2013届全国中考数学3年中考2年模拟之热点题型：7.4观察归纳题pdf版

拉格朗日 意大利出生的法国数学家和物理学家 年任都灵皇家炮兵学校几何学教授 他在此建立了科学院 后来继欧拉出任柏林科学院数学总监 在腓特烈大帝 去世后返回法国 他对 等周问题 的研究奠定了变分学的基础 并对众多的其他数学分支 包括几率论 数论 方程论以及群论的基础 做出了重要的贡献 观察归纳题 题型特点 考查知识分为两类 一是数字或字母规律探索性问题 二 是几何图形中规律探索性问题 通过观察 试验 归纳 类比等活动获得数学猜想 并能对 所做出的猜想进行验证 能进行一些简单的严密的逻辑推理论 证 并有条理地表达自己的证明 借助已有现象或推理过程的质疑 考查推理意识和质疑 能力 命题趋势 通过观察 试验 归纳 类比等活动 探索事物的内在规律 考查学生的逻辑推理能力 一般以选择题 填空题或解答题为主 要题型 成为近几年来的中考热点 例 湖南岳阳 图中各圆的三个数之间都有相同 的规律 据此规律 第狀个圆中 犿 用含狀的代数式 表示 命题意图分析 本题主要考查学生通过观察 归纳 类 比等活动 探索事物的内在规律 本题属图形及数字变化规律 题型 解答 第狀个数为 狀 第狀个数为 狀 第狀个圆中 犿 狀 狀 狀 狀 狀 故答案为 狀 方法点拨 根据 得出 第狀个数为 狀 第狀个数为 狀 即可得出第狀个圆中犿的值 误区警示 本题的解题技巧在于纵向比较数字 在这 个数字间寻找规律 最终求出犿的值 误区在于有些同学 横向比较数字 及 之间的联系 四川自贡 一质点犘从距原点 个单位的点犕处向 原点方向跳动 第一次跳动到犗犕的中点犕 处 第二次从 犕 跳到犗犕 的中点犕 处 第三次从点犕 跳到犗犕 的中 点犕 处 如此不断跳动下去 则第狀次跳动后 该质点到原 点犗的距离为 第 题 狀 狀 第 题 狀 狀 山东枣庄 如图 矩形犃 犅 犆 犇的 对角线犃 犆 犅 犆 则图中五个小 矩形的周长之和为 广东深圳 如图 已知 犕 犗 犖 点犃 犃 犃 在射线犗 犖上 点犅 犅 犅 在射线犗犕上 犃 犅 犃 犃 犅 犃 犃 犅 犃 均为等边三角形 若犗 犃 则 犃 犅 犃 的边长为 第 题 湖南常德 若图 中的线段长为 将此线段三等 分 并以中间的一段为边作等边三角形 然后去掉这一段 得 到图 再将图 中的每一段作类似变形 得到图 按上 述方法继续下去得到图 则图 中的折线的总长度为 金融数学是近 年来蓬勃发展的新兴边缘学科 在国际金融界和应用数学界受到高度重视 年 经济 学奖授予 和 是为了奖励他们在期权定价 著名的 公式 等金融数学方面的贡献 两次 华尔街革命 是 年代 的投资组合的均值 方差理论与 的资本资产定价理论 和 于 年提出的衍生证券定价理论 它们构成了蓬勃发展的新学科 金融数学的主要内容 利用金融数学技巧获得的期权定价理论已被推广到其他金融问题的研究的广阔领域 第 题 湖北武汉 一列数犪 犪 犪 其中犪 犪狀 犪狀 狀为不小于 的整数 则犪 的值为 浙江嘉兴 一个纸环链 纸环按 红黄绿蓝紫 的顺序 重复排列 截去其中的一部分 剩下部分如图所示 则被截去 部分纸环的个数可能是 第 题 山东日照 观察图中正方形四个顶点所标的数字规 律 可知数 应标在 第 题 第 个正方形的左下角 第 个正方形的右下角 第 个正方形的左上角 第 