广东惠州崇雅中学高中数学 232 双曲线的简单几何性质课件 新人教A选修

复习回顾 双曲线的标准方程 形式一 焦点在x轴上 c 0 c 0 形式二 焦点在y轴上 0 c 0 c 其中 双曲线的图象特点与几何性质 现在就用方程来探究一下 类似于椭圆几何性质的研究 Y X F1 F2 A1 A2 B1 B2 焦点在x轴上的双曲线图像 2 对称性 一 研究双曲线的简单几何性质 1 范围 关于x轴 y轴和原点都是对称 x轴 y轴是双曲线的对称轴 原点是对称中心 又叫做双曲线的中心 x y x y x y x y 下一页 顶点 3 顶点 1 双曲线与对称轴的交点 叫做双曲线的顶点 3 实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线 下一页 渐近线 4 渐近线 利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图 2 渐近线对双曲线的开口的影响 3 双曲线上的点与这两直线有什么位置关系呢 下一页 离心率 如何记忆双曲线的渐近线方程 5 离心率 e是表示双曲线开口大小的一个量 e越大开口越大 c a 0 e 1 4 等轴双曲线的离心率e X Y F1 F2 O B1 B2 A2 A1 焦点在y轴上的双曲线图像 焦点在y轴上的双曲线的几何性质口答 双曲线标准方程 Y X 双曲线性质 1 范围 y a或y a 2 对称性 关于x轴 y轴 原点对称 3 顶点 B1 0 a B2 0 a 4 轴 实轴B1B2 虚轴A1A2 A1 A2 B1 B2 5 渐近线方程 6 离心率 e c a F2 F2 o 如何记忆双曲线的渐进线方程 小结 或 或 关于坐标轴和原点都对称 例1求双曲线9y2 16x2 144的实半轴长和虚半轴长 焦点坐标 离心率 渐进线方程 例2 思考 一个双曲线的渐近线的方程为 它的离心率为 解 练习 1 2 的渐近线方程为 的实轴长虚轴长为 顶点坐标为 焦点坐标为 离心率为 4 的渐近线方程为 的渐近线方程为 的渐近线方程为 已知渐近线方程 不能确定a b的值 只能确定a b的关系 如果两条渐近线方程为 那么双曲线的方程为 当 0时 当 0时 当 0时 这里 是待定系数 共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴 虚轴为实轴 这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 通过分析曲线的方程 发现二者具有相同的渐近线 此即为共轭之意 双曲线焦点在x轴上 双曲线焦点在y轴上 即为双曲线的渐近线方程 1 性质 共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 2 如何确定双曲线的共轭双曲线 将1变为 1 练习 求出下列双曲线的标准方程 D A 2 求中心在原点 对称轴为坐标轴 经过点P 1 3 且离心率为的双曲线标准方程 1 过点 1 2 且渐近线为 的双曲线方程是 关于x轴 y轴 原点对称 图形 方程 范围 对称性 顶点 离心率 A1 a 0 A2 a 0 A1 0 a A2 0 a 关于x轴 y轴 原点对称 渐进线 F2 0 c F1 0 c 小结 椭圆与双曲线的性质比较 x a y b x a y R 对称轴 x轴 y轴对称中心 原点 对称轴 x轴 y轴对称中心 原点 a 0 a 0 0 b 0 b 长轴 2a短轴 2b a 0 a 0 实轴 2a虚轴 2b 无 例2双曲线型自然通风塔的外形 是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面 它的最小半径为12m 上口半径为13m 下口半径为25m 高55m 选择适当的坐标系 求出此双曲线的方程 精确到1m A A 0 x C C B B y 解 x y F O M 例5 点M x y 与定点F 5 0 的距离和它到定直线的距离的比是常数 求点M的轨迹 双曲线的第二定义 x 例6 如图所示 过双曲线的右焦点F2 倾斜角为30 的直线交双曲线于A B两点 求 AB A B 例6 如图所示 过双曲线的右焦点F2 倾斜角为30 的直线交双曲线于A B两点 求 AB A B 1 已知双曲线3x2 y2 3 直线l过其右焦点F2 与双曲线交于A B两点 且倾斜角为45 试问A B两点是否位于双曲线的同一支上 并求出线段AB的长 思路点拨 先写出直线方程 代入双曲线方程 利用根与系数的关系判断 利用x1x2 0判断点A B的位置是本题的难点 讨论直线与双曲线的位置关系 一般化为关于x 或y 的一元二次方程 这时首先要看二次项的系数是否等于0 当二次项系数等于0时 就转化成x 或y 的一元一次方程 只有一个解 这时直线与双曲线相交只有一个交点 当二次项的系数不为0时 利用根的判别式 判断直线与双曲线的位置关系 变式训练1 如果直线y kx 1与双曲线x2 y2 4没有公共点