2018中考数学题型专项研究12讲：2018中考数学题型专项研究第2讲：方程（组）的解法

更多资料见微信公众号：数学第六感；小编微信：AA-teacher第2讲方程（组）的解法1解一元一次方程2解二元一次方程组3解一元二次方程4解分式方程1去分母时，容易出现漏项或者是两边所乘的不是最简公分母2去括号时，如果括号前是负因数，容易出现部分变号错误3移项时，对“被移动的项”理解错误，导致该变号的不变，不该变号的变了号4化系数为1时，两边同时除以未知数的系数，容易把该系数写到分子上消元：代入消元、加减消元降次：直接开方、因式分解近几年直接考查解方程(组)题目较少，但方程(组)是解决实际问题的有效工具，所以能够准确解方程(组)就显得尤为重要1一元一次方程的解法是解方程(组)的基础，而这类方程的解法又分为两类：移项、合并同类项、化系数为12一元二次方程的解法较多，所以要掌握各类方法的特征：(1)因式分解法较为常用(判别式能够开方开尽的基本可以进行因式分解)，最终要整理为乘积为0的形式只有二次项和一次项的通常考虑提公因式；只有二次项和常数项的通常考虑平方差公式；暂时无法分解因式时可以先考虑打开括号，整理后再做观察(2)直接开平方法，能够直接实现降次目的，但比较局限，只针对能够整理成完全平方式等于非负数的题型(3)配方法的目的是实现直接开平方；配方时要首先化二次项系数为1，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方(4)求根公式法较为通用，只要b24ac0，均可把a，b，c代入x求解应用此法首先要把方程整理为ax2bxc0(a0)的形式3解分式方程目标是化分式方程为整式方程，首先要找到各分母的最简公分母，其次不要出现漏项，最后一定要记得检验求得的根是否是增根4解二元一次方程组的目标是消元，代入消元法是通用法，但通常只针对其中一个未知数的系数较为简单时，否则会导致计算困难；加减消元法关键看相同未知数的系数特征决定，要注意两式加减时的符号问题【典例解析】【例题1】（2017湖南岳阳）我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等第一次他们领来这批书的，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包，那么这批书共有多少本？【分析】设这批书共有3x本，根据每包书的数目相等即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论【解答】解：设这批书共有3x本，根据题意得： =，解得：x=500，3x=1500答：这批书共有500本【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据每包书的数目相等列出关于x的一元一次方程是解题的关键【例题2】（2017毕节）某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同（1）求这种笔和本子的单价；（2）该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔和本子，计划100元刚好用完，并且笔和本子都买，请列出所有购买方案【考点】B7：分式方程的应用；95：二元一次方程的应用【分析】（1）首先设这种笔单价为x元，则本子单价为（x4）元，根据题意可得等量关系：30元买这种本子的数量=50元买这种笔的数量，由等量关系可得方程=，再解方程可得答案；（2）设恰好用完100元，可购买这种笔m支和购买本子n本，根据题意可得这种笔的单价这种笔的支数m+本子的单价本子的本数n=1000，再求出整数解即可【解答】解：（1）设这种笔单价为x元，则本子单价为（x4）元，由题意得：=，解得：x=10，经检验：x=10是原分式方程的解，则x4=6答：这种笔单价为10元，则本子单价为6元；（2）设恰好用完100元，可购买这种笔m支和购买本子n本，由题意得：10m+6n=100，整理得：m=10n，m、n都是正整数，n=5时，m=7，n=10时，m=4，n=15，m=1；有三种方案：购买这种笔7支，购买本子5本；购买这种笔4支，购买本子10本；购买这种笔1支，购买本子15本【例题3】（2017宁德）小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的写出题中被墨水污染的条件，并求解这道应用题【考点】9A：二元一次方程组的应用【专题】12 ：应用题【分析】被污染的条件为：同样的空调每台优惠400元，设“五一”前同样的电视每台x元，空调每台y元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果【解答】解：被污染的条件为：同样的空调每台优惠400元，设“五一”前同样的电视每台x元，空调每台y元，根据题意得：，解得：，则“五一”前同样的电视每台2500元，空调每台3000元【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键【例题4】(2017湖北宜昌)某市总预算a亿元用三年时间建成一条轨道交通线轨道交通线由线路敷设、搬迁安置、辅助配套三项工程组成从2015年开始，市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数额的投资2015年年初，对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍随后两年，线路敷设投资每年都增加b亿元，预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如期完工；搬迁安置投资从2016年初开始遂年按同一百分数递减，依此规律，在 2017年年初只需投资5亿元，即可顺利如期完工；辅助配套工程在2016年年初的投资在前一年基础上的增长率是线路敷设2016年投资增长率的1.5倍，2017年年初的投资比该项工程前两年投资的总和还多4亿元，若这样，辅助配套工程也可以如期完工经测算，这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3：2（1）这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元？