个正方形的右下角 福建龙岩 如图 依次以三角形 四边形 狀边形的 各顶点为圆心画半径为 的圆 且圆与圆之间两两不相交 把 三角形与各圆重叠部分面积之和记为犛 四边形与各圆重叠 部分面积之和记为犛 狀边形与各圆重叠部分面积之和记 为犛 狀 则犛 的值为 结果保留 第 题 广东 如图 将一个正六边形各边延长 构成一个 正六角星形犃 犉 犅 犇 犆 犈 它的面积为 取 犃 犅 犆和 犇 犈 犉各 边中点 连结成正六角星形犃 犉 犅 犇 犆 犈 如图 中阴影 部分 取 犃 犅 犆 和 犇 犈 犉 各边中点 连结成正六角星 形犃 犉 犅 犇 犆 犈 如图 中阴影部分 如此下去 则正六 角星形犃 犉 犅 犇 犆 犈 的面积为 第 题 山东德州 图 是一个边长为 的等边三角形和一 个菱形的组合图形 菱形边长为等边三角形边长的一半 以 此为基本单位 可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形 如图 依此规律继续拼下去 如图 则第狀个 图形的周长是 第 题 狀 狀 狀 狀 二 填空题 四川巴中 观察下面一列数 根据你发现的规律 第 个数是 四川资阳 观察分析下列方程 狓 狓 狓 狓 狓 狓 请利用它们所蕴含的规律 求关于狓的 方程狓 狀 狀 狓 狀 狀为正整数 的根 你的答案是 辽宁丹东 将一些形状相同的小五角星如下图所示 的规律摆放 据此规律 第 个图形有 个五角星 第 题 辽宁本溪 如图 下图是一组由菱形和矩形组成的有 规律的图案 第 个图中菱形的面积为犛 犛为常数 第 个 图中阴影部分是由连结菱形各边中点得到的矩形和再连结 矩形各边中点得到的菱形产生的 依此类推 则第狀个 图中阴影部分的面积可以用含狀的代数式表示为 狀 且狀是正整数 跟 在街上相遇 不屑地看了 一眼 说 胖就胖呗 还系什么裤腰带啊 碰到 看了他一眼 不屑地说 年纪轻轻的拄什么拐杖呀 碰到 很同情地看着他说 哎 怎么拄上双拐了 碰上了犙 大吃一惊地说 怎么长尾巴了 在路上看到 说 哎 兄弟 怎么截肢了 第 题 第 题 四川达州 将边长分别为 的正方形置于直角坐标 系第一象限 如图中方式叠放 则按图 示规律排列的所有阴影部分的面积之 和为 贵州遵义 猜数字游戏中 小 明写出如下一组数 小亮猜想出第六个数字是 根据此规律 第狀个数 是 广东肇庆 观察下列一组数 它们是按一定规律排列的 那么这一组数的第犽个数是 福建莆田 如图 在平面直角坐标系中 犃 犅 犆 犇 把一条长为 个单 位长度且没有弹性的细线 线的粗细忽略不计 的一端固定 在点犃处 并按犃 犅 犆 犇 犃 的规律紧绕在四边形 犃 犅 犆 犇的边上 则细线另一端所在位置的点的坐标是 第 题 第 题 山东济南 如图 矩形犅 犆 犇 犈的各边分别平行于狓 轴或狔轴 物体甲和物体乙分别由点犃 同时出发 沿矩 形犅 犆 犇 犈的边作环绕运动 物体甲按逆时针方向以 个单 位 秒匀速运动 物体乙按顺时针方向以 个单位 秒匀速运 动 则两个物体运动后的第 次相遇地点的坐标是 辽宁沈阳 有一组多项式 犪 犫 犪 犫 犪 犫 犪 犫 请观察它们的构成规律 用你发现的规律写出第 个多项式为 广东湛江 如图 设四边形犃 犅 犆 犇是边长为 的正 方形 以对角线犃 犆为边作第二个正方形犃 犆 犈 犉 再以对角 线犃 犈为边作笫三个正方形犃 