2006年温州地区数学学科教学资料 不等式的性质2

算术平均数与几何平均数 1 引入新课 例题 某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池 其容积为4800m3 深为3m 如果池底每1m2的造价为150元 池壁每1m2的造价为120元问怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价是多少 重要不等式及其应用 一 重要不等式的推导 课题 ii 重要不等式1如果a b R 那么a b 2ab 当且仅当a b时取 号 以公式 1 为基础 运用不等式的性质推导公式 2 这种由已知推出未知 或要求证的不等式 的证明方法通常叫做综合法 i 如果a b R 那么有 a b 0 1 把 1 式左边展开 得a 2ab b 0 a b 2ab 2 2 式中取等号成立的充要条件是什么 公式 2 探索 设a b c R 依次对其中的两个运用公式 2 有 a b 2ab b c 2bc c a 2ca 把以上三式叠加 得a b c ab bc ca 3 当且仅当a b c时取 号 从以上推导过程中可以学到一种处理两项以上的和式问题的数学思想与方法 迭代与叠加 a b 2ab a b R 当且仅当a b时取 号 由于a b a b a ab b 启示我们把公式 2 变成a ab b ab 两边同乘以a b 为了得到同向不等式 这里要求a b 0 得到a b a b ab 4 重要不等式2如果a b c 0 那么a b c 3abc 当且仅当a b c时取 号 公式 3 再探索 考查两个以上实数的更高次幂的和 又能得到什么有趣的结果呢 考查三个实数的立方和又具有什么性质呢 由公式 3 的推导方法 再增加一个正实数c 对b c c a迭代 4 式 并应用公式 2 得2 a b c a b c b c a c a b a 2bc b 2ca c 2ab 6abc a b c 3abc 5 当且仅当a b c时取 号 a b 2ab a b R当且仅当a b时取 号 4 定理 定理1的推广如果a b c 0 那么 a b c 3 当且仅当a b c时取 号 定理1 如果a b 0 那么 a b 2 当且仅当a b时取 号 6 当且仅当a b时取 号 在公式 5 中用 分别替换a b c 可得 3a b c 3 a b c 3 7 当且仅当a b c时取 号 a b 2ab a b R当且仅当a b时取 号 问题 若a b都为正数 试比较与的大小关系 重要不等式及其应用 重要不等式1如果a b R 那么a b 2ab 当且仅当a b时取 号 重要不等式2如果a b c 0 那么a b c 3abc 当且仅当a b c时取 号 定理1的推论 如果a b c 0 那么 a b c 3 当且仅当a b c时取 号 5 两个概念 公式 如果a1 a2 an 0 且n 1 那么 a1 a2 an n叫做这n个正数的算术平均数 定理表明 两个正数的算术平均数不小于 即大于或等于 它们的几何平均数 a b 2ab a b R当且仅当a b时取 号 说明 公式 1 a b 2ab成立的条件是a b R 而均值不等式成立的条件是a b R 2 若把看作是正数a b的等差中项 看作是正数a b的等比中项 那么这个定理可叙述为 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 3 若以a b为直径作圆 在直径上取点C 使AC a CB b 过点C作垂直于AB的弦DE 连接AD BD 可知 4 不等式的变式有这些变式对我们今后解题会有很大的帮助的 例1 例3 已知a b c d都为正数 求证 课本 P11练习 如果a b c R 那么有 a b 0 a b 2ab a b