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第七讲 二次根式的运算 式子 (0)叫二次根式,二次根式的运算是以下列运算法则为基础 (1) (0); (2) (); (3) (); (4)(0) 同类二次根式,有理化是二次根式中重要概念,它们贯穿于二次根式运算的始终,因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式,二次根式除法、混合运算常用到有理化概念二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的,常常用到有理式运算的方法与技巧,如换元、字母化、拆项相消、分解相约等例题求解【例1】 已知,则= (重庆市竞赛题) 思路点拨 因一个等式中含两个未知量,初看似乎条件不足,不妨从二次根式的定义入手 注: 二次根式有如下重要性质: (1),说明了与、一样都是非负数; (2) (0),解二次根式问题的途径通过平方,去掉根号有理化; (3) ,揭示了与绝对值的内在一致性著名数学教育家玻利亚曾说,“回到定义中去”,当我们面对条件较少的问题时,记住玻利亚的忠告,充分运用概念解题 提示:【例2】 化简,所得的结果为( )(武汉市选拔赛试题) A B CD思路点拔 待选项不再含根号,从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式提示:原式= (C) 【例3】计算: (1); (2); (3);(4) 思路点拨 若一开始就把分母有理化,则使计算复杂化,观察每题中分子与分母的数字特点,通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系,以此为解题的突破口(1)原式= (2)原式=(3)考虑一般情形原式(4)【例4】 (1)化简; (北京市竞赛题)(2)计算 (“希望杯”邀请赛试题)(3) 计算 (湖北省孝感市“英才杯”竞赛题)思路点拨 (1)把4+2万与42分别化成一个平方数化简,原式此外,由于4+2与42是互为有理化因式,因此原式平方后是一个正整数,我们还可以运用这一特点求解;原式(2) 原式(3)通过配方可以简化一重根号,本题的关键是就的取值情况讨论,解决含根号、绝对值符号的综合问题原式 【例5】 已知,求的值(山东省竞赛题)思路点拨 已知条件是一个含三个未知量的等式,三个未知量,一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试原式可化为:即,因此有,得;,得;,得。故。学历训练1如果,那么= 2已知,那么的值为 (成都市中考题)提示:原式3计算= (天津市选拔赛试题)原式4若 ab0,则等式成立的条件是 (淄博市中考题),即故,因此, ,5如果式子 化简的结果为,则x的取值范围是( B ) Ax1 Bx2 C1x2 Dx 0 (徐州市中考题)6如果式子 根号外的因式移入根号内,化简的结果为( C ) A B C D7已知,则的值为( D ) A B C D8已知,那么的值等于( )A B C D3 9计算: (1); (2); (3);(4) (“希望杯”邀请赛试题) 10(1)已知与的小数部分分别是a和b,求ab3a+4b+8的值; (2)设,n为自然数,如果成立,求n11如图,某货船以20海里时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处,经16小时的航行到达,到达后必须立即卸货此时,接到气象部门通知,一台风中心正以40海里时的速度由A向北偏西60方向移动,距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响 (1)问:B处是否会受到台风的影响?请说明理由;(2)为避免受到台风的影响,该船应在多少小时内卸完货物? (供选用数据:,) (贵阳市中考题)12已知,那么= (杯全国初中数学联赛题)13若有理数x、y、z满足,则= (北京市竞赛题)14设,其中a为正整数,b在0,1之间,则= 15正数m、n满足,则= (北京市竞赛题)16化简等于( ) A54 B4一1 C 5 D1 (全国初中数学联赛题)17若,则等于( ) (2004年武汉市选拔赛试题) A B C1 D118若都是有理数,那么和 ( ) (“希望杯”邀请赛试题) A都是有理数 B一个是有理数,另一个是无理数 C都是无理数 D有理数还是无理数不能确定19下列三个命题: 若,是互不相等的无理数,则+是无理数; 若,是互不相等的无理数,则是无理数; 若,是互不相等的无理数,则是无理数其中正确命题的个数是( ) A 0 B1 C2 D3 (全国初中数学联赛试题)提示:是有理数;答案A是有理数; 是有理数。20计算:(1); (2); (3);(4) ; (5) 提示:(1)原式;(2)原式; (3)先看通项故原式(4)原式; (5)原式21(1)求证;(2)计算(“祖冲之杯”邀请赛试题)提示:(1)因为,所以原式左边=右边(2)设,则原式22(1),求的值;(2)设x、y都是正整数,且使,求y的最大值 (上海市竞赛题)提示:(1)注意到,原可化为: 故=(2)设,23试将实数改写成三个正整数的算术根之和(2001年第2届全澳门校际初

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