高考数学一轮复习 第九章 直线和圆的方程 9.3 点、线、圆的位置关系课件.ppt

第九章直线与圆的方程 9 3点 线 圆的位置关系 高考数学 浙江专用 考点直线与圆 圆与圆的位置关系1 2017课标全国 文 11 5分 已知椭圆c 1 a b 0 的左 右顶点分别为a1 a2 且以线段a1a2为直径的圆与直线bx ay 2ab 0相切 则c的离心率为 a b c d 五年高考 答案a由题意可得a 故a2 3b2 又b2 a2 c2 所以a2 3 a2 c2 所以 所以e 方法总结求离心率问题的实质就是找出a b c之间的关系 再利用a2 b2 c2 椭圆 或c2 a2 b2 双曲线 转化为a c间的关系 2 2014浙江文 5 5分 已知圆x2 y2 2x 2y a 0截直线x y 2 0所得弦的长度为4 则实数a的值是 a 2b 4c 6d 8 答案b将圆的方程化为标准方程为 x 1 2 y 1 2 2 a 所以圆心为 1 1 半径r 圆心到直线x y 2 0的距离d 故r2 d2 4 即2 a 2 4 所以a 4 故选b 3 2016课标全国 4 5分 圆x2 y2 2x 8y 13 0的圆心到直线ax y 1 0的距离为1 则a a b c d 2 答案a圆的方程可化为 x 1 2 y 4 2 4 则圆心坐标为 1 4 圆心到直线ax y 1 0的距离为 1 解得a 故选a 4 2015课标 7 5分 过三点a 1 3 b 4 2 c 1 7 的圆交y轴于m n两点 则 mn a 2b 8c 4d 10 答案c设圆心为p a b 由点a 1 3 c 1 7 在圆上 知b 2 再由 pa pb 得a 1 则p 1 2 pa 5 于是圆p的方程为 x 1 2 y 2 2 25 令x 0 得y 2 2 则 mn 2 2 2 2 4 5 2015重庆 8 5分 已知直线l x ay 1 0 a r 是圆c x2 y2 4x 2y 1 0的对称轴 过点a 4 a 作圆c的一条切线 切点为b 则 ab a 2b 4c 6d 2 答案c圆c的标准方程为 x 2 2 y 1 2 4 圆心为c 2 1 半径r 2 由直线l是圆c的对称轴 知直线l过点c 所以2 a 1 1 0 得a 1 所以a 4 1 于是 ac 2 40 所以 ab 6 故选c 6 2015广东 5 5分 平行于直线2x y 1 0且与圆x2 y2 5相切的直线的方程是 a 2x y 5 0或2x y 5 0b 2x y 0或2x y 0c 2x y 5 0或2x y 5 0d 2x y 0或2x y 0 答案a切线平行于直线2x y 1 0 故可设切线方程为2x y c 0 c 1 结合题意可得 解得c 5 故选a 7 2015山东 9 5分 一条光线从点 2 3 射出 经y轴反射后与圆 x 3 2 y 2 2 1相切 则反射光线所在直线的斜率为 a 或 b 或 c 或 d 或 答案d由题意可知反射光线所在直线过点 2 3 设反射光线所在直线方程为y 3 k x 2 即kx y 2k 3 0 反射光线所在直线与圆相切 1 解得k 或k 评析本题主要考查直线和圆的位置关系 8 2015四川 10 5分 设直线l与抛物线y2 4x相交于a b两点 与圆 x 5 2 y2 r2 r 0 相切于点m 且m为线段ab的中点 若这样的直线l恰有4条 则r的取值范围是 a 1 3 b 1 4 c 2 3 d 2 4 答案d当直线ab的斜率不存在 且00和kab4 y0 0 即r 2 另一方面 由ab的中点为m知b 6 x1 2y0 y1 点b a在抛物线上 2y0 y1 2 4 6 x1 4x1 由 得 2y0y1 2 12 0 4 4 2 12 0 12 r2 3 5 2 4 16 r 4 综上 r 2 4 故选d 9 2014江西 9 5分 在平面直角坐标系中 a b分别是x轴和y轴上的动点 