2016年中考压轴题专题：与圆有关的最值问题(附答案)

1 D B O C A 与圆有关的最值 取值范围 问题与圆有关的最值 取值范围 问题 引例引例 1 1 在坐标系中 点 A 的坐标为 3 0 点 B 为 y 轴正半轴上的一点 点 C 是第一象限 内一点 且 AC 2 设 tan BOC m 则 m 的取值范围是 引例引例 2 2 如图 在边长为 1 的等边 OAB 中 以边 AB 为直径作 D 以 O 为圆心 OA 长为半径 作 O C 为半圆弧上的一个动点 不与 A B 两点重合 射线 AC 交 O 于点 E AB BC AC 求的最大值 abab 引例引例 3 3 如图 BAC 60 半径长为 1 的圆 O 与 BAC 的两边相切 P 为圆 O 上一动点 以 P 为圆心 PA 长为半径的圆 P 交射线 AB AC 于 D E 两点 连接 DE 则线段 DE 长度的最大值为 A 3 B 6 C D 3 3 2 3 3 一 题目分析 一 题目分析 此题是一个圆中的动点问题 也是圆中的最值问题 主要考察了圆内的基础知识 基本 技能和基本思维方法 注重了初 高中知识的衔接 1 引例引例 1 1 通过隐藏圆 高中轨迹的定义 寻找动点 C 与两个定点 O A 构成夹角的 变化规律 转化为特殊位置 相切 进行线段 角度有关计算 同时对三角函数值的变化 增减性 进行了延伸考查 其实质是高中 直线斜率直线斜率 的直接运用 2 引例引例 2 2 通过圆的基本性质 寻找动点 C 与两个定点 A B 构成三角形的不变条件 结合不等式的性质进行转化 其实质是高中 柯西不等式柯西不等式 的直接运用 3 引例引例 3 3 本例动点的个数由引例 1 引例 2 中的一个动点 增加为三个动点 从性质 运用 构图形式 动点关联上增加了题目的难度 解答中还是注意动点 D E 与一个定点 A 构成三角形的不变条件 DAE 60 构造弦 DE 直径所在的直角三角形 从而转化为弦 DE 与半径 AP 之间的数量关系 其实质是高中 正弦定理正弦定理 的直接运用 综合比较 回顾这三个问题 知识本身的难度并不大 但其难点在于学生不知道转化的 套路 只能凭直观感觉去寻找 猜想关键位置来求解 但对其真正的几何原理却无法通透 二 解题策略二 解题策略 1 直观感觉 画出图形 2 特殊位置 比较结果 3 理性分析动点过程中所维系的不变条件 通过几何构建 寻找动量与定量 常量 之间的关系 建立等式 进行转化 资料下载来源 初中数学精品资料群695237341 黄冈中学资料共享群 761889459 要进 5000G网课视频共享群 的到QQ 763491846的空间日志查看 另有全部学科的群号 2 B A C M D D O P C B A 三 中考展望与题型训练三 中考展望与题型训练 例一 斜率运用例一 斜率运用 1 1 如图 A 点的坐标为 2 1 以 A 为圆心的 A 切 x 轴于点 B P m n 为 A 上的 一个动点 请探索 n m 的最大值 例二 圆外一点与圆的最近点 最远点例二 圆外一点与圆的最近点 最远点 1 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 AC 4 BC 3 点 D 是平面内的一个动点 且 AD 2 M 为 BD 的中点 在 D 点运动过程中 线段 CM 长度的取值范围是 2 如图 O 的直径为 4 C 为 O 上一个定点 ABC 30 动点 P 从 A 点出发沿半圆弧 AB 向 B 点运动 点 P 与点 C 在直径 AB 的异侧 当 P 点到达 B 点时运动停止 在运动过程中 过点 C 作 CP 的垂线 CD 交 PB 的延长线于 D 点 1 在点 P 的运动过程中 线段 CD 长度的取值范围为 2 在点 P 的运动过程中 线段 AD 长度的最大值为 例三 正弦定理例三 正弦定理 1 如图 ABC 中 BAC 60 ABC 45 AB D 是线段 BC 上的一个动点 以 AD2 2 为直径作 O 分别交 AB AC 于 E F 两点 连接 EF 则线段 EF 长度的最小值 为 2 如图 定长弦 CD 在以 AB 为直径的 O 上滑动 点 C D 与点 A B 不重合 M 是 CD 的中 点 过点 C 作 CP AB 于点 P 若 CD 3 AB 8 则 PM 长度的最大值是 资料下载来源 初中数学精品资料群695237341 黄冈中学资料共享群 761889459 要进 5000G网课视频共享群 的到QQ 763491846的空间日志查看 另有全部学科的群号 3 O A B C E B A C O D OD C E AB 例四 柯西不等式 配方法例四 柯西不等式 配方法 1 如图 已知半径为 2 的 O 与直线 l 相切于点 A 点 P 是直径 AB 左侧半圆上的动点 过 点 P 作直线 l 的垂线 垂足为 C PC 与 O 交于点 D 连接 PA PB 设 PC 的长为 x 2 x 4 则当 x 时 PD CD 的值最大 且最大值是为 2 如图 线段 AB 4 C 为线段 AB 上的一个动点 以 AC BC 为边作等边 ACD 和等边 BCE O 外接于 CDE 