初中数学竞赛第二轮专题复习(4)几何

初中数学竞赛第二轮专题复习 4 几何 1 如图 D E分别为ABC的边AB AC上的点 且不与ABC的顶点重 合 已知AE的长为m AC的长为n AD AB的长是关于x的方程的两 个根 证明 C B D E四点共圆 若 A 90 且m 4 n 6 求C B D E所在圆的半径 解 连接DE 根据题意在 ADE和 ACB中 AD AB mn AE AC 即 又 DAE CAB 从而 ADE ACB 因此 ADE ACB 所以C B D E四点共圆 m 4 n 6时 方程x2 14x mn 0的两根为x1 2 x2 12 故AD 2 AB 12 取CE的中点G DB的中点F 分别过G F作AC AB 的垂线 两垂线相交于H点 连接DH 因为C B D E四点共圆 所以C B D E四点所在圆的圆 心为H 半径为DH 由于 A 90 故GH AB HF AC HF AG 5 DF 12 2 5 故C B D E四点所在圆的半径为5 2 在等腰ABC中 顶角 ACB 80 过A B引两直线在ABC内交于一点 O 若 OAB 10 OBA 20 求 ACO的大小 并证明你的结论 解 4分 以为轴翻转到 连接 由知且 为等腰三角形 故 从而知四点共圆 再由知 为等边三 角形 由四点共圆知 又 公共 故 再由 故 从而得证 答题要点 以为轴翻转到 连接 为正三角形 资料下载来源 中考数学复习资料群 797817218 初中数学教师群 95837671 初中数学资料群 638944765 更多1万个QQ群的入口在抖音 微博 全球第一群主 什么群都有 覆盖所有行业所有领域 衡水中学初中资料群 456879477 初中全科资料群 775983524 初中学霸笔记共享群 902911824 初中思维导图共享群 831524442 四点共圆 因为 再由 得证 3 如图 在 ABC中 A 60 AB AC 点O是外心 两条高BE CF交于H点 点M N分别在线段BH HF上 且满足BM CN 求的值 解 在BE上取BK CH 连接OB OC OK 由三角形外心的性质知 BOC 2 A 120 由三角形垂心的性质知 BHC 180 A 120 BOC BHC B C HO四点共圆 OBH OCH OB OC BK CH BOK COH BOK BOC 120 OKH OHK 30 观察 OKH KH OH 又 BM CN BK CH KM NH MH NH MH KM KH OH 4 如图 在凸四边形ABCD中 ABC ADC E F G H分别为AB BD AD CD的中点 求证 E F G H四点共圆 AEF ACB ACD 证明 连结EG EH FG FH GH 则FG BA FH BC 所以 GFH ABC 又因为四边形DGEH为平行四边形 所以 GEH ADC ABC GFH 所以 E F G H四点共圆 因为E F G H四点共圆 资料下载来源 中考数学复习资料群 797817218 初中数学教师群 95837671 初中数学资料群 638944765 更多1万个QQ群的入口在抖音 微博 全球第一群主 什么群都有 覆盖所有行业所有领域 衡水中学初中资料群 456879477 初中全科资料群 775983524 初中学霸笔记共享群 902911824 初中思维导图共享群 831524442 所以 GEF GHF ACB 又EG CD 所以 AEG ACD 故 AEF GEF AEG ACB ACD 平面几何中的几个著名定理 几何学起源于土地测量 几千年来 人们对几何学进行了深 入的研究 现已发展成为一门具有严密的逻辑体系的数学分支 人们从少量的公理出发 经过演绎推理得到不少结论 这些结论 一般就称为定理 平面几何中有不少定理 除了教科书中所阐述 的一些定理外 还有许多著名的定理 以这些定理为基础 可以 推出不少几何事实 得到完美的结论 以至巧妙而简捷地解决不 少问题 而这些定理的证明本身 给我们许多有价值的数学思想 方法 对开阔眼界 活跃思维都颇为有益 有些定理的证明方法 及其引伸出的结论体现了数学的美 使人们感到对这些定理的理 解也可以看作是一种享受 下面我们来介绍一些著名的定理 1 梅内劳斯定理 亚历山大里亚的梅内劳斯 Menelaus 约公元100年 他和斯 巴达的Menelaus是两个人 曾著 球面论 着重讨论球面三角形 的几何性质 以他的名子命名的 梅内劳斯定理 现载在初等几 何和射影几何的书中 是证明点共线的重要定理 定理 一直线与 ABC的三边AB BC CA或延长线分别相交于 X Y Z 则 证 过A B C分别作直线XZY的垂线 设垂足分别为Q P S 见图3 98 由 AXQ BXP得 同理 资料下载来源 中考数学复习资料群 797817218 