若以ab为直径的圆c与直线2x y 4 0相切 则圆c面积的最小值为 a b c 6 2 d 答案a由题意得以ab为直径的圆c过原点o 圆心c为ab的中点 设d为切点 要使圆c的面积最小 只需圆的半径最短 也只需oc cd最小 其最小值为oe 过原点o作直线2x y 4 0的垂线 垂足为e 的长度 由点到直线的距离公式得oe 圆c面积的最小值为 故选a 评析本题考查了直线和圆的位置关系 考查了数形结合的思想方法 利用圆的性质和点到直线的距离公式得到圆的直径的最小值为oe的长度是求解的关键 10 2017江苏 13 5分 在平面直角坐标系xoy中 a 12 0 b 0 6 点p在圆o x2 y2 50上 若 20 则点p的横坐标的取值范围是 答案 5 1 解析本题考查平面向量数量积及其应用 圆的方程的应用及圆与圆的相交 解法一 设p x y 则由 20可得 12 x x y 6 y 20 即 x 6 2 y 3 2 65 所以p为圆 x 6 2 y 3 2 65上或其内部一点 又点p在圆x2 y2 50上 联立得解得或即p为圆x2 y2 50的劣弧mn上的一点 如图 易知 5 x 1 解法二 设p x y 则由 20 可得 12 x x y 6 y 20 即x2 12x y2 6y 20 由于点p在圆x2 y2 50上 故12x 6y 30 0 即2x y 5 0 点p为圆x2 y2 50上且满足2x y 5 0的点 即p为圆x2 y2 50的劣弧mn上的一点 如图 同解法一 可得n 1 7 m 5 5 易知 5 x 1 11 2013浙江文 13 4分 直线y 2x 3被圆x2 y2 6x 8y 0所截得的弦长等于 答案4 解析圆心 3 4 到直线y 2x 3的距离d 由于圆的半径r 5 所以所求弦长为2 2 4 12 2016课标全国 16 5分 已知直线l mx y 3m 0与圆x2 y2 12交于a b两点 过a b分别作l的垂线与x轴交于c d两点 若 ab 2 则 cd 答案4 解析由题意可知直线l过定点 3 该定点在圆x2 y2 12上 不妨设点a 3 由于 ab 2 r 2 所以圆心到直线ab的距离为d 3 又由点到直线的距离公式可得d 3 解得m 所以直线l的斜率k m 即直线l的倾斜角为30 如图 过点c作ch bd 垂足为h 所以 ch 2 在rt chd中 hcd 30 所以 cd 4 解后反思涉及直线与圆的位置关系的问题要充分利用圆的性质 利用数形结合的思想方法求解 13 2015江苏 10 5分 在平面直角坐标系xoy中 以点 1 0 为圆心且与直线mx y 2m 1 0 m r 相切的所有圆中 半径最大的圆的标准方程为 答案 x 1 2 y2 2 解析由mx y 2m 1 0可得m x 2 y 1 由m r知该直线过定点 2 1 从而点 1 0 与直线mx y 2m 1 0的距离的最大值为 故所求圆的标准方程为 x 1 2 y2 2 14 2015湖北 14 5分 如图 圆c与x轴相切于点t 1 0 与y轴正半轴交于两点a b b在a的上方 且 ab 2 1 圆c的方程为 2 过点a任作一条直线与圆o x2 y2 1相交于m n两点 下列三个结论 2 2 其中正确结论的序号是 写出所有正确结论的序号 答案 1 x 1 2 y 2 2 2 15 2014湖北 12 5分 直线l1 y x a和l2 y x b将单位圆c x2 y2 1分成长度相等的四段弧 则a2 b2 答案2 解析由题意知直线l1和l2与单位圆c所在的位置如图 因此或故a2 b2 1 1 2 评析本题考查了直线和圆的位置关系 考查了直线的斜率和截距 考查了数形结合的思想方法 正确画出图形求出a和b的值是解题的关键 16 2014重庆 13 5分 已知直线ax y 2 0与圆心为c的圆 x 1 2 y a 2 4相交于a b两点 且 abc为等边三角形 则实数a 