高考数学二轮复习 第二部分 高考22题各个击破 专题七 解析几何 7.3.1 直线与圆及圆锥曲线课件 文.ppt

7 3 压轴大题2 直线与圆锥曲线 2 3 4 5 6 1 椭圆 双曲线中a b c e之间的关系 7 2 求解圆锥曲线标准方程的方法是 先定型 后计算 1 定型 就是指定类型 也就是确定圆锥曲线的焦点位置 从而设出标准方程 2 计算 就是利用待定系数法求出方程中的a2 b2或p 另外 当焦点位置无法确定时 椭圆常设为mx2 ny2 1 m 0 n 0 双曲线常设为mx2 ny2 1 mn 0 抛物线常设为y2 2ax或x2 2ay a 0 3 椭圆与双曲线的方程形式上可统一为ax2 by2 1 其中a b是不相等的常数 当a b 0时 表示焦点在y轴上的椭圆 当b a 0时 表示焦点在x轴上的椭圆 当ab 0时 表示双曲线 8 4 直线与圆锥曲线位置关系与 的关系 设直线l ax by c 0 圆锥曲线c f x y 0 由消去y 或消去x 得ax2 bx c 0 若a 0 b2 4ac 则 0 相交 0 相离 0 相切 若a 0 得到一个一次方程 则 c为双曲线时 则l与双曲线的渐近线平行 c为抛物线时 则l与抛物线的对称轴平行 5 直线与圆锥曲线相交时的弦长设而不求 根据根与系数的关系进行整体代入 即斜率为k的直线与圆锥曲线交于点a x1 y1 b x2 y2 时 9 6 通径 过椭圆 双曲线 抛物线的焦点垂直于焦点所在坐标轴的弦称为通径 椭圆与双曲线的通径长为 过椭圆及双曲线焦点的弦中通径最短 抛物线通径长是2p 过抛物线焦点的弦中通径最短 椭圆上点到焦点的最长距离为a c 最短距离为a c 7 弦ab的中点与直线ab斜率的关系 10 11 8 定值 定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量 那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程 数量积 比例关系等 这些直线方程 数量积 比例关系不受变化的量所影响的一个点 就是要求的定点 解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程 数量积 比例关系等 根据等式的恒成立 数式变换等寻找不受参数影响的量 9 点在圆锥曲线内部或外部的充要条件 7 3 1直线与圆及圆锥曲线 13 考向一 考向二 考向三 求轨迹方程 难点突破 1 利用ac是直径 所以ba bc 或c b均在坐标原点 由此求点c轨迹e的方程 2 设直线ac的方程为y kx 2 由得x2 8kx 16 0 利用根与系数的关系及导数的几何意义 证明qc pq 即可证明结论 解题策略一直接法例1 2017湖南长沙一模 文20 已知过点a 0 2 的动圆恒与x轴相切 设切点为b ac是该圆的直径 1 求点c轨迹e的方程 2 当ac不在坐标轴上时 设直线ac与曲线e交于另一点p 该曲线在p处的切线与直线bc交于点q 求证 pqc恒为直角三角形 14 考向一 考向二 考向三 当c b均在坐标原点时 点c坐标适合方程x2 8y 综上可知点c轨迹e的方程为x2 8y 15 考向一 考向二 考向三 因此qc pq 所以 pqc恒为直角三角形 解题心得如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系 设出动点坐标 直接利用等量关系建立x y之间的关系f x y 0 就得到轨迹方程 16 考向一 考向二 考向三 对点训练1已知点p 2 2 圆c x2 y2 8y 0 过点p的动直线l与圆c交于a b两点 线段ab的中点为m o为坐标原点 1 求m的轨迹方程 2 当 op om 时 求l的方程及 pom的面积 解 1 圆c的方程可化为x2 y 4 2 16 所以圆心为c 0 4 半径为4 故x 2 x y 4 2 y 0 即 x 1 2 y 3 2 2 所以m的轨迹方程是 x 1 2 y 3 2 2 17 考向一 考向二 考向三 2 由 1 可知m的轨迹是以点n 1 3 为圆心 为半径的圆 由于 op om 则o在线段pm的垂直平分线上 又p在圆n上 从而on