初中数学教师群 95837671 初中数学资料群 638944765 更多1万个QQ群的入口在抖音 微博 全球第一群主 什么群都有 覆盖所有行业所有领域 衡水中学初中资料群 456879477 初中全科资料群 775983524 初中学霸笔记共享群 902911824 初中思维导图共享群 831524442 将这三式相乘 得 说明 1 如果直线与 ABC的边都不相交 而相交在延长线 上 同样可证得上述结论 但一定要有交点 且交点不在顶点 上 否则定理的结论中的分母出现零 分子也出现零 这时定理 的结论应改为 AX BY CZ XB YC ZA 仍然成立 2 梅内劳斯定理的逆定理也成立 即 在 ABC的边AB和AC 上分别取点X Z 在BC的延长线上取点Y 如果 那么X Y Z共线 梅内劳斯定理的逆定理常被用来证明三点共 线 例1 已知 ABC的内角 B和 C的平分线分别为BE和CF A 的外角平分线与BC的延长线相交于D 求证 D E F共线 证如图3 99有 相乘后得 由梅内劳斯定理的逆定理得F D E共线 资料下载来源 中考数学复习资料群 797817218 初中数学教师群 95837671 初中数学资料群 638944765 更多1万个QQ群的入口在抖音 微博 全球第一群主 什么群都有 覆盖所有行业所有领域 衡水中学初中资料群 456879477 初中全科资料群 775983524 初中学霸笔记共享群 902911824 初中思维导图共享群 831524442 例2 戴沙格定理 在 ABC和 A B C 中 若AA BB CC 相交于一点S 则AB与A B BC与B C AC与A C 的交点F D E共线 证 如图3 100 直线FA B 截 SAB 由梅内劳斯定理有 同理 直线EC A 和DC B 分别截 SAC和 SBC 得 将这三式相乘得 所以D E F共线 2 塞瓦定理 意大利数学家塞瓦 G Ceva 在1678年发表了下面的十分有用 的定理 它是证明共点线的重要定理 定理 在 ABC内任取一点P 直线AP BP CP分别与边BC CA AB相交于D E F 则 资料下载来源 中考数学复习资料群 797817218 初中数学教师群 95837671 初中数学资料群 638944765 更多1万个QQ群的入口在抖音 微博 全球第一群主 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如图3 103 D E F分别在 BC CA AB上 有 BD ccosB DC bcosC CE acosc EA ccosA AF bcosA FB acosB 所以 由塞瓦定理的逆定理得高AD BE CF共点 ii 当 ABC是钝角三角形时 有 BD ccosB DC bcosC CE acosC EA ccos 180 A ccosA AF bcos 180 A bcosA FB acosB 所以 由塞瓦定理的逆定理 得高AD BE CF共点 iii 当 ABC是直角三角形时 高AD BE CF都经过直角顶 点 所以它们共点 例4 在三角形ABC的边上向外作正方形 A1 B1 C1是正方形 的边BC CA AB的对边的中点 证明 直线AA1 BB1 CC1相交于 一点 资料下载来源 中考数学复习资料群 797817218 初中数学教师群 95837671 初中数学资料群 638944765 更多1万个QQ群的入口在抖音 微博 全球第一群主 什么群都有 覆盖所有行业所有领域 衡水中学初中资料群 456879477 初中全科资料群 775983524 初中学霸笔记共享群 902911824 初中思维导图共享群 831524442 证 如图3 104 设直线AA1 BB1 CC1与边BC CA AB的交点 分别为A2 B2 C2 那么BA2 A2C等于从点B和C到边AA1的垂线的长 度之比 即 其中 CBA1 BCA1 同理 将上述三式相乘得 根据塞瓦定理的逆定理 得AA1 BB1 CC1共点 3 斯台沃特定理 定理 ABC的边BC上任取一点D 若BD u DC v AD t 则 资料下载来源 中考数学复习资料群 797817218 初中数学教师群 95837671 初中数学资料群 638944765 更多1万个QQ群的入口在抖音 微博 全球第一群主 什么群都有 覆盖所有行业所有领域 衡水中学初中资料群 456879477 初中全科资料群 775983524 初中学霸笔记共享群 902911824 初中思维导图共享群 831524442 证 过A作AE BC E为垂足 如图3 105 设DE x 则有 AE2 b2 v x 2 c2 u x 2 t2 x2 若E在BC的延长线上 则v x换成x v 于是得 消去x得 u v 2 