答案4 解析易知 abc是边长为2的等边三角形 故圆心c 1 a 到直线ab的距离为 即 解得a 4 经检验均符合题意 则a 4 评析本题考查过定点的直线与圆相交的弦长问题 以及数形结合的思想方法 对综合能力要求较高 17 2014课标 16 5分 设点m x0 1 若在圆o x2 y2 1上存在点n 使得 omn 45 则x0的取值范围是 答案 1 1 解析解法一 当x0 0时 m 0 1 由圆的几何性质得在圆上存在点n 1 0 或n 1 0 使 omn 45 当x0 0时 过m作圆的两条切线 切点为a b 若在圆上存在n 使得 omn 45 应有 omb omn 45 amb 90 1 x0 0或0 x0 1 综上 1 x0 1 解法二 过o作op mn p为垂足 op om sin45 1 om om2 2 1 2 1 1 x0 1 评析本题考查了数形结合思想及分析问题 解决问题的能力 18 2015课标 20 12分 已知过点a 0 1 且斜率为k的直线l与圆c x 2 2 y 3 2 1交于m n两点 1 求k的取值范围 2 若 12 其中o为坐标原点 求 mn 19 2013重庆 7 5分 已知圆c1 x 2 2 y 3 2 1 圆c2 x 3 2 y 4 2 9 m n分别是圆c1 c2上的动点 p为x轴上的动点 则 pm pn 的最小值为 a 5 4b 1c 6 2d 以下为教师用书专用 答案a圆c1 c2如图所示 设p是x轴上任意一点 则 pm 的最小值为 pc1 1 同理 pn 的最小值为 pc2 3 则 pm pn 的最小值为 pc1 pc2 4 作c1关于x轴的对称点c 1 2 3 连接c 1c2 与x轴交于点p 连接pc1 根据三角形两边之和大于第三边可知 pc1 pc2 的最小值为 c 1c2 则 pm pn 的最小值为5 4 选a 评析本题考查了圆的标准方程及圆的几何性质等知识 同时又考查了数形结合思想 转化思想 把折线段的和转化成两点间的距离是解题的关键 20 2013山东 9 5分 过点 3 1 作圆 x 1 2 y2 1的两条切线 切点分别为a b 则直线ab的方程为 a 2x y 3 0b 2x y 3 0c 4x y 3 0d 4x y 3 0 答案a如图 圆心坐标为c 1 0 易知a 1 1 又kab kpc 1 且kpc kab 2 故直线ab的方程为y 1 2 x 1 即2x y 3 0 故选a 21 2013江西 9 5分 过点 0 引直线l与曲线y 相交于a b两点 o为坐标原点 当 aob的面积取最大值时 直线l的斜率等于 a b c d 答案b如图 设直线ab的方程为x my 显然m0 所以m2 1 由根与系数的关系得y1 y2 y1 y2 s aob s pob s poa op y2 y1 令t 1 m2 t 2 s aob 当 即t 4 m 时 aob的面积取得最大值 此时 直线l的斜率为 故选b 评析本题考查直线与圆的位置关系 解析几何中的面积问题 以及转化与化归思想 数形结合思想 考查学生的运算求解能力 属中档题 22 2014江苏 9 5分 在平面直角坐标系xoy中 直线x 2y 3 0被圆 x 2 2 y 1 2 4截得的弦长为 答案 解析易知圆心为 2 1 r 2 故圆心到直线的距离d 弦长为2 2 23 2013江苏 17 14分 如图 在平面直角坐标系xoy中 点a 0 3 直线l y 2x 4 设圆c的半径为1 圆心在l上 1 若圆心c也在直线y x 1上 过点a作圆c的切线 求切线的方程 2 若圆c上存在点m 使ma 2mo 求圆心c的横坐标a的取值范围 解析 1 由题意 得圆心c是直线y 2x 4和y x 1的交点 解得点c 3 2 于是切线的斜率必存在 设过a 0 3 的圆c的切线方程为y kx 3 由题意 得 1 解得k 0或 故所求切线方程为y 3或3x 4y 