初三函数综合复习

函数综合复习 一 知识概述 一 函数的概念 1 函数 设在某个变化过程中有两个变量 如果对于在某一个范围内的每一个确定的值 都有唯一确定的值与它对应 那么就说是的函数 叫做自变量 2 函数的表示方法 解析法列表法图像法 3 函数的图像 对于一个函数 如果把自变量和函数的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标 在坐标平面内就有一个相应的点 由这样的点的全体所组成的图形叫做这个函数的图像 二 初中代数中所学的函数 1 一次函数 函数y k b为常数 k 叫做一次函数 当b 时 函数y k 叫做正比例函数 kx b kx 理解一次函数概念应注意下面两点 解析式中自变量x的次数是 比例系数 1 k 0 正比例函数y kx k 0 的图像是过点 的 0 0 1 k 一条直线 b 一条直线 一次函数y kx b k 0 的图像是过点 0 0 的 k 0 图像过一 三象限 y随x的增大而增大 k 0 图像过二 四象限 y随x的增大而减小 y kx k 0 x y 0 k 0 b 0 k 0 b 0 图像过一 三 四象限 y随x的增大而增大 b x y 0 b y kx b y kx b 图像过一 二 三象限 y随x的增大而增大 y kx b k 0 x y 0 k0 k 0 b 0 0 b 0 b y kx b y kx b 图像过一 二 四象限 y随x的增大而减小 图像过二 三 四象限 y随x的增大而减小 y kx b k 0 函数 k是常数 k 0 叫做反比例函数 2 反比例函数 理解反比例函数概念应注意下面三点 1 k 0 反比例系数 3 自变量x的取值范围是 的实数 x 0 解析式中自变量x的次数是 反比例函数的图像是 反比例函数 k 0 的性质 双曲线 3 二次函数 二次函数的图像是抛物线 定义 解析式为y ax2 bx c a 0 的函数叫做二次函数 顶点坐标 抛物线y ax2 bx c的顶点坐标是 对称轴 直线 a 0时 二次函数y ax2 bx c当x 时取得最小值 a 0时 二次函数y ax2 bx c当x 时取得最大值 如果a 0 那么 当x 时 函数值随x值的增大而增大 当x 时 函数值随x值的增大而减小 如果a 0 那么 当x 时 函数值随x值的增大而增大 当x 时 函数值随x值的增大而减小 抛物线位置的确定 1 的符号决定开口方向 2 的符号决定对称轴的位置 3 的符号决定抛物线与轴交点位置 4 的符号决定抛物线与轴位置关系 二 例题分析 1 求自变量的取值范围 3 如图 等腰 ABC的周长为 腰长为 底边长为 则与的函数关系式及自变量的取值范围 确定函数自变量的取值范围 1 对于函数解析式中的自变量 要使解析式有意义 即 解析式是整式 自变量可以取一切实数 解析式是分式 自变量的取值应使分母不等于零 2 如果函数反映实际问题时 自变量取值范围还要受到实际意义的制约 解析式是二次根式 自变量的取值应使被开方数的值大于或等于零 三次根式 自变量可以取一切实数 2 有关函数概念的问题 1 已知函数是一次函数 则 图像经过第 象限 解 由题意 解得 解析式为 这时图像过一 二 四象限 2 函数是正比例函数 且图像通过第二 四象限 则m 解 由题意 解得 3 如果函数的图像是双曲线 且在第二 四象限内 那么的值是多少 解 由题意 解得 4 抛物线的对称轴是直线 此函数的最小值是 解法1 配方 对称轴为 直线 解法2 利用公式 最小值是 5 对称轴为 最小值是 3 有关函数图像的问题 4 确定函数解析式的问题 1 如图 一次函数的图像与轴 轴分别交于A B两点 和反比例函数的图像交于C