届高考数学专题复习精课件—导数的应用(2)(文)

导数的应用 导数的应用举例1 解 1 由已知f x 3x2 x 2 2 命题等价于f x 在 1 2 上的最大值小于m f 2 7 f x 在 1 2 上的最大值为7 7 m 故实数m的取值范围是 7 导数的应用举例2 已知函数f x x5 ax3 bx 1仅当x 1 x 1时取得极值 且极大值比极小值大4 求a b的值 解 f x 5x4 3ax2 b 又当x 1 x 1时f x 取得极值 f 1 f 1 0 即5 3a b 0 b 3a 5 代入f x 得 f x 5x4 3ax2 3a 5 x 1 x 1 5x2 3a 5 5x2 3a 5 0恒成立 仅当x 1 x 1时f x 取得极值 3a 5 0 故当x1时 f x 0 当 1 x 1时 f x 0 当x 1时 f x 取得极大值 当x 1时 f x 取得极小值 函数f x 的极大值比极小值大4 f 1 f 1 4 即 1 a b 1 1 a b 1 4 整理得a b 3 由 得a 1 b 3 故a b的值分别为 1 3 导数的应用举例3 解 1 由已知f x x2 4ax 3a2 0 a 1 a 3a 令f x 0得x a或x 3a 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由上表可知 f x 的单调递增区间是 a 3a 单调递减区间是 a 和 3a 当x a时 f x 取极小值f a 当x 3a时 f x 取极大值f 3a b 导数的应用举例3 解 2 0 a 1 2a a 1 f x max f a 1 2a 1 f x x2 4ax 3a2在 a 1 a 2 上为减函数 f x min f a 2 4a 4 当x a 1 a 2 时 恒有 f x a 即 a f x a恒成立 4a 4 a且2a 1 a 又0 a 1 故a的取值范围是 已知函数f x ax3 bx2 cx d在x 0处取得极值 曲线y f x 过原点和点P 1 2 若曲线f x 在点P处的切线与直线y 2x的夹角为45 且倾角为钝角 1 求f x 的解析式 2 若f x 在区间 2m 1 m 1 递增 求m的取值范围 导数的应用举例4 解 1 曲线y f x ax3 bx2 cx d过原点 f 0 0 d 0 f x ax3 bx2 cx f x 3ax2 2bx c 函数f x ax3 bx2 cx在x 0处取得极值 f 0 0 c 0 过点P 1 2 的切线斜率为f 1 3a 2b 而曲线f x 在点P的切线与直线y 2x的夹角为45 且倾角为钝角 解得f 1 3 又f 1 2 3a 2b 3且 a b 2 解得a 1 b 3 f x x3 3x2 已知函数f x ax3 bx2 cx d在x 0处取得极值 曲线y f x 过原点和点P 1 2 若曲线f x 在点P处的切线与直线y 2x的夹角为45 且倾角为钝角 1 求f x 的解析式 2 若f x 在区间 2m 1 m 1 递增 求m的取值范围 导数的应用举例4 解 2 由 1 知f x 3x2 6x 又由f x 0 x0 f x 的单调递增区间为 2 和 0 函数f x 在区间 2m 1 m 1 递增 2m 12m 1 0 2m 1 m 1 2 或 2m 1 m 1 0 导数的应用举例5 解 1 由已知f x 3x2 2ax 3 f x 在区间 1 上是增函数 在 1 上恒有f x 0 即3x2 2ax 3 0在 1 上恒成立 解得a 0 故实数a的取值范围是 0 由于f 0 3 0 f x 3x2 8x 3 在 1 4 上 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 f x 在 1 4 上的最大值是f 1 6 3 函数g x 与f x 的图象恰有三个交点 即方程x3 4x2 3x bx恰有三个不等实根 解得a 4 x 0是方程的一个根 方程x2 4x 3 b即x2 4x 3 b 0有两个非零不等实根 16 4 3 b 0且3 b 0 解得b 7且b 3 故实数b的取值范围是 7 3 3 导数的应用举例6 已知函数f x