犈 犌犎 如此下去 若正方形 犃 犅 犆 犇的边长记为犪 按上述方法所作的正方形的边长依 次为犪 犪 犪 犪狀 则犪狀 第 题 第 题 贵州六盘水 如图是我国古代数学家杨辉最早发现 的 称为 杨辉三角 它的发现比西方要早五百年左右 由此 可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的 杨 辉三角 中有许多规律 如它的每一行的数字正好对应了 犪 犫 狀 狀为非负整数 的展开式中犪按次数从大到小排列的 项的系数 例如 犪 犫 犪 犪 犫 犫 展开式中的系数 恰好对应图中第三行的数字 再如 犪 犫 犪 犪 犫 犪 犫 犫 展开式中的系数 恰好对应图中第四行的 数字 请认真观察此图 写出 犪 犫 的展开式 犪 犫 山东菏泽 一个自然数的乘方 可以分裂成若干个连 续奇数的和 例如 和 分别可以按如图所示的方式 分裂 成 个 个和 个连续奇数的和 即 若 也按照此规律 来进行 分裂 则 分裂 出的奇数中 最大的奇数是 第 题 湖北恩施 根据表中数的排列规律 则犅 犇 广东湛江 已知 犃 犃 犃 犃 观察前 面的计算过程 寻找计算规律计算犃 直接写出 计算结果 并比较犃 犃 填 或 或 四川达州 用同样大小的小圆按下图所示的方式摆 图形 第 个图形需要 个小圆 第 个图形需要 个小圆 第 个图形需要 个小圆 第 个图形需要 个小圆 按照 有一次 三个侦察兵在徒步行进中必须过河到对岸 但没有桥 对他们来说这是一件难办的事 此时 河上有两个孩子在 划一只小船 他们想帮助侦察兵 可是船太小了 只能承载一名侦察兵 如果再加上一个孩子就会把小船弄沉 而三个侦察兵 都不会游泳 看来 在这样的条件下 就只能有一名战士乘小船渡到对岸去 可事实却是 三名战士都很快地顺利到达了对 岸 并把小船交还给了孩子们 他们是怎样做的呢 这样的规律摆下去 则第狀个图形需要小圆 个 用 含狀的代数式表示 第 题 山东威海 如图 直线犾 狓轴于点 直线犾 狓轴于点 直线犾 狓轴于点 直线犾狀 狓轴 于点 狀 函数狔 狓的图象与直线犾 犾 犾 犾狀分别交 于点犃 犃 犃 犃狀 函数狔 狓的图象与直线犾 犾 犾 犾狀分别交于点犅 犅 犅 犅狀 如果 犗 犃 犅 的面积 记为犛 四 边 形犃 犃 犅 犅 的 面 积 记 作犛 四 边 形 犃 犃 犅 犅 的面积记作犛 四边形犃狀 犃狀犅狀犅狀 的面积 记作犛 狀 那么犛 第 题 南京 甲 乙 丙 丁四位同学围成一圈依序循环报 数 规定 甲 乙 丙 丁首次报出的数依次为 接着甲报 乙报 按此规律 后一位同学报出的数比前一位同学报 出的数大 当报到的数是 时 报数结束 若报出的数为 的倍数 则报该数的同学需拍手一次 在此过程中 甲同学需要拍手的次数为 广东省模拟 如图所示 直线狔 狓 与狔轴相交于 点犃 以犗 犃 为边作正方形犗 犃 犅 犆 记作第一个正方形 然后延长犆 犅 与直线狔 狓 相交于点犃 再以犆 犃 为 边作正方形犆 犃 犅 犆 记作第二个正方形 同样延长犆 犅 与直线狔 狓 相交于点犃 再以犆 犃 为边作正方形 犆 犃 犅 犆 记作第三个正方形 依此类推 则第狀个正 方形的边长为 第 题 哈尔滨模拟 某体育馆用大小相同的长方形木块镶 嵌地面 第一次铺 块 如图 第二次把第一次铺的完全 围起来 如图 