高中数学 第二章 空间向量与立体几何 习题课 空间向量在空间问题中的综合应用课件 北师大版选修21.ppt

习题课 空间向量在空间问题中的综合应用 1 利用空间向量求两点间距离设a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 为空间中任意两点 2 利用空间向量解决探索性问题立体几何探索性问题是近几年高考和各地模拟考试中的热点题型 空间向量作为一种工具 在解决立体几何探索性问题中有着无比的优越性 运用空间向量法解题 可使几何问题代数化 大大简化思维程序 使解题思路直观明了 空间中的探索性问题一般有以下两种类型 1 条件探索型 就是指给出了问题的明确结论 但条件不足或未知 需要解题者探求 寻找使结论成立的条件的一类问题 这类问题的常用解法是逆推法 利用结论探求条件 2 存在型 是指结论不确定的问题 即在数学命题中 结论常以 是否存在 的形式出现 其结果可能存在 需要找出来 可能不存在 则需要说明理由 解答这一类问题时 先假设结论存在 若推证无矛盾 则结论存在 若推证出矛盾 则结论不存在 做一做1 已知空间两点a b的坐标分别为 1 1 1 2 2 2 则a b两点的距离为 做一做2 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 下面结论错误的是 a bd 平面cb1d1b ac1 bdc ac1 平面cb1d1 解析 以d为原点 da dc dd1分别为x y z轴建立空间直角坐标系 不妨设正方体的棱长为1 则有a 1 0 0 b 1 1 0 c 0 1 0 d 0 0 0 a1 1 0 1 b1 1 1 1 c1 0 1 1 d1 0 0 1 答案 d 做一做3 如图 设动点p在棱长为1的正方体abcd a1b1c1d1的对角线bd1上 记 则当 apc为钝角时 实数 的取值范围是 解析 由题意 建立如图所示的空间直角坐标系d xyz 则a 1 0 0 b 1 1 0 c 0 1 0 d1 0 0 1 探究一 探究二 规范解答 利用空间向量求空间中两点间距离 例1 如图 已知矩形abcd中 ab 4 ad 3 沿对角线ac折叠 使平面abc与平面adc垂直 求点b d间的距离 思维点拨 本题可利用向量法求解 两种思路 一种是用基向量表示 另一种用坐标表示 探究一 探究二 规范解答 解 方法一 过点d和b分别作de ac于e bf ac于f 则由已知条件可知ac 5 探究一 探究二 规范解答 方法二 过点d作de ac于点e 过点b作bf ac于点f 过点e作fb的平行线ep 以e为坐标原点 ep ec ed所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 如图所示 探究一 探究二 规范解答 反思感悟利用空间向量求空间两点距离的基本方法 1 坐标法 建立空间直角坐标系 得出两个点的坐标 然后根据两点距离公式求解 2 向量分解法 将两点所对应向量用基向量表示 然后利用公式 a 求解 探究一 探究二 规范解答 变式训练1如图 60 的二面角的棱上有a b两点 直线ac bd分别在两个半平面内 且都垂直于ab 若 ab 1 ac 2 bd 3 求cd的长度 分析 本题中的图形不适合建立空间直角坐标系 因此可通过向量分解的方法 利用公式 a 求解 探究一 探究二 规范解答 探究一 探究二 规范解答 利用空间向量解决空间中的探索性问题 例2 在四棱锥p abcd中 abcd是菱形 abc 60 pa ac a pb pd a 点e在pd上 且pe ed 2 1 在pc上是否存在一点f 使bf 平面aec 并证明你的结论 思维点拨 首先假设存在 然后再根据bf 平面aec 结合线面平行的条件进行推理 探究一 探究二 规范解答 解 pa ac a abc 60 ab ad a 又 pb pd a pa ab pa ad pa 平面abcd 如图 以a为坐标原点 ad ap所在直线分别为y轴 z轴 过点a垂直于平面pad的直线为x轴 建立空间直角坐标系 探究一 探究二 规范解答 探究一 探究二 规范解答 反思感悟解决这类探索性问题的基本策略是 假定题中的数学对象存在 或结论成立 或暂且认可其中的一部分结论 然后在这个前提下进行逻辑推理 若由此导出矛盾 则否定假设 否则 给出肯定结论 其中反证法在解题中起着重要的作用 探究一 探究二 规范解答 变式训练2如图 在五面体abcdef中 fa 平面abcd ad bc fe ab ad af ab bc fe ad 1 求异面直线bf与de所成角的余弦值 2 在线段ce上是否存在点m 使得直线am与平面cde所成角的正弦值为 若存在 