中考数学二轮专题复习(1-8)-通用7-(8)(精品篇)

中考数学专题复习中考数学专题复习六六开放性数学题型及解法探究开放性数学题型及解法探究 近年来 各地中考数学试卷中开放性试题所占的比例逐年增大 不少地区中考数学压轴 题都是由开放性试题当家的 尽管中考开放性试题几乎年年都有新面孔 但仔细析来 不外 乎有以下几种常见题型 1 自编问题型 2 阅读理解型 3 决策运筹型 4 数学建模型 5 方案设计型 6 信息迁移型 7 单一判断型 8 条件存在型 9 题设取舍型 10 探 索结论型 11 过程动态型 12 分类讨论型 以上题型在中考试卷中有时单独成题 有 时多型合题 解答这些开放性数学中考题 不仅要求学生具有厚实的基本功和一定的数学思想方法 而且要求学生具有较强的发散思维能力和创新精神 不过 完整地解答开放性数学中考题也 不是高不可攀的 因为 不同题型的分析思路还是有一定的规律可循的 例 1 2000 年泉州市 写出一个只含有字母 x 的代数式 要求 1 要使此代数式有 意义 字母 x 必须取全体正数 2 此代数式的值恒为负数 解 或 评注自编问题型的答案是丰富多彩的 只要把语言叙述的条件转变为数学表达式即可 例 2 2000 年安徽省 比较下面两列算式结果的大小 在横线上选填 一般结论 如果 a b 是两个实数 那么 a 2 b2 2ab a b 2 0 a2 2ab b2 0 a2 b2 2ab 评注解阅读理解题应 细看 感悟材料的表象 泛想 归纳材料的共性 敢猜 揭示材料的规律 慎证 说明猜想的合理性 例 3 1998 年河北省 某工厂有甲种原料 360 千克 乙种原料 290 千克 计划用这两 种原料生产 A B 两种产品共 50 件 已知生产一件 A 种产品 需用甲种原料 9 千克 乙种原 料 3 千克 可获利润 700 元 生产一件 B 种产品 需用甲种原料 4 千克 乙种原料 10 千克 可获利润 1200 元 1 按要求安排 A B 两种产品的生产件数 有哪几种方案 请你设计出来 2 设生产 A B 两种产品获总利润为 y 元 其中一种产品的生产件数为 x 试写出 y 与 x 之间的函数关系式 并利用函数的性质说明哪种生产方案获总利润最大 最大利润是多 少 解 1 设安排生产 A 种产品 x 件 则生产 B 种产品 50 x 件 由 得 30 x 32 x 为整数 x 取 30 31 或 32 资料下载来源 中考数学复习资料群 797817218 初中数学教师群 95837671 初中数学资料群 638944765 更多1万个QQ群的入口在抖音 微博 全球第一群主 什么群都有 覆盖所有行业所有领域 衡水中学初中资料群 456879477 初中全科资料群 775983524 初中学霸笔记共享群 902911824 初中思维导图共享群 831524442 生产方案有三种 生产 A 种产品 30 件 B 种产品 20 件 生产 A 种产品 31 件 B 种产品 19 件 生产 A 种产品 32 件 B 种产品 18 件 2 依题意得 y 700 x 1200 50 x y 500 x 60000 y 随 x 的增大而减小 当 x 30 时 y 的值最大 即按第一种方案安排生产 所获最大利润为 45000 元 评注这道题集决策运筹 方案设计和数学建模于一身 对于方案 通常不止一套 但 我们应选最佳的 特别是几何图形的设计 更应如此 至于决策题 通常与经济题紧密相联 涉及到函数和不等式 组 等知识 解这类题的关键是建立相应的数学模型 运用数学建模 方法解决实际问题 一般要经过三个环节 实际问题数学问题 算式 方程 不等式 组 函数 解答数学问题回归实际问题 例 4 1999 年扬州市 若函数 y 的自变量 x 取值范围是一切实数 则 c 的取 值范围是 A c 1 B c 1 C c 1 D c 1 解应选 A 评注解答信息迁移型开放题 要在已有知识的基础上 设置一个新的数学情景 根据 引入的新内容 通过类比 转换至似曾相识的问题来解 本题的命题和解题都属信息迁移型 按常规 由 x 2 2x c 0 来求 c 的值 是难以办到的 不过 若将 x2 2x c 0 理解为 当 c 为 何实数时 关于 x 的方程 x 2 2x c 0 无实根 则可得 