D两点 如果点A的坐标 2 0 点C D分别在第一 三象限 且OA OB AC BD 试求一次函数 反比例函数的解析式 y 解 设一次函数解析式为 OA OB A 2 0 B 0 2 A B是一次函数图像上的点 解得 一次函数的解析式为 过C作CE x轴 垂足为点E 在Rt ACE中 AC OA OB 2 又 CAE 45 AE 2 cos45 CE AE C点的坐标为 C在图像上 反比例函数的解析式为 正比例函数 一次函数 反比例函数 2 已知一抛物线与轴的交点是A 1 0 B m 0 且经过第四象限的点C 1 n 而m n 1 mn 12 求此抛物线的解析式 解 由题意 可设m n是方程的两个根 解这个方程 得 C 1 n 在第四象限 n 0 n 4 从而m 3 抛物线经过A 1 0 B 3 0 C 1 4 故可设抛物线的解析式为 将C 1 4 代入 得 抛物线的解析式为 二次函数的三种常见的表达式 1 一般式 2 顶点式 其中抛物线的顶点坐标为 3 两根式 其中是相应的一元二次方程的两个根 5 有关函数应用的问题 1 如图 在直角坐标系中 一次函数的图像与轴交于点A 与轴交于点B 1 若以原点为圆心的圆与直线AB相切于点C 求切点C的坐标 2 在轴上是否存在点P 使 PAB为等腰三角形 若存在 请直接写出点P的坐标 若不存在 请说明理由 4 3 2 1 A B O 解 在一次函数中 过O作OC AB于C 过C作CK x轴于K 在Rt AOB中 tan BAO BAO 30 AOC 60 x y C K 4 3 2 1 A B O x y x y O B A 以AB为腰的等腰 则 以AB为腰的等腰 则 以AB为腰的等腰 则 则 以AB为底的等腰 2 已知反比例函数和一次函数 1 若一次函数和反比例函数的图像交于点 4 m 求和 2 满足什么条件时 这两个函数图像有两个不同的交点 3 设 2 中的两个交点A B 试判断 AOB是锐角还是钝角 解 1 由题意 一次函数的图像与反比例函数的图像交于点 4 m 2 已知反比例函数和一次函数 1 若一次函数和反比例函数的图像交于点 4 m 求和 解 若两个函数的图像相交 则交点的坐标满足 2 已知反比例函数和一次函数 2 满足什么条件时 这两个函数图像有两个不同的交点 消去 整理得 3 设 2 中的两个交点A B 试判断 AOB是锐角还是钝角 AOB 90 故 AOB为锐角 AOB 90 故 AOB为钝角 3 已知开口向上的抛物线与轴交于A 和B 两点 和是方程的两个根 而且抛物线与轴交于C点 ACB不小于90 1 求点A 点B的坐标和抛物线的对称轴 2 求点C的坐标 用含的代数式表示 3 求系数的取值范围 3 已知开口向上的抛物线与轴交于A 和B 两点 和是方程的两个根 而且抛物线与轴交于C点 ACB不小于90 1 求点A 点B的坐标和抛物线的对称轴 A B在抛物线上 3 已知开口向上的抛物线与轴交于A 和B 两点 和是方程的两个根 而且抛物线与轴交于C点 ACB不小于90 2 求点C的坐标 用含的代数式表示 3 抛物线开口向上 ACB 90 当 ACB 90 时 有Rt BOC Rt COA 当 ACB 90 时 4 某乡组织20辆汽车装运A B C三种苹果共42吨到外地销售 按规定每辆车只装同一种苹果 且必须装满 每种苹果不少于2车 1 设有x辆车装运A种苹果 用y辆车装运B种苹果 根据表中提供的信息 求y与x之间的函数关系 并求x的取值范围 2 设此次外销活动的利润为W 百元 求W与x的函数关系式以及最大利润 并安排相应的车辆分配方案 1 设运送A种苹果x车 B种苹果y车 则C种苹果 20 x y 车 2 2x 2 1y 2 2