高中数学 2.2.2 反证法课件 新人教A版选修22.ppt

第二章推理与证明2 2 2反证法 温故迎新 1 直接证明的两种基本证法 综合法和分析法 2 这两种基本证法的推证过程和特点 由因导果 执果索因 3 在实际解题时 两种方法如何运用 通常用分析法寻求思路 再由综合法书写过程 综合法 已知条件 结论 分析法 结论 已知条件 路边苦李 王戎7岁时 与小伙伴们外出游玩 看到路边的李树上结满了果子 小伙伴们纷纷去摘取果子 只有王戎站在原地不动 伙伴问他为什么不去摘 小故事 3 王戎回答说 树在道边而多子 此必苦李 小伙伴摘取一个尝了一下 果然是苦李 王戎是怎么知道李子是苦的呢 他运用了怎样的推理方法 4 王戎的推理方法是 假设李子不苦 则因树在 道 边 李子早就被别人采摘而没有了 这与 多李 产生矛盾 所以假设不成立 李为苦李 5 证明 在一个三角形中至少有一个角不小于60 引例 已知 a b c是 abc的内角 求证 a b c中至少有一个不小于60 已知 a b c是 abc的内角 求证 a b c中至少有一个不小于60 证明 假设的三个内角 a b c都小于60 所以 a60 b60 c60 a b c 180 先假设结论的反面是正确的 然后通过逻辑推理 推出与公理 已证的定理 定义或已知条件相矛盾 说明假设不成立 从而得到原结论正确 这种证明方法就是 反证法 把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明 注 反证法是最常见的间接证法 一般地 假设原命题不成立 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明假设错误 从而证明了原命题成立 这样的证明方法叫做反证法 否定结论 推出矛盾 肯定结论即分三个步骤 反设 归谬 存真 反设 假设命题的结论不成立 存真 由矛盾结果 断定反设不成立 从而肯定原结论成立 归谬 从假设出发 经过一系列正确的推理 得出矛盾 归缪矛盾 1 与已知条件矛盾 2 与假设矛盾或自相矛盾 3 与已有公理 定理 定义 事实矛盾 反证法的思维方法 正难则反 例1 已知直线和平面 如果且 求证 a b 下面用反证法证明直线与平面没有公共点 假设直线与平面有公共点p 则 即点p是直线a与b的公共点 这与矛盾 所以 因为 而所以与是两个不同的平面 10 例2 证明 不可能成等差数列 注 否定型命题 命题的结论是 不可能 不能表示为 不是 不存在 不等于 不具有某种性质 等 常用反证法 证明 假设能成等差数列 则 两边平方得 化简得 两边平方得 此式显然不成立 所以假设错误 不可能成等差数列 例3求证 是无理数 练习 已知a 0 证明 关于x的方程ax b有且只有一个根 注 唯一性命题 命题的结论是 有且只有 只有一个 唯一存在 等 常用反证法 1 直接证明有困难 正难则反 归纳总结 哪些命题适宜用反证法加以证明 牛顿曾经说过 反证法是数学家最精当的武器之一 3 唯一性命题 2 否定性命题 4 至多 至少型命题 反证法的一般步骤 先假设命题的结论不成立 从假设出发 经过推理 得出矛盾 否定假设 肯定原命题 分清条件和结论 假设互补的两个角都大于90 假设 abc中 至少有两个钝角 3 若a2 b2 则a b 假设a b 1 求证 若一个整数的平方是偶数 则这个数也是偶数 假设这个数是奇数 可以设为2k 1 证 则有 而 不是偶数 这与原命题条件矛盾 所以原命题成立 1 知识小结 反证法证明的思路 假设命题的结论不成立 正确的推理 得出矛盾 否定假设 肯定待证明的命题 2 难点提示 利用反证法证明命题时 一定要准确而全面的找出命题结论的反面 至少 的反面是 没有 最多 的反面是 不止 准确地作出反设 即否定结论 是非常重要的 下面是一些常见