第三次把第二次铺的完全围起来 如 图 以此方法 第狀次铺完后 用字母狀表示第狀次 镶嵌所使用的木块数为 第 题 江苏常州模拟 已知 直线狔 狀 狀 狓 槡 狀 狀为 正整数 与两坐标轴围成的三角形面积为犛 狀 则犛 犛 犛 犛 江苏盐城模拟 如图 已知 犗 犘 犃 犃 犘 犃 犃 犘 犃 均为等腰直角三角形 直角顶点犘 犘 犘 在函数狔 狓 狓 图象上 点犃 犃 犃 在 狓轴的正半轴上 则点犘 的横坐标为 第 题 三 解答题 山东济宁 问题情境 用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放 则第 个图共有多少枚棋子 建立模型 有些规律问题可以借助函数思想来探讨 具体步骤 第一步 确定变量 第二步 在直角坐标系中画出函数图象 第三步 根据函数图象猜想并求出函数关系式 第四步 把另外的某 一点代入验证 若成立 则用这个关系式去求解 解决问题 根据以上步骤 请你解答 问题情境 第 题 波利亚的 怎样解题 被译成 种文字 仅平装本就销售 万册以上 著名数学家瓦尔登 年 月 日在瑞士苏 黎世大学的会议致词中说 每个大学生 每个学者 特别是每个老师都应该读读这本引人入胜的书 我想 波利亚关于怎 样解题的思想对于广大中学生同样也是非常有益的 波利亚强调发现 不仅仅是指发现解法 而且也包括数学的创新发现 他把阐述自己 对解题的理解 研究和讲授 的 书取名为 数学的发现 我想大概就是这个原因 四川资阳 已知犪 犫是正实数 那么 犪 犫 槡犪 犫 是 恒成立的 由 槡犪 槡犫 恒成立 说明犪 犫 槡犪 犫恒成立 填空 已知犪 犫 犮是正实数 由 犪 犫 槡犪 犫恒成立 猜测 犪 犫 犮 也恒成立 如图 已知犃 犅是直径 点犘是弧上异于点犃和点犅的 一点 犘 犆 犃 犅 垂足为犆 犃 犆 犪 犅 犆 犫 由此图说明 犪 犫 槡犪 犫恒成立 第 题 山东济宁 观察下面的变形规律 解答下面的问题 若狀为正整数 请你猜想 狀 狀 证明你猜想的结论 求和 湖南邵阳 数学课堂上 徐老师出示了一道试题 如图所示 在正三角形犃 犅 犆中 犕是边犅 犆 不含端点犅 犆 上任意一点 犘是犅 犆延长线上一点 犖是 犃 犆 犘的平分线 上一点 若 犃犕犖 求证 犃犕 犕犖 经过思考 小明展示了一种正确的证明过程 请你将证明 过程补充完整 第 题 证明 在犃 犅上截取犈 犃 犕 犆 连结犈犕 得 犃 犈犕 犃犕 犅 犃犕犖 犃犕 犅 犅 犃犕犖 犅 又 犆 犖平分 犃 犆 犘 犃 犆 犘 犕 犆 犖 又 犅 犃 犅 犆 犈 犃 犕 犆 犅 犃 犈 犃 犅 犆 犕 犆 即犅 犈 犅犕 犅 犈犕为等边三角形 由 得 犕 犆 犖 在 犃 犈犕和 犕 犆 犖中 犃 犈犕 犕 犆 犖 犃犕 犕犖 若将试题中的 正三角形犃 犅 犆 改为 正方形犃 犅 犆 犇 如 图 犖 是 犇 犆 犘 的 平 分 线 上 一 点 则 当 犃 犕 犖 时 结论犃 犕 犕 犖 是否还成立 直接给出答案 不需要证明 若将题中的 正三角形犃 犅 犆 改为 正多边形犃狀犅狀犆狀犇狀 犡狀 请你猜想 当 犃狀犕狀犖狀 时 结论犃狀犕狀 犕狀犖狀仍然成立 直接写出答案 不需要证明 观察归纳题 解析 犕 到原点犗的距离为 犕 到原点犗的距 离为 犕 到原点犗的距离为 解析 由勾股定理得犃 犅 所以图中五个小矩形的 