（2）市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元？（3）求搬迁安置投资逐年递减的百分数【考点】AD：一元二次方程的应用；B7：分式方程的应用【分析】（1）由线路敷设三年总投资为54亿元及这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3：2，可得答案（2）设2015年年初，对辅助配套的投资为x亿元，则线路敷设的投资为2x亿元，搬迁安置的投资是4x亿元，根据“线路敷设三年总投资为54亿元、辅助配套三年的总投资为36亿元”列方程组，解之求得x、b的值可得答案（3）由x=5得出2015年初搬迁安置的投资为20亿元，设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分数为y，根据“2017年年初搬迁安置的为投资5亿”列方程求解可得【解答】解：（1）三年用于辅助配套的投资将达到54=36（亿元）；（2）设2015年年初，对辅助配套的投资为x亿元，则线路敷设的投资为2x亿元，搬迁安置的投资是4x亿元，根据题意，得：，解得：，市政府2015年年初对三项工程的总投资是7x=35亿元；（3）由x=5得，2015年初搬迁安置的投资为20亿元，设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分数为y，由题意，得：20（1y）2=5，解得：y1=0.5，y2=1.5（舍）答：搬迁安置投资逐年递减的百分数为50%【专项训练】一、选择题：1. （2017深圳）一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x双，列出方程（）A10%x=330B（110%）x=330C（110%）2x=330D（1+10%）x=330【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程【分析】设上个月卖出x双，等量关系是：上个月卖出的双数（1+10%）=现在卖出的双数，依此列出方程即可【解答】解：设上个月卖出x双，根据题意得（1+10%）x=330故选D2. （2017山东滨州）某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（）A22x=16（27x）B16x=22（27x）C216x=22（27x）D222x=16（27x）【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程【分析】设分配x名工人生产螺栓，则（27x）名生产螺母，根据每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，可得出方程【解答】解：设分配x名工人生产螺栓，则（27x）名生产螺母，一个螺栓套两个螺母，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，可得222x=16（27x）故选D3. （2017黑龙江佳木斯）“双11”促销活动中，小芳的妈妈计划用1000元在唯品会购买价格分别为80元和120元的两种商品，则可供小芳妈妈选择的购买方案有（）A4种B5种C6种D7种【考点】95：二元一次方程的应用【分析】设购买80元的商品数量为x，购买120元的商品数量为y，根据总费用是1000元列出方程，求得正整数x、y的值即可【解答】解：设购买80元的商品数量为x，购买120元的商品数量为y，依题意得：80x+120y=1000，整理，得y=因为x是正整数，所以当x=2时，y=7当x=5时，y=5当x=8时，y=3当x=11时，y=1即有4种购买方案故选：A4. （2017四川眉山）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则a2b的值是（）A2B2C3D3【考点】97：二元一次方程组的解【分析】把代入方程组，得出关于a、b的方程组，求出方程组的解即可【解答】解：把代入方程组得：，解得：，所以a2b=2（）=2，故选B5. （2017甘肃张掖）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A（322x）（20x）=570B32x+220x=3220570C（32x）（20x）=3220570D32x+220x2x2=570【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程【解答】解：设道路的宽为xm，根据题意得：（322x）（20x）=570，故选：A二、填空题：6. （2017乌鲁木齐）一件衣服售价为200元，六折销售，仍可获利20%，则这件衣服的进价是100元【考点】8A：一元一次方程的应用【分析】此题的等量关系：实际售价=标价的六折=进价（1+获利率），设未知数，列方程求解即可【解答】解：设进价是x元，则（1+20%）x=2000.6，解得：x=100则这件衬衣的进价是100元故答案为1007. （2017湖北江汉）“六一”前夕，市关工委准备为希望小学购进图书和文具若干套，已知1套文具和3套图书需104元，3套文具和2套图书需116元，则1套文具和1套图书需48元【考点】9A：二元一次方程组的应用【分析】设1套文具的价格为x元，一套图书的价格为y元，根据“1套文具和3套图书需104元，3套文具和2套图书需116元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，将其代入x+y中，即可得出结论【解答】解：设1套文具的价格为x元，一套图书的价格为y元，