则 O 半径的最小值为 A 4 B C D 2 2 3 3 3 2 2 3 在平面直角坐标系中 以坐标原点 O 为圆心 2 为半径画 O P 是 O 上一动点 且 P 在第一象限内 过点 P 作 O 的切线与轴相交于点 A 与轴相交于点 B 线段 AB 长度的xy 最小值是 例四 相切的应用 有公共点 最大或最小夹角 例四 相切的应用 有公共点 最大或最小夹角 1 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AC 6 BC 8 D 为 AB 边上一点 过点 D 作 CD 的垂线 交直线 BC 于点 E 则线段 CE 长度的最小值是 2 如图 Rt ABC 中 C 90 A 30 AB 4 以 AC 上的一点 O 为圆心 OA 为半径作 O 若 O 与边 BC 始终有交点 包括 B C 两点 则线段 AO 的取值范围是 资料下载来源 初中数学精品资料群695237341 黄冈中学资料共享群 761889459 要进 5000G网课视频共享群 的到QQ 763491846的空间日志查看 另有全部学科的群号 4 3 如图 O 的半径为 2 点 O 到直线 l 的距离为 3 点 P 是直线 l 上的一个动点 PQ 切 O 于点 Q 则 PQ 的最小值为 A B C 3 D 2 例五 其他知识的综合运用例五 其他知识的综合运用 1 2015 济南 抛物线 y ax2 bx 4 a 0 过点 A 1 1 B 5 1 与 y 轴交于 点 C 1 求抛物线的函数表达式 2 如图 1 连接 CB 以 CB 为边作 CBPQ 若点 P 在直线 BC 上方的抛物线上 Q 为坐 标平面内的一点 且 CBPQ 的面积为 30 求点 P 的坐标 3 如图 2 O1过点 A B C 三点 AE 为直径 点 M 为 上的一动点 不与点 A E 重合 MBN 为直角 边 BN 与 ME 的延长线交于 N 求线段 BN 长度的最大值 2 2013 秋 相城区校级期末 如图 已知 A B 是 O 与 x 轴的两个交点 O 的半径为 1 P 是该圆上第一象限内的一个动点 直线 PA PB 分别交直线 x 2 于 C D 两点 E 为 线段 CD 的中点 1 判断直线 PE 与 O 的位置关系并说明理由 2 求线段 CD 长的最小值 3 若 E 点的纵坐标为 m 则 m 的范围为 资料下载来源 初中数学精品资料群695237341 黄冈中学资料共享群 761889459 要进 5000G网课视频共享群 的到QQ 763491846的空间日志查看 另有全部学科的群号 5 l Q P NM O A DBC E F C ADB Q P O A B D C P 题型训练 题型训练 1 如图 已知直线 l 与 O 相离 OA l 于点 A OA 5 OA 与 O 相交于点 P AB 与 O 相 切于点 B BP 的延长线交直线 l 于点 C 若在 O 上存在点 Q 使 QAC 是以 AC 为底边的等 腰三角形 则 O 的半径 r 的取值范围为 2 已知 如图 Rt ABC 中 B 90 A 30 BC 6cm 点 O 从 A 点出发 沿 AB 以每秒 cm 的速度向 B 点方向运动 当点 O 运动了 t 秒 t 0 时 以 O 点为圆心的圆与边 AC 相3 切于点 D 与边 AB 相交于 E F 两点 过 E 作 EG DE 交射线 BC 于 G 1 若点 G 在线段 BC 上 则 t 的取值范围是 2 若点 G 在线段 BC 的延长线上 则 t 的取值范围是 3 如图 M N 的半径分别为 2cm 4cm 圆心距 MN 10cm P 为 M 上的任意一点 Q 为 N 上的任意一点 直线 PQ 与连心线 所夹的锐角度数为 当 P Q 在两圆上任意运动时 l 的最大值为 A B C D tan 6 12 4 3 3 3 3 4 4 如图 在矩形 ABCD 中 AB 3 BC 4 O 为矩形 ABCD 的中心 以 D 为圆心 1 为半径作 D P 为 D 上的一个动点 连接 AP OP 则 AOP 面积的最大值为 A 4 B C D 21 5 35 8 17 4 5 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AC 8 BC 6 经过点 C 且与边 AB 相切的动圆与 CA CB 分别相交于点 P Q 则线段 PQ 长度的最小值是 A B C 5 D 19 4 24 5 4 2 6 如图 在等腰 Rt ABC 中 C 90 AC BC 4 D 是 AB 的中点 点 E 在 AB 边上运动 点 E 不与点 A 重合 过 A D E 三点作 O O 交 AC 于另一点 F 在此运动变化的过程中 线段 EF 长度的最小值为 7 如图 A B 两点的坐标分别为 2 0 0 2 C 的圆心的坐标为 1 0 半径为 1 若 D 是 C 上的一个动点 线段 DA 与 y 轴交于点 E 则 ABE 面积的最小值是 A 2 B 1 C D 2 2 2 22 资料下载来源 初中数学精品资料群695237341 黄冈中学资料共享群 761889459 要进 