x3 3ax2 2bx在点x 1处有极小值 1 试确定a b的值 并求出f x 的单调区间 解 由已知可得 1 f 1 1 3a 2b 即3a 2b 2 又f x 3x2 6ax 2b 0 f 1 3 6a 2b 即6a 2b 3 f x 3x2 2x 1 导数的应用举例7 解 1 f f x f x2 c x2 c 2 c f x2 1 x2 1 2 c 2 x g x f x x4 2x2 2 x2 1 由f f x f x2 1 得 c 1 已知f x x2 c 且f f x f x2 1 1 设g x f f x 求g x 2 设 x g x f x 试问 是否存在实数 使 x 在 1 内为减函数 且在 1 0 内是增函数 f x x2 1 g x x2 1 2 1 x4 2x2 2 x4 2 x2 2 x 4x3 2 2 x 2x 2x2 2 x 在 1 内为减函数 x 0在 1 内恒成立 即2x2 2 0在 1 内恒成立 2 2x2在 1 内恒成立 当x 1 时 2x2 2 1 2 2 2 2 4 又 x 在 1 0 内为增函数 x 0在 1 0 内恒成立 即2x2 2 0在 1 0 内恒成立 2 2x2在 1 0 内恒成立 当x 1 0 时 2x2 2 1 2 2 2 2 4 由 知 4 故存在实数 其值为4 使 x 满足题设条件 导数的应用举例8 已知函数f x x3 ax2 b a b R 1 若a 1 函数f x 的图象能否总在直线y b的下方 说明理由 2 若函数f x 在 0 2 上是增函数 x 2是方程f x 0的一个根 求证 f 1 2 3 若曲线f x 上任意不同两点的连线的斜率小于1 求a的取值范围 1 解 当a 1时 令x 1得 f 1 1 1 b 2 b b 点 1 2 b 在函数图象上 且在直线y b的上方 函数f x 的图象不能总在直线y b的下方 另解 当a 1时 f x x3 x2 b f x 3x2 2x 函数f x 的图象不能总在直线y b的下方 导数的应用举例8 已知函数f x x3 ax2 b a b R 1 若a 1 函数f x 的图象能否总在直线y b的下方 说明理由 2 若函数f x 在 0 2 上是增函数 x 2是方程f x 0的一个根 求证 f 1 2 3 若曲线f x 上任意不同两点的连线的斜率小于1 求a的取值范围 2 证 x 2是方程f x 0的一个根 f 2 0即 8 4a b 0 b 8 4a 又f x 3x2 2ax 函数f x 在 0 2 上是增函数 a 3 f 1 1 a b 7 3a 2 即f 1 2 导数的应用举例8 已知函数f x x3 ax2 b a b R 3 若曲线f x 上任意不同两点的连线的斜率小于1 求a的取值范围 3 解 设P x1 y1 Q x2 y2 为曲线y f x 上任两点 x1 x2 曲线f x 上任意不同两点的连线的斜率小于1 x1 x2 x1x2 1 x1 x2 2 a x1 x2 恒成立 a2 3 0 导数的应用举例8 已知函数f x x3 ax2 b a b R 3 若曲线f x 上任意不同两点的连线的斜率小于1 求a的取值范围 另解 设P x1 y1 Q x2 y2 为曲线y f x 上任两点 不妨x1 x2 曲线f x 上任意不同两点的连线的斜率小于1 x1 x2 x1 x2 0 y1 y2 x1 x2 即f x1 f x2 x1 x2 f x1 x1 f x2 x2 记g x f x x 则g x1 g x2 g x 为R上的减函数 g x 0即 3x2 2ax 1 0对x R恒成立 a2 3 0 导数的应用举例9 1 m n 2 x m n 2 导数的应用举例9 对任意的x1 x2 m n 有 导数的应用举例10 解 设每月生产x吨的利润为y元 则x 0 且 x 200 200舍去 在 0 上只有一个点x 200使y 0 它就是最大值点 且最大值为 3150000 元 故每月生产200吨产品时利润最大 最大利润是315万元 导数的应用举例11 要利用铁丝网围成一个矩形养鸡场 现在铁丝网长为lm 只围三边 另一边为一道墙 问长和宽为多少时 才能使所围养鸡场面积最大 解 设长