创新设计高三数学一轮复习 三角函数的概念 课件 北师大

了解定积分的实际背景 了解定积分的基本思想 了解定积分的概念 了解微积分基本定理的含义 2 12定积分的概念与微积分基本定理 1 定积分 1 定积分的定义及相关概念一般地 给定一个在区间 a b 的函数y f x 其图象如图所示 将 a b 区间分成n份 分点为 a x0 x1 x2 xn 1 xn b 第i个小区间为 xi 1 xi 设其长度为 xi 在这个小区间上取一点 i 使f i 在区间 xi 1 xi 上的值最大 设S f 1 x1 f 2 x2 f i xi f n xn 在这个小区间上取一点 i 使f i 在区间 xi 1 xi 的值最小 设 s f 1 x1 f 2 x2 f i xi f n xn 如果每次分割后 最大的小区间的长度趋于0 S与s的差也趋于0 此时 S与s同时趋于某一个固定的常数A 我们就称A是函数y f x 在区间 a b 上的定积分 记作 即 A 其中叫做 a叫做 b叫做 f x 叫做 积分号 积分的下限 积分的上限 被积函数 2 定积分的性质 kf x dx 2 微积分基本定理如果f x 是区间 a b 上的连续函数 并且F x f x 这个结论叫微积分基本定理 又叫牛顿 莱布尼兹公式 F b F a 3 如右图所示 由三条直线x a x b a b x轴及一条曲线y f x f x 0 围成的曲边梯形的面积为S 1 若在区间 a b 上 f x 0 则S 2 若在区间 a c 上 f x 0 在区间 c b 上 f x 0 则S 4 匀变速运动的路程公式作变速直线运动的物体所经过的路程s 等于其速度函数v v t v t 0 在时间区间 a b 上的定积分 即 5 变力作功公式一物体在变力F x 单位 N 的作用下作直线运动 如果物体沿着与F相同的方向从x a移动x b a b 单位 m 则力F所做的功为W 1 下列值等于1的积分是 答案 C 3 如下图 直线y 1与抛物线y x2相交 则阴影部分面积为 A B 1C D 2 4 已知自由落体的速度为v gt 则落体从t 0到t t0所走过的路程为 1 求函数f x 在某个区间上的定积分 关键是求出函数f x 的一个原函数 要正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系 2 求复杂函数定积分要依据定积分的性质 1 有限个函数代数和的积分 等于各个函数积分的代数和 例1 解答 变式1 计算下列定积分 解答 利用定积分的几何意义 在掌握曲边梯形面积计算方法的基础上 注意通过图形的割补将面积问题转化为曲边梯形面积的计算 例2 求两曲线y2 x和y x2所围成图形的面积 解答 如图 为了确定图形的范围 先求出这两条曲线的交点的横坐标 由得出交点的横坐标为x 0及x 1 所以所求图形的面积为 变式2 求由曲线y 2x x2 y 2x2 4x所围成图形的面积 解答 由得x1 0 x2 2 如图所示 所求图形的面积 可通过匀变速运动的路程公式和变力作功公式 利用定积分解决变速直线运动的路程及变力作功等问题 在解决此类问题时一定要清楚问题的物理背景和需要具备的前提条件 例3 一物体在做变速直线运动 其v t曲线如图所示 求该物体在间的运动路程 解答 v t 由变速直线运动的路程公式 可得所以物体在间的运动路程是 变式3 一物体按规律x bt3做直线运动 式中x为时间t内通过的距离 媒质的阻力与速度的平方成正比 试求物体由x 0运动到x a时 阻力做的功 解答 物体的速度v x t bt3 3bt2 媒质阻力f阻 kv2 k 3bt2 2 9kb2t4 其中k为比例常数 k 0 当x 0时 t 0 当x a时 t t1 所以阻力做的功是 1 用定积分的定义求定积分的一般步骤 分割 近似代替 求和 取极限 要借助于求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程去体会定积分的基本思想 2 用微积分基本定理求定积分 关键是找到满足F x f x 的函数F x 即找被积函数的原函数 利用求导运算与求原函数运算互为逆运算 运用基本初等函数求导公式和四则运算法则从反方向上求出F x 3 利用微积分基本定理求定积分 有时需先化简 再积分 4 在利用定积分求平面图形的面积时 一般要先画出它的草图 再借助图形直观地确定出被积函数以及积分的上 下限 方法规律 5 要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开 定积分是一种积分和的极限 可为正 也可为负或零 而平面图形的面积在一般意义下总为正 因此当f x 0时要通过绝对值处理为正 一般情况下是借助定积分求出两个曲边梯形的面积 然后相加起来 例如 当函数f x 在区间 a b 上恒为正时 定积分的几何意义是以曲线f x 为曲边的曲边梯形的面积 一般情况下 定积分的几何意义是介于x轴 函数f x 的图象以及直线x a x b之间各部分面积的代数和 在x轴上方的面积取正号 在x轴下方的面积取负号 6 体会定积分的化归和逼近的思想方法 本题满分12分 原创题 如下图在区域 x y 2 x 2 0 y 4 中随机撒900粒豆子 如果落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比 试估计落在图中阴影部分的豆子数 解答 区域 的面积为S1 16 图中阴影部分的面积设落在阴影部分的豆子数为m 由已知条件即m 因此落在图中阴影部分的豆子约为600粒 答题模板 1 定积分是通过 分割 求和 取极限 的手段 解决了 以直代曲 以有限代替无限 的数学问题 它揭示了整个微积分