5000G网课视频共享群 的到QQ 763491846的空间日志查看 另有全部学科的群号 6 A Q C P B 8 如图 已知 A B 两点的坐标分别为 2 0 0 1 C 的圆心坐标为 0 1 半径 为 1 D 是 C 上的一个动点 射线 AD 与 y 轴交于点 E 则 ABE 面积的最大值是 A 3 B C 10 3 D 4 11 3 9 如图 等腰 Rt ABC 中 ACB 90 AC BC 4 C 的半径为 1 点 P 在斜边 AB 上 PQ 切 O 于点 Q 则切线长 PQ 长度的最小值为 A B C 3 D 4 72 2 10 如图 BAC 60 半径长 1 的 O 与 BAC 的两边相切 P 为 O 上一动点 以 P 为圆 心 PA 长为半径的 P 交射线 AB AC 于 D E 两点 连接 DE 则线段 DE 长度的范围 为 11 在直角坐标系中 点 A 的坐标为 3 0 点 P 是第一象限内一点 且 AB 2 mn 则的范围为 mn 12 在坐标系中 点 A 的坐标为 3 0 点 P 是 y 轴右侧一点 且 AP 2 点 B 上直线 y x 1 上一动点 且 PB AP 于点 P 则 则的取值范围是 tanABPm m 13 在平面直角坐标系中 M 3 4 P 是以 M 为圆心 2 为半径的 M 上一动点 A 1 0 B 1 0 连接 PA PB 则 PA2 PB2最大值是 蔡老师点评蔡老师点评 与圆有关的最值问题 看着无从下手 但只要仔细观察 分析图形 寻找动点 与定点之间不变的维系条件 构建关系 将研究的问题转化为变量与常量之间的关系 就能 找到解决问题的突破口 几何中的定值问题 是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持 不变 或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题 解几何定值问题的基本方 法是 分清问题的定量及变量 运用特殊位置 极端位置 直接计算等方法 先探求出定值 再给出证明 几何中的最值问题是指在一定的条件下 求平面几何图形中某个确定的量 如线段长度 角 度大小 图形面积 等的最大值或最小值 求几何最值问题的基本方法有 1 特殊位置与极端位置法 2 几何定理 公理 法 3 数形结合法等 注 几何中的定值与最值近年广泛出现于中考试题中 由冷点变为热点 这是由于这类问题 具有很强的探索性 目标不明确 解题时需要运用动态思维 数形结合 特殊与一般相结合 逻辑推理与合情想象相结合等思想方法 资料下载来源 初中数学精品资料群695237341 黄冈中学资料共享群 761889459 要进 5000G网课视频共享群 的到QQ 763491846的空间日志查看 另有全部学科的群号 7 参考答案 参考答案 引例引例 1 1 解 C 在以 A 为圆心 以 2 为半径作圆周上 只有当 OC 与圆 A 相切 即到 C 点 时 BOC 最小 AC 2 OA 3 由勾股定理得 OC BOA ACO 90 BOC AOC 90 CAO AOC 90 BOC OAC tan BOC tan OAC 随着 C 的移动 BOC 越来越大 C 在第一象限 C 不到 x 轴点 即 BOC 90 tan BOC 故答案为 m 引例 1 图引例 2 图 引例引例 2 2 2ab 原题原题 2013 武汉模拟 如图 在边长为 1 的等边 OAB 中 以边 AB 为直径作 D 以 O 为圆心 OA 长为半径作圆 O C 为半圆 AB 上不与 A B 重合的一动点 射线 AC 交 O 于点 E BC a AC b 1 求证 AE b a 2 求 a b 的最大值 3 若 m 是关于 x 的方程 x2 ax b2 ab 的一个根 求 m 的取值范围 考点 圆的综合题 分析 1 首先连接 BE 由 OAB 为等边三角形 可得 AOB 60 又由圆周角定理 可求得 E 的度数 又由 AB 为 D 的直径 可求得 CE 的长 继而求得 AE b a 2 首先过点 C 作 CH AB 于 H 在 Rt ABC 中 BC a AC b AB 1 可得 a b 2 a2 b2 2ab 1 2ab 1 2CH AB 1 2CH 1 2AD 1 AB 2 即可求得答案 3 由 x2 ax b2 ab 可得 x b x b a 0 则可求得 x 的值 继而可求得 m 的取值范围 资料下载来源 初中数学精品资料群695237341 黄冈中学资料共享群 761889459 要进 5000G网课视频共享群 的到QQ 763491846的空间日志查看 另有全部学科的群号 8 解答 解 1 连接 BE OAB 为等边三角形 AOB 60 AEB 30 AB 为直径 ACB BCE 90 BC a BE 2a CE a AC b AE b a 2 过点 C 作 CH AB 于 H 在 Rt ABC 中 BC a AC b AB 1 a2 b2 1 S ABC AC BC AB CH AC BC AB CH a b 2 a2 b2 2ab 1 2ab 1 2CH AB 1 2CH 1 2AD 1 AB 2 a b 故 a b 