pm 18 考向一 考向二 考向三 解题策略二相关点法 1 求曲线c的方程 2 若动直线l2 y kx m与曲线c有且仅有一个公共点 过f1 1 0 f2 1 0 两点分别作f1p l2 f2q l2 垂足分别为p q 且记d1为点f1到直线l2的距离 d2为点f2到直线l2的距离 d3为点p到点q的距离 试探索 d1 d2 d3是否存在最值 若存在 请求出最值 19 考向一 考向二 考向三 难点突破 1 设圆c1 x2 y2 r2 根据圆c1与直线l1相切 求出圆的方程为x2 y2 12 由此利用相关点法能求出曲线c的方程 2 将直线l2 y kx m代入曲线c的方程 1中 得 4k2 3 x2 8kmx 4m2 12 0 由此利用根的判别式 根与系数的关系 直线方程 椭圆性质 弦长公式 结合已知条件能求出 d1 d2 d3存在最大值 并能求出最大值 20 考向一 考向二 考向三 解 1 设圆c1 x2 y2 r2 圆c1与直线l1相切 21 考向一 考向二 考向三 2 由 1 中知曲线c是椭圆 得 4k2 3 x2 8kmx 4m2 12 0 由直线l2与椭圆c相切知 64k2m2 4 4k2 3 4m2 12 0 22 考向一 考向二 考向三 解题心得如果动点p的运动是由另外某一点q的运动引发的 而该点坐标满足某已知曲线方程 则可以设出p x y 用 x y 表示出相关点q的坐标 然后把q的坐标代入已知曲线方程 即可得到动点p的轨迹方程 23 考向一 考向二 考向三 对点训练2已知圆m x2 y2 r2 r 0 与直线l1 x y 4 0相切 设点a为圆上一动点 ab x轴于b 且动点n满足 设动点n的轨迹为曲线c 1 求曲线c的方程 2 直线l与直线l1垂直且与曲线c交于p q两点 求 opq面积的最大值 解 1 设动点n x y a x0 y0 因为ab x轴于b 所以b x0 0 24 考向一 考向二 考向三 所以 opq面积的最大值为1 25 考向一 考向二 考向三 解题策略三定义法例3已知圆m x 1 2 y2 1 圆n x 1 2 y2 9 动圆p与圆m外切并且与圆n内切 圆心p的轨迹为曲线c 1 求c的方程 2 l是与圆p 圆m都相切的一条直线 l与曲线c交于a b两点 当圆p的半径最长时 求 ab 难点突破 1 将圆的位置关系转化为圆心连线的关系 从而利用椭圆的定义求出轨迹方程 2 在三个圆心构成的三角形中 由两边之差小于第三边得动圆的最大半径为2 此时动圆圆心在x轴上 由l与圆p 圆m都相切构成相似三角形 由相似比得l在x轴上的截距 利用l与圆m相切得l斜率 联立直线与曲线c的方程 由弦长公式求出 ab 26 考向一 考向二 考向三 解由已知得圆m的圆心为m 1 0 半径r1 1 圆n的圆心为n 1 0 半径r2 3 设圆p的圆心为p x y 半径为r 1 因为圆p与圆m外切并且与圆n内切 所以 pm pn r r1 r2 r r1 r2 4 由椭圆的定义可知 曲线c是以m n为左 右焦点 长半轴长为2 短半轴长为的椭圆 左顶点除外 其方程为 1 x 2 2 对于曲线c上任意一点p x y 由于 pm pn 2r 2 2 所以r 2 当且仅当圆p的圆心为 2 0 时 r 2 所以当圆p的半径最长时 其方程为 x 2 2 y2 4 若l的倾斜角不为90 由r1 r知l不平行于x轴 设l与x轴的交点为q 27 考向一 考向二 考向三 28 考向一 考向二 考向三 解题心得1 若动点的轨迹符合某已知曲线的定义 可直接设出相应的曲线方程 用待定系数法或题中所给几何条件确定相应系数 从而求出轨迹方程 2 涉及直线与圆的位置关系时 应多考虑圆的几何性质 利用几何法进行运算求解往往会减少运算量 29 考向一 考向二 考向三 对点训练3定圆m x 2 y2 16 动圆n过点f 0 且与圆m相切 记圆心n的轨迹为e 1 求轨迹e的方程 2 设点a b c在e上运动 a与b关于原点对称 且 ac bc 当 abc的面积最小时 求直线ab的方程 解 1 因为f 0 在圆m x 2 y2 16内 所以圆n内切于圆m 因为 nm nf 4 fm 所以点n的轨迹e为椭圆 且2a 4 c 所以b 1 30 考向一 