1 例 5设抛物线 y x 2 m 1 x m 2 与 y 轴相交于点 C 与 x 轴交于 A B 两点 A 在 B 的 左边 O 为坐标原点 以 OA OB 为直径作 O1 O2 且这两个圆外切 1 求 m 的取值 范围 2 这两个圆的半径是否相等 若相等 求出其半径 若不相等 请指出哪一个圆较 大 3 是否存在这样的 m 值 使 OC 2 OA OB 如果存在 判定 ABC 的形状 并证明你的 结论 如果不存在 请说明理由 略解设 A x1 0 B x2 0 x1 X2 则 1 由得 m 2 2 由 x1 x2 m 1 3 0 得两圆半径不等 且以 OA 为直径的圆较大 3 假设存在这样的 m 值 使 OC 2 OA OB 则 m 2 2 m 2 m 3 此时 ABC 是直角三角形 证 COA BOC 即可 评注第 2 题属于单一判断型开放题 由于 单一判断 是非此即彼 所以解答这类 题 只要通过正确计算 或推理 即可得出结论 第 3 题属条件存在型开放题 由于条件存在型开放题的特征是 结出结论 逆向寻求 条件是否存在 所以 一般要用反证法思想解题 第一步假设存在 第二步 根据假设进 行推理 若推理顺畅 即可求出所寻的条件 若出现矛盾 则表明所寻条件不存在 值得注 意的是 近年来 条件存在型问题 在各地中考开放性数学试题中出现的频率最高 例 6在直角梯形 ABCD 中 AD BC B 90 AB 8 厘米 AD 24 厘米 BC 26 厘米 AB 为 O 的直径 动点 P 从点 A 开始沿 AD 边向点 D 以 1 厘米 秒的速度运动 动点 Q 从点 C 资料下载来源 中考数学复习资料群 797817218 初中数学教师群 95837671 初中数学资料群 638944765 更多1万个QQ群的入口在抖音 微博 全球第一群主 什么群都有 覆盖所有行业所有领域 衡水中学初中资料群 456879477 初中全科资料群 775983524 初中学霸笔记共享群 902911824 初中思维导图共享群 831524442 开始沿 CB 边向点 B 以 3 厘米 秒的速度运动 P Q 分别从点 A C 同时出发 当其中一点到达 端点时 另一点也随之停止运动 设运动时间为 t 秒 求 1 t 分别为何值时 四边形 PQCD 为平行四边形 等腰梯形 2 t 分别为何值时 直线 PQ 与 O 相切 相交 相离 解 1 AD BC 只要 QC PD 则可得 平行四边形 PQCD 此时 3t 24 t t 6 即当 t 6 秒时 四边形 PQCD 为平行四边形 PD PC 只要 PQ CD 且 PD QC 四边形 PQCD 即为等腰梯形 如图 2 作 PE BC 于 E DF BC 于 F 则由等腰梯形的性质可知 EF PD QE FC 2 2 3t 24 t t 7 即当 t 7 秒时 四边形 PQCD 为等腰梯形 2 设运动 t 秒时 直线 PQ 与 O 相切于点 F 如图 3 作 PH BC 于 H 则 PH AB 8 BH AP 根据切线长定理可得 PQ PF FQ AP BQ t 26 3t 26 2t 而 PQ 2 PH2 HQ2 26 2t 2 82 26 4t 2 t1 t2 8 即当 t 秒或 t 8 秒时 PQ 与 O 相切 当 t 0 秒时 PQ 与 O 相交 当 t 8秒进 当 Q 运动到 B 点 点 P 尚未运动到点 D 但也停止了运动 此时 PQ 也与 O 相交 当 0 t 秒或 8 t 8秒时 PQ 与 O 相交 当秒 t 8 秒时 直线 PQ 与 O 相离 评注本例是一道典型的过程动态开放题 在全面实施素质教育的今天 倍受中考命题 者的青睐 因为它所强化的数学素养 对学生后续学习意义深远 解决这类问题的关键是分 析运动变化过程 寻找变化中的特殊位置 即 动 中求 静 一般 中见 特殊 再列出特殊位置时的数学表达式 运用分类讨论的思想 各个击破 其实本例第 1 问也是一种结论明显的分类讨论题 但在解隐含性结论 或过程 分类 讨论型开放题时 要首先确定好分类的标准 再行讨论 切切不能重复 不能遗漏 若将本例的第 2 问改为 确定在运动过程中 PQ 与 O 的位置关系 则它就成了一 道探索结论型的开放题 由于需要探索的结论目标不明确 且结论往往不唯一 