的最大值为 3 x2 ax b2 ab x2 b2 ax ab 0 x b x b a x b 0 x b x b a 0 x b 或 x b a 当 m b 时 m b AC AB 1 0 m 1 当 m b a 时 由 1 知 AE m 又 AB AE 2AO 2 1 m 2 2 m 1 m 的取值范围为 0 m 1 或 2 m 1 点评 此题考查了圆周角定理 等边三角形的性质 完全平方公式的应用以及一元二次方 程的解法 此题难度较大 注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用 引例引例 3 3 解 连接 EP DP 过 P 点作 PM 垂直 DE 于点 M 过 O 做 OF AC 与 F 连接 AO 如图 BAC 60 DPE 120 PE PD PM DE EPM 60 ED 2EM 2EP sin60 EP PA 当 P 与 A O 共线时 且在 O 点右侧时 P 直径 最大 O 与 BAC 两边均相切 且 BAC 60 OAF 30 OF 1 AO 2 AP 2 1 3 DE PA 3 故答案为 D 点评 本题考查了切线的性质中的解决极值问题 解题的关键是找出 DE 与 AP 之间的关 系 再解决切线的性质来解决问题 本题属于中等难度题 难点在于找到 DE 与半径 AP 之 间的关系 只有找到 DE 与 AP 之间的关系 才能说明当 A O P 三点共线时 DE 最大 引例 3 图 例一 斜率运用例一 斜率运用 考点 切线的性质 坐标与图形性质 专题 探究型 分析 设 m n k 则点 P m n 在直线 x y k 上 易得直线 y x k 与 y 轴的交点坐标 为 0 k 于是可判断当直线 y x k 与 A 在上方相切时 k 的值最大 直线 y x k 与 x 轴交于点 C 切 A 于 P 作 PD x 轴于 D AE PD 于 E 连接 AB 如图 则 C k 0 利用直线 y x k 的性质易得 PCD 45 则 PCD 为等腰直角三角形 接着根据切线 长定理和切线的性质得 AB OB AP PC AP AB 1 CP CB k 2 所以四边形 ABDE 为 矩形 APE 45 则 DE AB 1 PE AP 所以 PD PE DE 1 然后在 Rt PCD 中 利用 PC PD 得到 2 k 1 解得 k 1 从而得到 n m 的最大值为 1 解答 解 设 m n k 则点 P m n 在直线 x y k 上 当 x 0 时 y k 即直线 y x k 与 y 轴的交点坐标为 0 k 所以当直线 y x k 与 A 在上方相切时 k 的值最大 资料下载来源 初中数学精品资料群695237341 黄冈中学资料共享群 761889459 要进 5000G网课视频共享群 的到QQ 763491846的空间日志查看 另有全部学科的群号 9 直线 y x k 与 x 轴交于点 C 切 A 于 P 作 PD x 轴于 D AE PD 于 E 连接 AB 如 图 当 y 0 时 x k 0 解得 x k 则 C k 0 直线 y x k 为直线 y x 向上平移 k 个单 位得到 PCD 45 PCD 为等腰直角三角形 CP 和 OB 为 A 的切线 AB OB AP PC AP AB 1 CP CB k 2 四边形 ABDE 为矩形 APE 45 DE AB 1 APE 为等腰直角三角形 PE AP PD PE DE 1 在 Rt PCD 中 PC PD 2 k 1 解得 k 1 n m 的最大值为 1 点评 本题考查了切线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径 运用切线的性质来进行 计算或论证 常通过作辅助线连接圆心和切点 利用垂直构造直角三角形解决有关问题 解 决本题的关键是确定直线 y x k 与 A 相切时 n m 的最大值 例二 圆外一点与圆的最近点 最远点例二 圆外一点与圆的最近点 最远点 1 1 解 作 AB 的中点 E 连接 EM CE 在直角 ABC 中 AB 5 E 是直角 ABC 斜边 AB 上的中点 CE AB M 是 BD 的中点 E 是 AB 的中点 ME AD 1 在 CEM 中 1 CM 1 即 CM 故答案是 CM 2 2 1 2 2 34 3CD 22 13 变式题 变式题 2011 邯郸一模 如图是某种圆形装置的示意图 圆形装置中 O 的直径 AB 5 AB 的不同侧有定点 C 和动点 P tan CAB 其运动过程是 点 P 在弧 AB 上滑 动 过点 C 作 CP 的垂线 与 PB 的延长线交于点 Q 1 当 PC 时 CQ 与 O 相切 此时 CQ 2 当点 P 运动到与点 C 关于 AB 对称时 求 CQ 的长 3 当点 P 运动到弧 AB 的中点时 求 CQ 的长 资料下载来源 初中数学精品资料群695237341 黄冈中学资料共享群 761889459 要进 5000G网课视频共享群 的到QQ 763491846的空间日志查看 另有全部学科的群号 10 考点 切线的性质 圆周角定理 解直角三角形 专题 计算题 