b2u c2v uv u v 这就是中线长公式 2 当AD是 ABC的内角平分线时 由三角形的内角平分线的 性质 设a b c 2p 得 这就是内角平分线长公式 3 当AD是 ABC的高时 AD2 b2 u2 c2 v2 再由u v a 解得 资料下载来源 中考数学复习资料群 797817218 初中数学教师群 95837671 初中数学资料群 638944765 更多1万个QQ群的入口在抖音 微博 全球第一群主 什么群都有 覆盖所有行业所有领域 衡水中学初中资料群 456879477 初中全科资料群 775983524 初中学霸笔记共享群 902911824 初中思维导图共享群 831524442 所以 若设AD ha 则 这就是三角形的高线长公式 当D在BC的延长线上时 用 v代替 v 同样可得高线长线公式 这就是三角形的面积公式 伦公式 例5 如图3 106 在 ABC中 c b AD是 ABC的角平分 线 E在BC上 BE CD 求证 AE2 AD2 c b 2 证 为方便起见 设BD u DC v 则BE v EC u 由斯台沃特 定理得 所以 资料下载来源 中考数学复习资料群 797817218 初中数学教师群 95837671 初中数学资料群 638944765 更多1万个QQ群的入口在抖音 微博 全球第一群主 什么群都有 覆盖所有行业所有领域 衡水中学初中资料群 456879477 初中全科资料群 775983524 初中学霸笔记共享群 902911824 初中思维导图共享群 831524442 因为AD是角平分线 所以 于是 4 托勒密定理 托勒密 Ptolemy 约公元85 165年 是古代天文学的集大成 者 一般几何教科书中的 托勒密定理 圆内接四边形的对边积 之和等于对角线之积 实出自依巴谷 Hipparchus 之手 托勒密 只是从他的书中摘出 从这个定理可以推出正弦 余弦的和差公 式及一系列的三角恒等式 托勒密定理实质上是关于共圆性的基 本性质 定理 如果四边形内接于圆 那么它的两对对边的乘积之和等 于它的对角线的乘积 证 设四边形ABCD有外接圆O AC和BD相交于P CPD 图3 107 若四边形ABCD的四边都相等 则四边形ABCD为圆内接菱 形 即正方形 结论显然成立 若四边不全相等 不失一般性 设 BD 于是 ABD EDB 从而AD BE 又 资料下载来源 中考数学复习资料群 797817218 初中数学教师群 95837671 初中数学资料群 638944765 更多1万个QQ群的入口在抖音 微博 全球第一群主 什么群都有 覆盖所有行业所有领域 衡水中学初中资料群 456879477 初中全科资料群 775983524 初中学霸笔记共享群 902911824 初中思维导图共享群 831524442 而 S四边形ABCD S四边形BCDE 所以 即 AD BC AB CD sin EBC AC BD sin 由于 DAC ADB DBC EBD EBC 所以 AD BC AB CD AC BD 说明 1 托勒密定理可以作如下推广 在凸四边形ABCD 中 AB CD AD BC AC BD 当且仅当四边形ABCD是圆内接四边形时 等号成立 由此可知 托勒密定理的逆定理也成立 2 托勒密定理的证明方法很多 这里采用的是面积证法 还 可采用相似三角形或余弦定理证明 请读者自行完成 例6 如图3 108 过A的圆截平行四边形ABCD的边和对角线分 别于P Q R 求证 AP AB AQ AD AR AC 证 连结PQ PR QR 在圆内接四边形APRQ中 由托勒密定理得 AP QR AQ PR AR PQ 又因为 1 2 3 4 所以 PQR CAB 于是 设上面的比值为k 并考虑到BC AD 有 资料下载来源 中考数学复习资料群 797817218 初中数学教师群 95837671 初中数学资料群 638944765 更多1万个QQ群的入口在抖音 微博 全球第一群主 什么群都有 覆盖所有行业所有领域 衡水中学初中资料群 456879477 初中全科资料群 775983524 初中学霸笔记共享群 902911824 初中思维导图共享群 831524442 QR k AB PR k AD PQ k CA 于是可推得 AP AB AQ AD AR AC 例7 如图3 109 等边 ABC内接于 XYZ A在YZ上 B在ZX 上 C在XY上 证明 证 对四边形ABXC运用托勒密定理 得 AX BC BX AC XC AB 所以 AX BX XC 同样地 BY CY YA CZ AZ ZB 将上述三式相加就得所要证明的不等式 等号成立的充分必要条件是X Y Z在 ABC的外接圆上 但 ZBX XCY YAZ都等于 因此等号成立只能是X Y Z分 别与C A B