周长之和为 犃 犅 犅 犆 解析 利用等腰三角形等边对等角的性质 以及直角 三角形 所对的直角边是斜边的一半得犃 犃 犃 犃 犃 犃 依次规律 则 犃 犅 犃 的边长为 解析 通过对图 的观察 可发现图 都是轴对称图形 从图形 可知每一条短线段的长 为 从图形 可知每一条短线段的长为 从而可 以得出每一条短线段的长与图形序号之间的关系为 狀 再看线段的条数 根据轴对称只看左边 图 形 是两条 图形 是 条 图形 是 条 可以得出 第 狀 个图形线段的条数与序号狀的关系为 狀 所以综 合起来折线的总长度为 狀 狀 当狀 时 折 线的总长度为 解析 将犪 代入犪 狀 犪狀 得犪 将犪 代入犪 狀 犪狀 得犪 将 犪 代入犪 狀 犪狀 得犪 解析 红黄绿蓝紫 有 个 是 的倍数 前面 少了 蓝紫 后面少了 红 所以一共截去纸环个数可能 是 个 解析 按 的倍数向前递进 则第 个正方形为 第 题 解析 犛 狀 犚 解析 由三角形中位线知 犇 犈 犉 面积为 犃 犅 犆 面积的 得正六角星形犃 犉 犅 犇 犆 犈 面积为正六角 星形犃 犉 犅 犇 犆 犈面 积 的 总 结 规 律 知 正 六 角 星 形 犃 犉 犅 犇 犆 犈 面积为 解析 寻找规律 第一个图形周长为 第二个图形 周长为 第三个图形周长为 则第狀个图形周长为 狀 解析 寻找规律 奇数前是正号 偶数前是负号 狓 狀 或狓 狀 解析 首先求得分式方程 的解 即可得规律 方程狓 犪 犫 狓 犪 犫的根为狓 犪或狓 犫 然后将狓 狀 狀 狓 狀 化为 狓 狀 狀 狓 狀 狀 利用规律求解即可求得答案 解析 第 个图形有小五角星 个 第 个 图形有小五角星 个 第 个图形有小五角星 个 第 个图形有小五角星 个 所以第 个图形有小五角星 个 狀 犛 解析 第 个图形阴影面积是 犛 第 个 图形阴影面积是 犛 由特殊可总结一般性 解析 阴影面积 狀 狀 解析 分子按 的乘方变化 分母总比分子大 犽 犽 解析 分子是偶数 分母总比分子大 解析 此长方形的周长是 把 除以 还余 所以这条长为 个单位长度细线另一端最终 所在位置是点犅 解析 利用行程问题中的相遇问题 由于矩 形的边长为 和 物体乙是物体甲的速度的 倍 求得 每一次相遇的地点 找出规律即可解答 犪 犫 解析 第狀个多项式为犪狀 狀 犫 狀 槡 狀 犪 犃 犆 且在直角 犃 犅 犆中 犃 犅 犅 犆 犃 犆 犪 槡 犪 槡 同理犪 槡 犪 犪 槡 犪 槡 由此可知犪 狀 槡 狀 犪 槡 狀 犪 犪 犫 犪 犫 犪 犫 犫 解析 由 犪 犫 犪 犫 犪 犫 犪 犪 犫 犫 犪 犫 犪 犪 犫 犪 犫 犫 可 得 犪 犫 狀的各项展开式的系数除首尾两项都是 外 其 余各项系数都等于 犪 犫 狀 的相邻两个系数的和 由此 可得 犪 犫 的各项系数依次为 解 析 由 分 裂 中 的 第 一 个 数 是 分裂中的第一个数是 分 裂 中 的 第 一 个 数 是 分裂 中 的 第 一 个 数是 分裂中的第一个数是 所以 分裂 出的奇数中最大的是 解析 仔细观察每一条虚线或与虚线平行的直 线上的数字从左至右相加等于最后一个数字 犅 犇 犅 犇 犅 犇 解析 犃 犃 犃 狀 狀 解析 则第狀个图形需要圆 狀 狀 狀 解析 先求出犛 再由相似知 犛 犛 犛 得犛 再由相似知 犛 犛 犛 犛 犛