12 0 2 因为圆心在直线y 2x 4上 所以圆c的方程为 x a 2 y 2 a 2 2 1 设点m x y 因为ma 2mo 所以 2 化简得x2 y2 2y 3 0 即x2 y 1 2 4 所以点m在以d 0 1 为圆心 2为半径的圆上 由题意 点m x y 在圆c上 所以圆c与圆d有公共点 则 2 1 cd 2 1 即1 3 由5a2 12a 8 0 得a r 由5a2 12a 0 得0 a 所以点c的横坐标a的取值范围为 评析本题考查直线与圆的方程 直线与直线 直线与圆 圆与圆的位置关系等基础知识和基本技能 考查运用数形结合 待定系数法等数学思想方法分析问题 解决问题的能力 1 2017浙江温州模拟考 2月 4 若直线y x b与圆x2 y2 1有公共点 则实数b的取值范围是 a 1 1 b 0 1 c 0 d 三年模拟 一 选择题 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 答案d由题意知 1 即 b 故选d 2 2016浙江温州一模 4 已知直线l y kx b 曲线c x2 y2 2x 0 则 k b 0 是 直线l与曲线c有公共点 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案a曲线c x2 y2 2x 0 即 x 1 2 y2 1 圆心 1 0 半径r 1 若k b 0 则直线l过圆心 所以直线l与曲线c有公共点 当k 1 b 0时 直线y x与曲线c有公共点 但k b 0 故是充分不必要条件 故选a 3 2016浙江镇海中学测试 六 6 过点p m n 作圆c x 2 2 y 3 2 1的两条切线 切点分别是a b 若 acb 120 则3m 4n的最小值是 a 8b 15c 22d 28 答案a由题意知 pc 2 所以p的轨迹是以 2 3 为圆心 2为半径的圆 设3x 4y t 则问题转化为圆心到直线3x 4y t的距离不大于2 即 2 所以8 t 28 故选a 4 2015浙江嘉兴一中一模 6 已知直线ax by c 0 a2 b2 c2 0 与圆x2 y2 4交于m n两点 o为坐标原点 则 等于 a 2b 1c 0d 1 答案a设m x1 y1 n x2 y2 则 x1x2 y1y2 由消去y得 a2 b2 x2 2acx c2 4b2 0 所以x1x2 同理 消去x可得y1y2 所以 x1x2 y1y2 又c2 a2 b2 所以x1x2 y1y2 2 即 2 故选a 评析本题考查圆的方程 直线与圆的位置关系 向量的数量积 根与系数的关系 考查学生的推理运算能力和化归与转化思想 5 2017浙江 超级全能生 联考 12月 17 如图 aob 60 点c在 aob内 且oc 3 以c为圆心 1为半径作圆 点x y分别是射线oa ob上异于o的动点 点p在圆c上运动 若圆c和 aob两边都没有交点 则px py xy的最小值为 二 填空题 答案2 解析如图 分别作p关于直线oa ob的对称点p1 p2 连接p1p2 p1x p2y op1 op2 则p1x px p2y py 所以px py xy p1x p2y xy p1p2 由对称知 p1op2 op1 op2 op 所以p1p2 op 因为op oc 1 2 因此p1p2 2 即px py xy的最小值为2 6 2017浙江嘉兴基础测试 14 由直线3x 4y 5 0上的任意一点p向圆x2 y2 4x 2y 4 0引切线 则切线长的最小值为 答案2 解析圆的标准方程为 x 2 2 y 1 2 1 设圆心为c 2 1 切点为m 则 pm 要使切线长最小 则需 pc 最小 圆心到直线3x 4y 5 0的距离d 3 当 pc d时切线长的最小值为 2 7 2017浙江镇海中学第一学期期中 14 设集合m x y y n x y y k x b 1 