分析 1 当 CQ 为圆 O 的切线时 CQ 为圆 O 的切线 此时 CP 为圆的直径 由 CQ 垂 直于直径 CP 得到 CQ 为切线 即可得到 CP 的长 由同弧所对的圆周角相等得到一对角 相等 由已知角的正切值 在直角三角形 CPQ 中 利用锐角三角函数定义即可求出 CQ 的 长 2 当点 P 运动到与点 C 关于 AB 对称时 如图 1 所示 此时 CP AB 于 D 由 AB 为圆 O 的直径 得到 ACB 为直角 在直角三角形 ACB 中 由 tan CAB 与 AB 的长 利用锐角三 角函数定义求出 AC 与 BC 的长 再由三角形 ABC 的面积由两直角边乘积的一半来求 也 利用由斜边乘以斜边上的高 CD 的一半来求 求出 CD 的长 得到 CP 的长 同弧所对的圆 周角相等得到一对角相等 由已知角的正切值 得到 tan CPB 的值 由 CP 的长即可求出 CQ 3 当点 P 运动到弧 AB 的中点时 如图 2 所示 过点 B 作 BE PC 于点 E 由 P 是弧 AB 的中点 得到 PCB 45 得到三角形 EBC 为等腰直角三角形 由 CB 的长 求出 CE 与 BE 的长 在直角三角形 EBP 中 由 CPB CAB 得到 tan CPB tan CAB 利用三角函数定 义求出 PE 的长 由 CP PE 求出 CP 的长 即可求出 CQ 的长 解答 解 1 当 CP 过圆心 O 即 CP 为圆 O 的直径时 CQ 与 O 相切 理由为 PC CQ PC 为圆 O 的直径 CQ 为圆 O 的切线 此时 PC 5 CAB CPQ tan CAB tan CPQ tan CPQ 则 CQ 故答案为 5 2 当点 P 运动到与点 C 关于 AB 对称时 如图 1 所示 此时 CP AB 于 D 图 1图 2 又 AB 为 O 的直径 ACB 90 AB 5 tan CAB BC 4 AC 3 又 S ABC AC BC AB CD AC BC AB CD 即 3 4 5CD CD PC 2CD 在 Rt PCQ 中 PCQ 90 CPQ CAB CQ PCtan CPQ PC CQ 资料下载来源 初中数学精品资料群695237341 黄冈中学资料共享群 761889459 要进 5000G网课视频共享群 的到QQ 763491846的空间日志查看 另有全部学科的群号 11 3 当点 P 运动到弧 AB 的中点时 如图 2 所示 过点 B 作 BE PC 于点 E P 是弧 AB 的中点 PCB 45 CE BE 2 又 CPB CAB tan CPB tan CAB PE BE PC CE PE 2 由 2 得 CQ PC 点评 此题考查了切线的性质 圆周角定理 锐角三角函数定义 勾股定理 以及等腰直 角三角形的判定与性质 熟练掌握切线的性质是解本题的关键 再变式 再变式 如图 3 时 CQ 最长 图 3 例三 正弦定理例三 正弦定理 1 1 解 由垂线段的性质可知 当 AD 为 ABC 的边 BC 上的高时 直径 AD 最短 如图 连接 OE OF 过 O 点作 OH EF 垂足为 H 在 Rt ADB 中 ABC 45 AB 2 AD BD 2 即此时圆的半径为 1 由圆周角定理可知 EOH EOF BAC 60 在 Rt EOH 中 EH OE sin EOH 1 由垂径定理可知 EF 2EH 故答案为 例三 1 答图例三 2 答图 2 2 考点 垂径定理 三角形中位线定理 分析 当 CD AB 时 PM 长最大 连接 OM OC 得出矩形 CPOM 推出 PM OC 求 出 OC 长即可 解答 解 法 如图 当 CD AB 时 PM 长最大 连接 OM OC CD AB CP CD CP AB M 为 CD 中点 OM 过 O OM CD OMC PCD CPO 90 四边形 CPOM 是矩形 PM OC O 直径 AB 8 半径 OC 4 即 PM 4 故答案为 4 法 连接 CO MO 根据 CPO CM0 90 所以 C M O P 四点共圆 且 CO 为 直径 连接 PM 则 PM 为 E 的一条弦 当 PM 为直径时 PM 最大 所以 PM CO 4 时 PM 最大 即 PMmax 4 资料下载来源 初中数学精品资料群695237341 黄冈中学资料共享群 761889459 要进 5000G网课视频共享群 的到QQ 763491846的空间日志查看 另有全部学科的群号 12 点评 本题考查了矩形的判定和性质 垂径定理 平行线的性质的应用 关键是找出符合 条件的 CD 的位置 题目比较好 但是有一定的难度 例四 柯西不等式 配方法例四 柯西不等式 配方法 1 1 过 O 作 OE PD 垂足为 E PD 是 O 的弦 OE PD PE ED 又 CEO ECA OAC 90 四边形 OACE 为矩形 CE OA 2 又 PC x PE ED PC CE x 2 PD 2 x 2 CD PC PD x 2 x 2 x 2x 4 4 x PD CD 2 x 2 4 x 2x2 12x 16 2 x 3 2 2 2 x 4 当 x 3 时 PD CD 的值最大 最大值是 2 第 