高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆的标准方程课件 苏教版选修11.ppt

2 2 1椭圆的标准方程 第2章 2 2椭圆 1 掌握椭圆的标准方程 2 会求椭圆的标准方程 3 能用标准方程判断曲线是否是椭圆 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 把平面内与两个定点f1 f2的距离的和等于的点的轨迹叫做椭圆 这两个叫做椭圆的焦点 叫做椭圆的焦距 知识点一椭圆的定义 两焦点间 常数 大于f1f2 定点f1 f2 的距离 思考1在椭圆方程中 a b以及参数c有什么几何意义 它们满足什么关系 知识点二椭圆的标准方程 在椭圆方程中 a表示椭圆上的点m到两焦点间的距离之和的一半 可借助图形帮助记忆 a b c 都是正数 恰构成一个直角三角形的三条边 a是斜边 c是焦距的一半 叫半焦距 a b c始终满足关系式a2 b2 c2 答案 思考2怎样由椭圆的标准方程判断椭圆焦点所在的坐标轴 谁的分母大焦点在谁轴上 答案 梳理椭圆的标准方程 c 0 与 c 0 0 c 与 0 c c2 a2 b2 题型探究 例1求适合下列条件的椭圆的标准方程 类型一椭圆的标准方程 命题角度1求椭圆的标准方程 解答 这与a b相矛盾 故应舍去 方法二设椭圆的标准方程为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 解答 2a 12 即a 6 c 4 b2 a2 c2 62 42 20 解得 11或 21 舍去 求椭圆标准方程的方法 1 定义法即根据椭圆的定义 判断出轨迹是椭圆 然后写出其方程 2 待定系数法 先确定焦点位置 设出方程 寻求a b c的等量关系 求a b的值 代入所设方程 特别提醒 若椭圆的焦点位置不确定 需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论 也可设椭圆方程为mx2 ny2 1 m n m 0 n 0 反思与感悟 跟踪训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 两个焦点的坐标分别是 0 2 0 2 并且椭圆经过点 解答 椭圆的焦点在y轴上 2 焦点在y轴上 且经过两个点 0 2 和 1 0 解答 椭圆的焦点在y轴上 又椭圆经过点 0 2 和 1 0 解答 设椭圆的方程为mx2 ny2 1 m 0 n 0 且m n 命题角度2由标准方程求参数 或其取值范围 0 m 1 答案 解析 1 利用椭圆方程解题时 一般首先要化成标准形式 反思与感悟 答案 解析 7 10 解得7 k 10 答案 解析 3或5 当焦点在x轴上时 a2 4 b2 m 由2c 2 得c 1 4 m 1 m 3 当焦点在y轴上时 a2 m b2 4 由2c 2 得c 1 m 4 1 则m 5 综上可知 m 3或5 例3如图 p为圆b x 2 2 y2 36上一动点 点a坐标为 2 0 线段ap的垂直平分线交直线bp于点q 求点q的轨迹方程 命题角度1由椭圆的定义确定轨迹方程 解答 类型二椭圆定义的应用 直线ap的垂直平分线交直线bp于点q aq pq aq bq pq bq 6 ab 4 点q的轨迹为以a b为焦点的椭圆 且2a 6 2c 4 a 3 c 2 即b2 a2 c2 5 用定义法求椭圆的方程 首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值 然后判断椭圆的中心是否在原点 对称轴是否为坐标轴 最后由定义得出椭圆的基本量a b c 反思与感悟 跟踪训练3已知圆a x 3 2 y2 100 圆a内一定点b 3 0 圆p过点b且与圆a内切 求圆心p的轨迹方程 解答 如图 设圆p的半径为r 又圆p过点b pb r 又 圆p与圆a内切 圆a的半径为10 两圆的圆心距为pa 10 r 即pa pb 10 大于ab 6 圆心p的轨迹是以a b为焦点的椭圆 2a 10 2c ab 6 a 5 c 3 b2 a2 c2 25 9 16 命题角度2椭圆中的焦点三角形 解答 又 p在椭圆上 式两边平方 得 引申探究在本例中 若图中的直线pf1与椭圆相交于另一点b 连结bf2 其他条件不变 求 bpf2的周长 解答 由椭圆的定义 可得 bpf2的周长为pb pf2 bf2 pf1 pf2 bf1 bf2 1 对于求焦点三角形的面积 结合椭圆定义 建立关于pf1 或pf2 的方程求得pf1 或pf2 有时把pf1 pf2看成一个整体 运用公式pf pf pf1 pf2 2 2pf1 pf2及余弦定理求出pf1 pf2 而无需单独求出 这样可以减少运算量 反思与感悟 解答 当 pf2f1 90 时 当 f1pf2 90 时 同理求得pf1 4 pf2 2 当堂训练 1 已知椭圆4x2 ky2 4的一个焦点坐标是 0 1 则实数k的值是 2 1 2 3 4 5 答案 解析 2 在椭圆的标准方程中 a 6 b 则椭圆的标准方程是 1 2 3 4 5 答案 3 若 abc的两个顶点坐标分别为a 4 0 b 4 0 abc的周长为18 则顶点c的轨迹方程为 1 2 3 4 5 由题意知 顶点c到两个定点a b的距离之和为定值10 且大于两定点间的距离 因此顶点c的轨迹为椭圆 并且2a 10 所以a 5 因为2c 8 所以c 4 所以b2 a2 c2 9 又a b c三点构成三角形 所以y 0 答案 解析 4 m n 0 是 方程mx2 ny2 1表示焦点在y轴上的椭圆 的 条件 充要 答案 解析 1 2 3 4 5 5 设p是椭圆上一点 p到两焦点f1 f2的距离之差为2 则 pf1f2的面积是 1 2 3 4 5 答案 解析 6 由椭圆定义知 pf1 pf2 2a 8 不妨设pf1 pf2 pf1 pf2 2 pf1 5 pf2 3 又 f1f2 2c 4 pf1f2为直角三角形 1 对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法 可以通过待定系数法求解 也可以通