现代控制原理精华总结

1 状态空间表达式 状态方程和输出方程的总和即称为状态空间表达式 它构成对一个系统动态行为的完整描述 Y 输出向量u 输入向量A 系数矩阵B 控制矩阵 输入矩阵 C 输出矩阵D 直接矩阵状态方程 由系统的状态变量与输入变量之间的关系构成的一阶微分方程组 状态变量 能完全表示系统运动状态的最小个数的一组变量 系统状态变量的数目是惟一的如果矩阵A B C D中的所有元素都是实常数时 则称这样的系统为线性定常 LTI 系统 如果这些元素中有些是时间t的函数 则称系统为线性时变系统 2 由系统微分方程求其状态空间表达式步骤1 假设初始条件为零 将系统微分方程的拉氏变换2 移项变为系统的传递函数3 拼凑分开输入输出变量4 反拉氏变换 写出输入输出微分方程5 用X替换Z 写出X 和Y的含X的微分方程6 将微分方程改写为矩阵形式7 画模拟结构图 传递函数 系统初始松弛 即 初始条件为零 时 输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比 1 3 3传递函数 矩阵 描述和状态空间描述的比较1 传递函数是系统在初始松弛的假定下输入 输出间的关系描述 非初始松弛系统 不能应用这种描述 状态空间表达式即可以描述初始松弛系统 也可以描述非初始松弛系统 2 传递函数仅适用于线性定常系统 而状态空间表达式可以在定常系统中应用 也可以在时变系统中应用 3 对于数学模型不明的线性定常系统 难以建立状态空间表达式 用实验法获得频率特性 进而可以获得传递函数 综上所示 传递函数 矩阵 和状态空间表达式这两种描述各有所长 在系统分析和设计中都得到广泛应用 2 化矩阵A为约当形 如果矩阵A有重特征值 并且独立特征向量的个数小于n 这时不能化为对角阵 只能化为约当形 例1 7将矩阵化为对角阵 解 解出 变换矩阵 求线性变换的目的 将系统矩阵变成为标准形 便于求解状态方程 系统输出向量对输入向量的脉冲传递函数矩阵 解 脉冲传递函数矩阵 状态空间表达式的模拟结构图 一阶标量微分方程的结构模拟图 1从状态空间表达式画系统模拟框图 例1 4系统状态方程式为 求系统传递函数 解 例1 5线性定常系统状态空间表达式为 求系统的传递函数矩阵 解 例2 1线性定常系统的齐次状态方程为 求其状态转移矩阵 解 例3 16系统方程如下 要求按能控性进行结构分解 经过线性变换后 例4 2系统的状态方程如下 判别系统稳定性 解 选取Lyapunov函数 显然是正定的 即满足 当 有 故系统是一致大范围渐进稳定的 例4 3系统的状态方程为 其中 a为大于零的实数 判别系统的稳定性 显然它是正定的 即满足 可见 当和任意的时 有 而和任意时 又因为 只要变化就不为零 因此在整条状态轨线上不会有 因此 是一致渐进稳定的 当 有 故系统是一致大范围渐进稳定的 例4 4系统的状态方程为 其中 k为大于零的实数 分析系统平衡状态的稳定性 显然它是正定的 即满足 而 由定理4 3可知 为Lyapunov意义下一致稳定 解系统的平衡状态为 选取Lyapunov函数 显然它是正定的 即满足 而 由定理4 4可知 是不稳定的 例4 6线性定常系统的状态方程为 判别系统的稳定性 解得 有 可见 P为正定的矩阵 故为大范围一致渐近稳定的 例4 7线性定常离散系统的状态方程如下 试判别其稳定性 解得 例5 1某位置控制系统 伺服系统 简化线路如下 为了实现全状态反馈 电动机轴上安装了测速发电机TG 通过霍尔电流传感器测得电枢电流 即 已知折