考向二 考向三 2 当ab为长轴 或短轴 时 s abc oc ab 2 当直线ab的斜率存在且不为0时 设直线ab的方程为y kx a xa ya 31 考向一 考向二 考向三 32 考向一 考向二 考向三 直线和圆的综合解题策略几何法例4 2017全国 理20 已知抛物线c y2 2x 过点 2 0 的直线l交c于a b两点 圆m是以线段ab为直径的圆 1 证明 坐标原点o在圆m上 2 设圆m过点p 4 2 求直线l与圆m的方程 难点突破 1 因圆m是以ab为直径的圆 要证原点o在圆m上 只需证oa ob koa kob 1 2 联立直线与抛物线的方程 线段ab中点坐标 圆心m的坐标 含参数 r om 圆m过点p 4 2 0 参数的值 直线l与圆m的方程 33 考向一 考向二 考向三 解 1 设a x1 y1 b x2 y2 l x my 2 所以oa ob 故坐标原点o在圆m上 34 考向一 考向二 考向三 2 由 1 可得y1 y2 2m x1 x2 m y1 y2 4 2m2 4 故 x1 4 x2 4 y1 2 y2 2 0 即x1x2 4 x1 x2 y1y2 2 y1 y2 20 0 由 1 可得y1y2 4 x1x2 4 所以2m2 m 1 0 解得m 1或m 当m 1时 直线l的方程为x y 2 0 圆心m的坐标为 3 1 圆m的半径为 圆m的方程为 x 3 2 y 1 2 10 35 考向一 考向二 考向三 解题心得处理直线与圆的综合问题 要特别注意圆心 半径及平面几何知识的应用 如经常用到弦心距 半径 弦长的一半构成的直角三角形 利用圆的一些特殊几何性质解题 往往使问题简化 36 考向一 考向二 考向三 对点训练4已知圆o x2 y2 4 点a 0 以线段ab为直径的圆内切于圆o 记点b的轨迹为 1 求曲线 的方程 2 直线ab交圆o于c d两点 当b为cd的中点时 求直线ab的方程 37 考向一 考向二 考向三 解 1 设ab的中点为m 切点为n 连接om mn 则 om mn on 2 ab on om mn 2 om ab 即 ab 2 om 4 取a关于y轴的对称点a 连接a b 则 a b 2 om 故 ab 2 om ab a b 4 所以点b的轨迹是以a a为焦点 长轴长为4的椭圆 38 考向一 考向二 考向三 2 因为b为cd的中点 39 考向一 考向二 考向三 直线与圆锥曲线的综合解题策略判别式法例5在平面直角坐标系xoy中 已知椭圆c1 a b 0 的左焦点为f1 1 0 且点p 0 1 在c1上 1 求椭圆c1的方程 2 设直线l同时与椭圆c1和抛物线c2 y2 4x相切 求直线l的方程 难点突破 1 由焦点坐标知c 1 由点p在椭圆上知b 从而求得椭圆方程 2 求直线方程即求直线方程中的斜率k 截距m 由l同时与椭圆c1和抛物线c2相切 联立两个方程组 由判别式等于0得出关于k m的两个方程 解之得直线方程 40 考向一 考向二 考向三 解 1 因为椭圆c1的左焦点为f1 1 0 点p 0 1 在c1上 所以c 1 b 1 所以a2 b2 c2 2 所以椭圆c1的方程为 y2 1 2 由题意可知 直线l的斜率显然存在且不等于0 消去y并整理得 1 2k2 x2 4kmx 2m2 2 0 因为直线l与椭圆c1相切 所以 1 16k2m2 4 1 2k2 2m2 2 0 整理得2k2 m2 1 0 41 考向一 考向二 考向三 因为直线l与抛物线c2相切 所以 2 2km 4 2 4k2m2 0 整理得km 1 解题心得1 判断直线与圆锥曲线的交点个数时 可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定 需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0 2 依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时 联立方程组并消元转化为一元方程 若二次项系数为0 则方程为一次方程 若不为0 则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求