双锥平面上电荷密度一直逐渐减少。图8 双锥平面上电荷密度图从中可以观察到，尖角附近可能存在很强的电场和电荷面密度。于是，这就很好解释了尖端放电现象。3. 结论本文首先通过数学物理方程中的稳定场方程，发现将三类稳定场方程：浓度分布方程、温度分布方程和势场分布方程导出都得到同一个方程，即拉普拉斯方程。然后介绍了几种不同坐标系下拉普拉斯方程的形式。拉普拉斯方程以势函数的形式描写了电场、引力场等物理对象的性质，因此求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域中经常遇到的一类重要的问题。其中因为球坐标系中的拉普拉斯方程：在求解许多圆域内的问题中有广泛的应用，所以接着主要对球坐标系下的拉普拉斯方程进行求解，得到了其通解形式为：。公式后的符号用英文状态的，标记在公式中球坐标系中拉普拉斯方程在物理上特别是静电场中有广泛的应用。本文列举了导体球和双锥中两个应用：在导体球中得到了导体球外电势以及导体面上自由电荷面密度的关系式，通过软件绘图可以直观地发现在从范围变化的情况下，导体电荷面密度随角度的增大先减少后增大，当时电荷面密度最小；在双锥中得到了两锥间电势，电场强度以及双锥平面上电荷密度的关系式，通过软件绘图还可以直观地发现当从1到10变化时，双锥平面上电荷密度一直逐渐减少。第 16 页 共 17 页参考文献（注意参考文献的各种符号字体）1 郇中丹,黄海洋. 偏微分方程M. 北京: 高等教育出版社.2 郭硕鸿. 电动力学(第三版)M. 北京: 高等教育出版社, 2008: 47-48. 3 程守洙,江之永. 普通物理学M. 高等教育出版社, 2007.4 张民,罗伟,吴振森. 数学物理方法M. 西安: 西安电子科技大学出版社, 2008: 15-16.5 同济大学应用数学. 高等数学M. 高等教育出版社.6 粱灿彬,秦光戎,等. 电磁学(第二版)M. 北京: 高等教育出版社, 1980: 1-125.7 李晓奇.静电