根据题意得：，解得：，x+y=20+28=48故答案为：488. （2017黑龙江）原价100元的某商品，连续两次降价后售价为81元，若每次降低的百分率相同，则降低的百分率为10%【考点】AD：一元二次方程的应用【分析】先设平均每次降价的百分率为x，得出第一次降价后的售价是原来的（1x），第二次降价后的售价是原来的（1x）2，再根据题意列出方程解答即可【解答】解：设这两次的百分率是x，根据题意列方程得100（1x）2=81，解得x1=0.1=10%，x2=1.9（不符合题意，舍去）答：这两次的百分率是10%故答案为：10%【点评】本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1x）2=b9. （2017湖南岳阳）在ABC中BC=2，AB=2，AC=b，且关于x的方程x24x+b=0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为2【分析】由根的判别式求出AC=b=4，由勾股定理的逆定理证出ABC是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论【解答】解：关于x的方程x24x+b=0有两个相等的实数根，=164b=0，AC=b=4，BC=2，AB=2，BC2+AB2=AC2，ABC是直角三角形，AC是斜边，AC边上的中线长=AC=2；故答案为：2【点评】本题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质；证明ABC是直角三角形是解决问题的关键10. （2017甘肃张掖）若关于x的一元二次方程（k1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是k5且k1【考点】AA：根的判别式【分析】根据一元二次方程有实数根可得k10，且b24ac=164（k1）0，解之即可【解答】解：一元二次方程（k1）x2+4x+1=0有实数根，k10，且b24ac=164（k1）0，解得：k5且k1，故答案为：k5且k1三、解答题：1. （2017广西）某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，积分超过15分才能获得参赛资格（1）已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；（2）如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？【考点】C9：一元一次不等式的应用；8A：一元一次方程的应用【分析】（1）设甲队胜了x场，则负了（10x）场，根据每队胜一场得2分，负一场得1分，利用甲队在初赛阶段的积分为18分，进而得出等式求出答案；（2）设乙队在初赛阶段胜a场，根据积分超过15分才能获得参赛资格，进而得出答案【解答】解：（1）设甲队胜了x场，则负了（10x）场，根据题意可得：2x+10x=18，解得：x=8，则10x=2，答：甲队胜了8场，则负了2场；（2）设乙队在初赛阶段胜a场，根据题意可得：2a+（10a）15，解得：a5，答：乙队在初赛阶段至少要胜5场2. （2017哈尔滨）威丽商场销售A，B两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元（1）求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元；（2）由于需求量大，A、B两种商品很快售完，威丽商场决定再一次购进A、B两种商品共34件如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么威丽商场至少需购进多少件A种商品？【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用【分析】（1）设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y元由售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元建立两个方程，构成方程组求出其解就可以；（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（34a）件根据获得的利润不低于4000元，建立不等式求出其解就可以了【解答】解：（1）设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y元由题意，得，解得：答：A种商品售出后所得利润为200元，B种商品售出后所得利润为100元（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（34a）件由题意，得200a+100（34a）4000，解得：a6答：威丽商场至少需购进6件A种商品3. （2017四川眉山）东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？【考点】AD：一元二次方程的应用【分析】（1）根据生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元，即可求出每件利润为14元的蛋糕属第几档次产品；（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据单件利润销售数量=总利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论【解答】解：（1）（1410）2+1=3（档次）答：此批次蛋糕属第3档次产品（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据题意得：（2x+8）（76+44x）=1080，整理得：x216x+55=0，解得：x1=5，x2=11答：该烘焙店生产的是第5档次或第11