1 题答图第 2 题答图 2 2 解 如图 分别作 A 与 B 角平分线 交点为 P ACD 和 BCE 都是等边三角形 AP 与 BP 为 CD CE 垂直平分线 又 圆心 O 在 CD CE 垂直平分线上 则交点 P 与圆心 O 重合 即圆心 O 是一个定点 连接 OC 若半径 OC 最短 则 OC AB 又 OAC OBC 30 AB 4 OA OB AC BC 2 在直角 AOC 中 OC AC tan OAC 2 tan30 故选 B 3 解 1 线段 AB 长度的最小值为 4 理由如下 连接 OP AB 切 O 于 P OP AB 取 AB 的中点 C AB 2OC 当 OC OP 时 OC 最短 即 AB 最短 此时 AB 4 故答案为 4 3 题答图 例四 相切的应用 有公共点 最大或最小夹角 例四 相切的应用 有公共点 最大或最小夹角 1 求 CE 最小值 就是求半径 OD 的最小值 2 4 33 3 OA 3 考点 切线的性质 专题 压轴题 资料下载来源 初中数学精品资料群695237341 黄冈中学资料共享群 761889459 要进 5000G网课视频共享群 的到QQ 763491846的空间日志查看 另有全部学科的群号 13 分析 因为 PQ 为切线 所以 OPQ 是 Rt 又 OQ 为定值 所以当 OP 最小时 PQ 最 小 根据垂线段最短 知 OP 3 时 PQ 最小 根据勾股定理得出结论即可 解答 解 PQ 切 O 于点 Q OQP 90 PQ2 OP2 OQ2 而 OQ 2 PQ2 OP2 4 即 PQ 当 OP 最小时 PQ 最小 点 O 到直线 l 的距离为 3 OP 的最小值为 3 PQ 的最小值为 故选 B 点评 此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点 如何确定 PQ 最小时点 P 的位 置是解题的关键 难度中等偏上 例五 其他几何知识的运用例五 其他几何知识的运用 1 解 1 将点 A B 的坐标代入抛物线的解析式得 解得 抛物线得解析式为 y x2 6x 4 2 如图所示 设点 P 的坐标为 P m m2 6m 4 平行四边形的面积为 30 S CBP 15 即 S CBP S 梯形 CEDP S CEB S PBD m 5 m2 6m 4 1 5 5 m 5 m2 6m 5 15 化简得 m2 5m 6 0 解得 m 6 或 m 1 m 0 点 P 的坐标为 6 4 3 连接 AB EB AE 是圆的直径 ABE 90 ABE MBN 又 EAB EMB EAB NMB A 1 1 B 5 1 点 O1的横坐标为 3 将 x 0 代入抛物线的解析式得 y 4 点 C 的坐标为 0 4 设点 O1的坐标为 3 m O1C O1A 解得 m 2 点 O1的坐标为 3 2 O1A 在 Rt ABE 中 由勾股定理得 BE 6 点 E 的坐标为 5 5 AB 4 BE 6 EAB NMB NB 当 MB 为直径时 MB 最大 此时 NB 最大 MB AE 2 NB 3 资料下载来源 初中数学精品资料群695237341 黄冈中学资料共享群 761889459 要进 5000G网课视频共享群 的到QQ 763491846的空间日志查看 另有全部学科的群号 14 2 考点 圆的综合题 专题 综合题 分析 1 连接 OP 设 CD 与 x 轴交于点 F 要证 PE 与 O 相切 只需证 OPE 90 只需证 OPB EPD 90 由 OP OB 可得 OPB OBP FBD 只需证 EPD EDP 只需 证 EP ED 只需利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可解决问题 2 连接 OE 由于 PE CD 要求线段 CD 长的最小值 只需求 PE 长的最小值 在 Rt OPE 中 OP 已知 只需求出 OE 的最小值就可 3 设 O 与 y 轴的正半轴的交点为 Q 由图可知 点 P 从点 Q 向点 B 运动的过程中 点 E 的纵坐标越来越小 而点 P 在点 Q 时 点 E 的纵坐标为 1 由此就可得到 m 的范围 解答 解 1 直线 PE 与 O 相切 证明 连接 OP 设 CD 与 x 轴交于点 F AB 是 O 的直径 APB CPD 90 E 为 CD 的中点 PE CE DE CD EPD EDP OP OB OPB OBP DBF DBF EDB 90 OPB EPD OPE 90 EP OP OP 为 O 的半径 PE 是 O 的切线 2 连接 OE OPE 90 OP 1 PE2 OE2 OP2 OE2 1 当 OE CD 时 OE OF 2 此时 OE 最短 PE2最小值为 3 即 PE 最小值为 PE CD 线段 CD 长的最小值为 2 3 设 O 与 y 轴的正半轴的交点为 Q 由图可知 点 P 从点 Q 向点 B 运动的过程中 点 E 的纵坐标越来越小 当点 P 在点 Q 时 由 PE OP 可得点 E 的纵坐标为 1 点 P 是圆上第一象限内的一个动点 m 的范围为 m 1 点评 本题考查了切线的判定 