高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选修22(1).ppt

1 3 2函数的极值与导数 主题函数极值的概念及求法观察图象回答下面问题 1 函数在点x a的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系 提示 函数在点x a的函数值比它在点x a附近的其他点的函数值都小 2 f a 等于多少 在点x a附近 函数的导数的符号有什么规律 提示 f a 0 在点x a附近的左侧f x 0 右侧f x 0 3 函数在点x b处的情况呢 提示 函数在点x b处的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值都大 f b 0 且在点x b附近的左侧f x 0 右侧f x 0 结论 极大 小 值的概念 1 函数y f x 在点x a的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值都小 且 在点x a附近的左侧 右侧 则a叫做极小值点 f a 叫做函数y f x 的极小值 f a 0 f x 0 f x 0 2 函数y f x 在点x b的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值都大 且 在点x b附近的左侧 右侧 则b叫做极大值点 f b 叫做函数y f x 的极大值 f b 0 f x 0 f x 0 微思考 1 函数的极值可以在区间端点处取得吗 提示 不可以 因为在端点处不能反映两侧的函数值的变化情况 况且端点处的导数不一定为0 2 当f x0 0时 x x0是否一定为y f x 的极值点 提示 不一定 只有同时满足x0左右导数符号不一致时才称x0为极值点 3 函数的极大值一定大于极小值吗 提示 不一定 极值刻画的是函数的局部性质 反映了函数在某一点附近的大小情况 极大值可能比极小值还小 预习自测 1 函数y f x 的导数y 与函数值和极值之间的关系为 a 导数y 由负变正 则函数y由减变为增 且有极大值b 导数y 由负变正 则函数y由增变为减 且有极大值 c 导数y 由正变负 则函数y由增变为减 且有极小值d 导数y 由正变负 则函数y由增变为减 且有极大值 解析 选d 由导数y 与函数值的变化情况以及极值之间的关系 可知选项d正确 2 2016 陕西高考 设函数 则 a 为f x 的极大值点b 为f x 的极小值点c x 2为f x 的极大值点d x 2为f x 的极小值点 解析 选d 函数f x 的定义域为 0 当x 2时 f x 0 当x 2时 f x 0 函数f x 为增函数 当0 x 2时 f x 0 函数f x 为减函数 所以x 2为函数f x 的极小值点 3 如图是导函数y f x 的图象 函数y f x 的极大值点是 极小值点是 解析 因为在点x2左侧导数图象在x轴上方 导数为正 在点x2右侧附近导数图象在x轴下方 导数为负 故点x2为极大值点 因为在点x4左侧导数图象在x轴下方 导数为负 在点x4右侧附近导数图象在x轴上方 导数为正 故点x4为极小值点 答案 x2x4 4 求函数f x x3 3x2 9x 5的极值 仿照教材p94例4的解析过程 解析 f x 3x2 6x 9 解方程3x2 6x 9 0 得x1 1 x2 3 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由表可知 当x 1时 f x 有极大值f 1 10 当x 3时 f x 有极小值f 3 22 类型一求函数的极值 典例1 求函数的极值 解析 函数的定义域为 0 且 令f x 0 得x e 当x变化时 f x f x 的变化情况如表 故当x e时 函数取得极大值 无极小值 方法总结 求可导函数f x 的极值的步骤 1 定区间求导 确定函数的定义区间 求导数f x 2 解方程 求方程f x 0的根 3 列表 用函数的导数为0的点 顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间 并列成表格 4 检测判断 检测f x 在方程根左右两侧的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 如果左右不改变符号 那么f x 在这个根处无极值 巩固训练 1 求函数的极值 解析 函数的定义域为 0 0 令y 0 得x 2 当x变化时 y y的变化情况如下表 由表知 当x 2时 y极大值 8 当x 2时 y极小值 8 2 设函数f x x3 ax2 9x的导函数为f x 且f 2 15 1 求函数f x 的图象在x 0处的切线方程 2 求函数f x 的极值 解析 1 因为f x 3x2 2ax 9 因为f 2 15 所以12 4a 9 15 所以a 3 所以f x x3 3x2 9x 所以f x 3x2 6x 9 所以f 0 0 f 0 9 所以函数在x 0处的切线方程为y 9x 2 令f x 0 得x 3或x 1 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 即函数f x 在 3 上单调递增 在 3 1 上单调递减 在 1 上单调递增 所以当x 3时 f x 有极大值27 当x 1时 f x 有极小值 