所以这类题 是开放型数学试题中难度较高的一类 解决这类问题 需要有扎实的基础知识 较强的发散 思维能力 因此 遇到此类题 必须仔细审题 善于运用分析 联想 类比 分类等数学思 想及方法才能解决 其解题的基本策略是 从已知开始 层层演绎推理 后步可用前步的结 论 直至结论被推出 特别重视可能出现的多解情况 至于题设取舍型 顾名思义 即是提供的条件过多 解题时应正确取舍 你能举出这方 面的中考数学开放试题吗 例例 7 7 善于学习的小敏查资料知道 对应角相等 对应边成比例的两个梯形 叫做相似 梯形 他想到 平行于三角形一边的直线和其它两边相交 所构成的三角形与原三角形相似 资料下载来源 中考数学复习资料群 797817218 初中数学教师群 95837671 初中数学资料群 638944765 更多1万个QQ群的入口在抖音 微博 全球第一群主 什么群都有 覆盖所有行业所有领域 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如果梯形 APQD 与梯形 PBCQ 相似 则 8 2 PQ PQBC PQ PQ AD 即 解得 PQ 4 此时 2 1 PQ AD PB AP 又 AB 6 所以 AP 2 所以当 AP 2 且 PQ BC 时 2 1 QC DQ PB AP BC PQ PQ AD 又两梯形 对应角相等 所以梯形 APQD 与梯形 PBCQ 相似 3 对于任意梯形 一定存在平行于梯形底边的直线 PQ 使截得的两个小梯形相似 此 时 BC PQ PQ AD 所以 b a ab a PB AP abPQ故 评注 这类问题建立在已学知识的基础上研究 发现 拓展相似形问题为素材设计的一道 创新型阅读理解题 解答这类阅读理解题的关键是在阅读 理解的基础上 由题中提供的信 息 联系所学知识 运用联想类比 模仿迁移的方法实现信息的迁移 从而掌握符合问题的 条件及其性质的运用 它既能考查学生适应新问题 接受新知识 认识新事物的能力 又能 考查学生的自学能力 信息的收集 迁移和应用能力 例 8如图 把矩形 ABCD 对折 折痕为 MN 图甲 再把 B 点叠在折痕 MN 上的B 处 得到 Rt AB E 图乙 再延长EB 交 AD 于 F 所得到的EAF是 A 等腰三角形B 等边三角形 C 等腰直角三角形D 直角三角形 答案 答案 B 资料下载来源 中考数学复习资料群 797817218 初中数学教师群 95837671 初中数学资料群 638944765 更多1万个QQ群的入口在抖音 微博 全球第一群主 什么群都有 覆盖所有行业所有领域 衡水中学初中资料群 456879477 初中全科资料群 775983524 初中学霸笔记共享群 902911824 初中思维导图共享群 831524442 1 如果我们无法改变我们的经济情况 不妨宽恕自己 2 零星的时间 如果能敏捷地加以利用 可成为完整的时间 所谓 积土成山 是也 失去一日甚易 欲得回已无途 3 行为胜于言论 对人微笑就是向人表明 我喜欢你 你使我快乐 我喜欢见到你 4 多数人的毛病是 当机会冲奔而来时 他们兀自闭着眼睛 很少人能够去追寻自己的机会 甚至在绊倒时 还不能见着它 5 令多数人感到烦恼的 并不是他们没有足够的钱 而是不知道如何支配手中已有的钱 6 切勿模仿他人 发现自我 保持自我本色吧 7 人格须平等 沟通善倾听 8 人各有其能 何须仿他人 9 人一但被别人否定的时候 就象刺猬一样竖起全身的尖刺不予接受 10 世上人人都在寻找快乐 但是只有一个确实有效的方法 那就是控制你的思想 快乐不在乎外界的情况 而是依靠内心的情况 11 尽量在舒适的情况下工作 记住 身体的紧张会制造肩痛和精神疲劳 13 人在身处逆境时 适应环境的能力实在惊人 人可以忍受不幸 也可以战胜不幸 因为人有着惊人的潜力 只要立志发挥它 就一定能渡过难关 14 我们若已接受最坏的 就再没有什么损失 15 一个不注意小事情的人 永远不会成就大事业 16 一种简单 明显 最重要的获得好感的方法 那就是记住他人的姓名 使他人感觉对于别人很重要 30 宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来 无名 31 老骥伏枥 志在