圆周角定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 勾股定理等知识 利用勾股定理将求 PE 的最小值转化为求 OE 的最小值是解决第 2 小题 的关键 题型训练 题型训练 1 解 连接 OB 如图 1 AB 切 O 于 B OA AC OBA OAC 90 OBP ABP 90 ACP APC 90 OP OB OBP OPB OPB APC ACP ABC AB AC 作出线段 AC 的垂直平分线 MN 作 OE MN 如图 2 OE AC AB 又 圆 O 与直线 MN 有交点 OE r 2r 即 100 r2 4r2 r2 20 r 2 OA 10 直线 l 与 O 相离 资料下载来源 初中数学精品资料群695237341 黄冈中学资料共享群 761889459 要进 5000G网课视频共享群 的到QQ 763491846的空间日志查看 另有全部学科的群号 15 r 10 2 r 10 故答案为 2 r 10 点评 本题考查了等腰三角形的性质和判定 相似三角形的性质和判定 切线的性质 勾 股定理 直线与圆的位置关系等知识点的应用 主要培养学生运用性质进行推理和计算的能 力 本题综合性比较强 有一定的难度 2 原题原题 2004 无锡 已知 如图 Rt ABC 中 B 90 A 30 BC 6cm 点 O 从 A 点出发 沿 AB 以每秒cm 的速度向 B 点方向运动 当点 O 运动了 t 秒 t 0 时 以 O 点为圆心的圆与边 AC 相切于点 D 与边 AB 相交于 E F 两点 过 E 作 EG DE 交射线 BC 于 G 1 若 E 与 B 不重合 问 t 为何值时 BEG 与 DEG 相似 2 问 当 t 在什么范围内时 点 G 在线段 BC 上 当 t 在什么范围内时 点 G 在线段 BC 的延长线上 3 当点 G 在线段 BC 上 不包括端点 B C 时 求四边形 CDEG 的面积 S cm2 关于 时间 t 秒 的函数关系式 并问点 O 运动了几秒钟时 S 取得最大值最大值为多少 考点 切线的性质 二次函数综合题 相似三角形的判定 专题 综合题 压轴题 分类讨论 分析 1 连接 OD DF 那么 OD AC 则 AOD 60 AED 30 由于 DEG 90 因此 BEG 60 因此本题可分两种情况进行讨论 当 EDG 60 DGE 30 时 BGD BGE EGD 60 这样 BGD 和 ACB 相等 那么 G 和 C 重合 当 DGE 60 时 可在直角 AOD 中 根据 A 的度数和 AO 的长表示出 AD 的长 也 就能表示出 CD 的长 由于 A AED 30 那么 AD DE 可在直角 DEG 中 用 AD 的 长表示出 DG 进而根据 DG AB 得出的关于 CD AD DG AB 的比例关系式即可求出 此时 t 的值 2 本题可先求出 BG 的表达式 然后令 BG BC 即可得出 G 在 BC 延长线上时 t 的取 值范围 3 由于四边形 CGED 不是规则的四边形 因此其面积可用 ABC 的面积 ADE 的面积 BEG 的面积来求得 在前两问中已经求得 AD AE BE BG 的表达式 那么就不难得 资料下载来源 初中数学精品资料群695237341 黄冈中学资料共享群 761889459 要进 5000G网课视频共享群 的到QQ 763491846的空间日志查看 另有全部学科的群号 16 出这三个三角形的面积 据此可求出 S t 的函数关系式 根据函数的性质和自变量的取值 范围即可求出 S 的最大值及对应的 t 的值 解答 解 1 连接 OD DF AC 切 O 于点 D OD AC 在 Rt OAD 中 A 30 OA t OD OF t AD OA cosA 又 FOD 90 30 60 AED 30 AD ED DE EG BEG 60 BEG 与 DEG 相似 B GED 90 当 EGD 30 CE 2BE 2 6 t 则 BGD 60 ACB 此时 G 与 C 重合 DE AD CD 12 BE 6 t BEG DEC t 当 EGD 60 DG BC DG AB 在 Rt DEG 中 DEG 90 DE DG t 在 Rt ABC 中 A 30 BC 6 AC 12 AB 6 CD 12 DG AB 解得 t 答 当 t 为 或时 BEG 与 EGD 相似 2 AC 切 O 于点 D OD AC 在 Rt OAD 中 A 30 OA t AED 30 DE EG BEG 60 在 Rt ABC 中 B 90 A 30 BC 6 AB 6 BE 6 t Rt BEG 中 BEG 60 BG BE tan60 18 t 当 0 18 t 6 即 t 4 时 点 G 在线段 BC 上 当 18 t 6 即 0 t 时 点 G 在线段 BC 的延长线上 3 过点 D 作 DM AB 于 M 在 Rt ADM 中 A 30 DM AD t S S ABC S AED S BEG 36 t2 27t t 2 t 4 所以当 t 时 s 取得最大值 最大值为 点评 本题主要考查了直角三角形的性质 切线的性质 相似三角形的判定 