若对任意的0 k 1都有m n 则实数b的取值范围是 答案 0 2 解析m是由原点为圆心 半径为1的x轴上方 包括x轴 的半圆上的点组成的集合 n是由过点p b 1 斜率为k的直线l上的点组成的集合 设a 1 0 b 0 1 当b 2时 kpa 1 作出图形可知 当0 b 2时 对于任意的0 k 1 直线l与圆弧总有交点 即m n 当b 2时 kpa 2不符合题意 当 10 令k0 min 取0 k k0 1 此时直线l与圆弧没有交点 即 1 b 0不符合题意 当b 1时 取k 1 此时直线l与圆弧没有交点 即b 1不符合题意 综合有实数b的取值范围是 0 2 8 2015浙江新高考研究卷五 杭州学军中学 12 已知圆c x a 2 y 2a 2 4 a 0 与直线y x 2相交于p q两点 则当 cpq的面积s最大时 实数a的值为 当a变化时 圆系c的公切线方程为 答案4 y 2x 2 解析设圆心c到直线y x 2的距离为d 则 pq 2 s d pq d 2 当且仅当d 时 取等号 由 2 a 4 a 0舍去 因为圆心在直线y 2x上 所以公切线方程可设为y 2x b 由于圆心到直线y 2x b的距离为2 所以由 2得b 2 故公切线方程为y 2x 2 1 2017浙江镇海中学模拟训练 二 7 若圆c x 1 2 y 1 2 8上有且只有两个点到直线x y m 0的距离等于 则实数m的取值范围为 a 6 2 2 6 b 8 4 4 8 c 2 6 d 4 8 一 选择题 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 答案a圆心c 1 1 到直线x y m 0的距离d 结合图形易知 d 3 得2 m 6 故选a 2 2017浙江名校协作体 6 直线x 2y 3 0与圆c x 2 2 y 3 2 9交于e f两点 则 ecf的面积为 a b 2c d 答案b圆心 2 3 到直线x 2y 3 0的距离d 所以 ef 2 4 因此s ecf 4 2 故选b 3 2017 超级全能生 浙江高三3月联考 7 已知函数f x x x r 其中mn是半径为4的圆o的一条弦 p为单位圆o上的点 设函数f x 的最小值为t 当点p在单位圆上运动时 t的最大值为3 则线段mn的长度为 a 4b 2c d 答案a由题可知函数f x 取最小值t时 t是过点p向mn所作的垂线段的长度 如图 当t取最大值时 点p运动到单位圆o上的q点的位置 又大圆半径r 4 小圆半径r 1 所以mn 2 4 故选a 4 2017浙江高考模拟训练冲刺卷四 8 已知圆c的方程为x2 y2 8x 15 0 若直线y kx 2上至少存在一点 使得以该点为圆心 1为半径的圆与圆c有公共点 则k的取值范围是 a 0 k b kc k d k 0或k 答案a已知圆的标准方程为 x 4 2 y2 1 设满足题设的点为 t kt 2 则关于t的不等式0 t 4 2 kt 2 2 4有解 即关于t的不等式 1 k2 t2 4k 8 t 16 0有解 从而 16 k 2 2 64 1 k2 0 解得0 k 一题多解由题意可知 两圆有公共点 则可知圆心 4 0 到直线y kx 2的距离不超过2 即 2 解得0 k 故选a 5 2016浙江镇海中学测试 八 7 已知p是直线y x t上任意一点 过p引圆x2 y 2 2 8的一条切线 切点为q 若存在定点m 均有 pm pq 则t的取值可能是 a 3b 1c 1d 3 答案a设p x x t m m n 则 pq 2 x2 x t 2 2 8 2x2 2 t 2 x t2 4t 4 pm 2 x m 2 x t n 2 2x2 2 t m n x m2 t n 2 因为对于任意的x r pm pq 恒成立 所以即消去n得 mt m2 2m 4 显然m 0 所以 t m 2 显然 t m 2 6 2 所以t 2