试确定点m的位置 若不存在 请说明理由 探究一 探究二 规范解答 解 建立如图所示的空间直角坐标系 不妨设ab 1 则b 1 0 0 c 1 1 0 d 0 3 0 f 0 0 1 e 0 1 1 探究一 探究二 规范解答 2 设平面cde的法向量为n x y z 探究一 探究二 规范解答 利用空间向量解决空间的综合问题 典例 如图 直棱柱abc a1b1c1中 d e分别是ab bb1的中点 aa1 ac cb ab 1 证明 bc1 平面a1cd 2 求平面a1cd与平面a1ce的夹角的正弦值 审题策略第一问可借助线面平行的判定定理证明 第二问应建立直角坐标系 利用向量方法进行求解 探究一 探究二 规范解答 规范展示 1 连接ac1 交a1c于点f 连接df 则f为ac1的中点 又因为d是ab的中点 所以df bc1 又因为df 平面a1cd bc1 平面a1cd 故bc1 平面a1cd 所以ac bc 又因为abc a1b1c1是直三棱柱 故可建立如图所示的空间直角坐标系 探究一 探究二 规范解答 探究一 探究二 规范解答 答题模板第1步 证明线线平行 第2步 证得线面平行 第3步 建立空间直角坐标系 第4步 设点 求出向量坐标 第5步 用待定系数法求法向量坐标 第6步 利用向量的夹角公式求两个法向量的夹角的余弦值 进而求得正弦值 探究一 探究二 规范解答 失误警示通过阅卷统计分析 失分主要出现在第 2 问 造成失分的原因是 1 不能利用三角形中的边长关系找到垂直的条件 从而不能恰当地建立空间直角坐标系 2 不能利用中点公式正确地求出相关点的坐标 3 待定系数法求法向量的方法与步骤不熟练 导致法向量坐标求错 4 不能利用三角函数的知识把向量夹角的余弦值转化为两平面夹角的正弦值 探究一 探究二 规范解答 变式训练如图 在多面体abcdef中 正方形adef与梯形abcd所在平面互相垂直 ab cd ad cd ab ad 1 cd 2 m n分别为ec和bd的中点 1 求证 bc 平面bde 2 求直线mn与平面bmc所成的角的正弦值 1 证明 在梯形abcd中 取cd中点h 连接bh 因为ad ab ab cd ad cd 所以四边形adhb为正方形 又bd2 ad2 ab2 2 bc2 hc2 hb2 2 所以cd2 bd2 bc2 所以bc bd 又平面adef 平面abcd 平面adef 平面abcd ad de ad 所以de 平面abcd 所以bc de 又bd de d 故bc 平面bde 探究一 探究二 规范解答 2 解 由 1 知cd 平面abcd ad cd 所以de da dc两两垂直 以d为坐标原点建立如图所示直角坐标系d xyz 12345 1 在四面体p abc中 pa pb pc两两垂直 m是面abc内一点 且m到其他三面的距离分别是2 3 6 则m到顶点p的距离是 a 7b 8c 9d 10解析 以p为原点 pa pb pc所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 由已知m 2 3 6 所以 mp 7 答案 a 12345 2 在如图所示的几何体中 三棱锥d abc的各条棱长均为2 oa ob oc两两垂直 则下列说法正确的是 a oa ob oc的长度可以不相等b 直线ob 平面acdc 直线od与bc所成的角是45 d 直线ad与ob所成的角是45 12345 解析 三棱锥d abc的各条棱长均为2 oa ob oc两两垂直 所以oa ob oc 排除a 如图 建立空间直角坐标系 答案 d 12345 3 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 底面是以 abc为直角的等腰三角形 ac 2a bb1 3a d是a1c1的中点 点e在棱aa1上 要使ce 平面b1de 则ae 12345 解析 建立如图所示的空间直角坐标系 解得z a或z 2a 即ae a或ae 2a 答案 a或2a 12345 4 已知正方体abcd a1b1c1d1 求证 1 ad1 平面bdc1 2 a1c 平面bdc1 证明 以d为坐标原点 建立如图所示空间直角坐标系d xyz 设正方体的棱长为1 则有d 0 0 0 a 1 0 0 d1 0 0 1 a1 1 0 1 c 0 1 0 b 1 1 0 c1 0 1 1 令x 1 则n 1 1 1 12345 12345 5 导学号90074049如图 在几何体abcde中 正方形abcd的边长为2 ae 平面cde ae 1 1 求证 平面abcd 平面ade 2 设点f是棱bc上一点 若平面ade与平面def的夹角的余弦值为 解 1 ae 平