5 补偿训练 求函数的极值 解析 因为函数的定义域为r 所以 令y 0 得 解得x 1或x 1 当x变化时 y y的变化情况如表 故当x 1时 函数有极小值 且y极小值 f 1 3 当x 1时 函数有极大值 且y极大值 f 1 1 类型二利用函数极值求参数的值 典例2 2016 四川高考 已知a为函数f x x3 12x的极小值点 则a a 4b 2c 4d 2 解题指南 求出f x 解出方程f x 0的根 再根据不等式f x 0 f x 0的解集得出函数的极值点 解析 选d f x 3x2 12 3 x 2 x 2 令f x 0 得x 2或x 2 易知f x 在 2 2 上单调递减 在 2 上单调递增 故f x 的极小值为f 2 所以a 2 方法总结 1 求参数值 利用函数的极值确定参数的值 常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组 利用待定系数法求解 2 检验 因为 导数值等于零 不是 此点为极值点 的充要条件 所以利用待定系数法求解后 必须验证根的合理性 巩固训练 已知函数在x 1处有极值 求b c的值 解析 f x x2 2bx c f 1 1 2b c 0 因为f x 在x 1处有极值 所以 解得b 1 c 1或b 1 c 3 经验证b 1 c 1不满足题意 舍去 所以b 1 c 3 补偿训练 已知函数f x x3 ax2 bx c 且当x 1时取得极大值7 当x 3时取得极小值 试求函数f x 的极小值 并求a b c的值 解析 f x x3 ax2 bx c f x 3x2 2ax b 因为x 1时函数取得极大值 x 3时函数取得极小值 所以 1 3是方程f x 0的根 即为方程3x2 2ax b 0的两根 故解得 所以f x x3 3x2 9x c 因为x 1时取得极大值7 所以 1 3 3 1 2 9 1 c 7 所以c 2 所以函数f x 的极小值为f 3 33 3 32 9 3 2 25 类型三函数极值的综合应用 典例3 1 函数f x xex在其极值点处的切线方程为 2 已知函数f x x3 3ax 1 a 0 若函数f x 在x 1处取得极值 直线y m与y f x 的图象有三个不同的交点 求m的取值范围 解题指南 1 先求出极值 再求出切点坐标 然后利用导数求出切线斜率 最后得切线方程 2 先由已知条件求出a值 确定f x 再由直线y m与y f x 的图象有三个不同交点 利用数形结合求出m的范围 解析 1 f x ex xex ex 1 x 令f x 0得x 1 易判断x 1为极值点 因为 所以切点为 因为切线斜率为0 所以所求得切线方程为 答案 2 因为f x 在x 1处取得极值 所以f 1 3 1 2 3a 0 所以a 1 所以f x x3 3x 1 f x 3x2 3 由f x 0解得x1 1 x2 1 当x 1时 f x 0 当 1 x 1时 f x 0 当x 1时 f x 0 所以由f x 的单调性可知 f x 在x 1处取得极大值f 1 1 在x 1处取得极小值f 1 3 作出f x 的大致图象如图所示 因为直线y m与函数y f x 的图象有三个不同的交点 结合f x 的图象可知 m的取值范围是 3 1 延伸探究 1 若本例 2 三个不同的交点 改为 两个不同的交点 结果如何 改为 一个交点 呢 解析 由例 2 解析可知 当m 3或m 1时 直线y m与y f x 的图象有两个不同的交点 当m 3或m 1时 直线y m与y f x 的图象只有一个交点 2 若本例 2 中条件改为 已知函数f x x3 ax2 4在处取得极值 其他条件不变 求m的取值范围 解析 由题意可得f x 3x2 2ax 由 可得a 2 所以f x x3 2x2 4 则f x 3x2 4x 令f x 0 得x 0或 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表因为直线y m与函数y f x 的图象有三个不同的交点 所以m的取值范围是 方法总结 1 三次函数有极值的充要条件三次函数y ax3 bx2 cx d a 0 有极值 导函数f x 3ax2 2bx c 0的判别式 4b2 12ac 0 2 三次函数单调性与极值 设x10 则f x 在r上是增函数 若a 0 则f x 在r上是减函数 2 当 0时 若a 0 则f x 的增区间为 x1 和 x2 减区间为 x1 x2 f x1 为极大值 f x2 为极小值 若a 0 则f x 的减区间为 x1 和 x2 增区间为 x1 x2 f x1 为极小值 f x2 为极大值 如图所示 补偿训练 已知函数f x x2 8x g x 6lnx m 是否存在实数m 使得y f x 的图象与y g x 的图象有且只有三个不同的交点 若存在 求出m的取值范围 若不存在 说明理由 解析 函数y f x 的图象与y g x 的图象有且只有三个不同的交点 即函数的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点 因为 所以 当x 0 1 时 x 0 x 是增函数 当x 1 3 时 x 0 x 是减函数 当x 3 时 x 0 x 是增函数 当x 1 或x 3时 x 0 所以 x 极大值 1 m 7 x 极小值 3 m 6ln3 15 因为当x充分接近0时 x 0 当x充分大时 x 0 所以要使