图形面积的 求法以及二次函数的综合应用等知识点 3 D 4 解 当 P 点移动到平行于 OA 且与 D 相切时 AOP 面积的最大 如图 P 是 D 的切线 DP 垂直与切线 延长 PD 交 AC 于 M 则 DM AC 资料下载来源 初中数学精品资料群695237341 黄冈中学资料共享群 761889459 要进 5000G网课视频共享群 的到QQ 763491846的空间日志查看 另有全部学科的群号 17 在矩形 ABCD 中 AB 3 BC 4 AC 5 OA AMD ADC 90 DAM CAD ADM ACD AD 4 CD 3 AC 5 DM PM PD DM 1 AOP 的最大面积 OA PM 故选 D 4 题答图 5 题答图 点评 本题考查了圆的切线的性质 矩形的性质 平行线的性质 勾股定理的应用以及三 角形相似的判定和性质 本题的关键是判断出 P 处于什么位置时面积最大 5 解 如图 设 QP 的中点为 F 圆 F 与 AB 的切点为 D 连接 FD CF CD 则 FD AB ACB 90 AC 8 BC 6 AB 10 FC FD PQ FC FD CD 当点 F 在直角 三角形 ABC 的斜边 AB 的高 CD 上时 PQ CD 有最小值 CD BC AC AB 4 8 故选 B 6 2 2 7 解 若 ABE 的面积最小 则 AD 与 C 相切 连接 CD 则 CD AD Rt ACD 中 CD 1 AC OC OA 3 由勾股定理 得 AD 2 S ACD AD CD 易证得 AOE ADC 2 2 即 S AOE S ADC S ABE S AOB S AOE 2 2 2 另解 利用相似三角形的对应边的比相等更简单 故选 C 7 题答图 8 题答图 8 解 当射线 AD 与 C 相切时 ABE 面积的最大 连接 AC AOC ADC 90 AC AC OC CD Rt AOC Rt ADC AD AO 2 连接 CD 设 EF x DE2 EF OE CF 1 DE CDE AOE 资料下载来源 初中数学精品资料群695237341 黄冈中学资料共享群 761889459 要进 5000G网课视频共享群 的到QQ 763491846的空间日志查看 另有全部学科的群号 18 即 解得 x S ABE 故选 B 点评 本题是一个动点问题 考查了切线的性质和三角形面积的计算 解题的关键是确定 当射线 AD 与 C 相切时 ABE 面积的最大 9 解 当 PC AB 时 PQ 的长最短 在直角 ABC 中 AB 4 PC AB 2 PQ 是 C 的切线 CQ PQ 即 CQP 90 PQ 故选 A 点评 本题考查了切线的性质以及勾股定理的运用 注意掌握辅助线的作法 注意当 PC AB 时 线段 PQ 最短是关键 9 题答图 10 题答图 10 解 连接 AO 并延长 与 ED 交于 F 点 与圆 O 交于 P 点 此时线段 ED 最大 连接 OM PD 可得 F 为 ED 的中点 BAC 60 AE AD AED 为等边三角形 AF 为角平分线 即 FAD 30 在 Rt AOM 中 OM 1 OAM 30 OA 2 PD PA AO OP 3 在 Rt PDF 中 FDP 30 PD 3 PF 根据勾股定理得 FD 则 DE 2FD 3 同理可得 DE 的最小值为 2 3 3 2 33 3 3 DE 11 12 13 解 设 P x y PA2 x 1 2 y2 PB2 x 1 15mn 01m 2 y2 PA2 PB2 2x2 2y2 2 2 x2 y2 2 OP2 x2 y2 PA2 PB2 2OP2 2 当点 P 处于 OM 与圆的交点上时 OP 取得最值 OP 的最大值为 OM PM 5 2 7 PA2 PB2最大值为 100 点评 本题考查了圆的综合 解答本题的关键是设出点 P 坐标 将所求代数式的值转化 为求解 OP 的最大值 难度较大 资料下载来源 初中数学精品资料群695237341 黄冈中学资料共享群 761889459 要进 5000G网课视频共享群 的到QQ 763491846的空间日志查看 另有全部学科的群号 19 附 1 如图 直线分别与 x y 轴交于点 A B 以 OB 为直径作 M M 与 直线 AB 的另一个交点为 D 1 求 BAO 的大小 2 求点 D 的坐标 3 过 O D A 三点作抛物线 点 Q 是抛 物线的对称轴 l 上的动点 探求 QO QD 的最大值 考点 一次函数综合题 专题 压轴题 分析 1 根据直线解析式求出点 A B 的坐标 从而得到 OA OB 的长度 再求出 BAO 的正切值 然后根据特殊角的三角函数值求解即可 2 连接 OD 过 D 作 DE OA 于点 E 根据直径所对的圆周角是直角可得 BDO 90 再 根据直角三角形 30 角所对的直角边等于斜边的一半求出 OD 直角三角形两锐角互余求出 DOE 60 然后解直角三角形求出 OE DE 再写出点 D 的坐标即可 3 根据二次函数的对称性可得抛物线的对称轴为 OA 的垂直平分线 再根据三角形的任 意两边之差小于第三边判断出点 Q 为 OD 与对称轴的交点时 QO