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文档简介

正 弦 定 理 一 引入 c b a 引例 为了测定河岸a点到对岸c点的距离 在岸边选定1公里长的基线ab 并测得 abc 120o bac 45o 如何求a c两点的距离 1 特例 在rt abc中 c 90 是否成立 初中学过锐角三角函数定义 sina sinb c 90 易证 2 能否推广到斜三角形 证明一 传统证法 在任意斜 abc当中 两边同除以 即得 3 用向量证明 证二 过a作单位向量 垂直于 两边同乘以单位向量 则 同理 若过c作 垂直于 得 当 abc为钝角三角形时 设 a 90 过a作单位向量 垂直于向量 则 与 的夹角为a 90 与 的夹角为90 c 同样可证得 这就是说 对于锐角三角形 直角三角形 钝角三角形来说 上面的关系式均成立 因此 我们得到下面的定理 二 正弦定理 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 即 1 正弦定理的叙述 在一个三角形中 各边和它所 对角的正弦比相等 即 它适合于任何三角形 2 可以证明 r为 abc外接圆半径 3 每个等式可视为一个方程 知三求一 三 正弦定理的应用从理论上正弦定理可解决两类问题 1 两角和任意一边 求其它两边和一角 2 两边和其中一边对角 求另一边的对角 进而可求其它的边和角 例一 在 abc中 已知 a 45 c 30 a 45 c 30 求b 保留两个有效数字 例二 在 abc中 已知 b 28a 40 求b 精确到1 和c 保留两个有效数字 例三 在 abc中 已知 b 50a 38 求b 精确到1 和c 保留两个有效数字 解 已知b a 所以b a 因此b也是锐角 三 小结 正弦定理 两种应用 已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解 见图示 c c c c a b a a a b b b a b b b a a a a a bsina一解 bsina a b两解 一解 a bsina一解 解斜三角形 讨论已知两边和一边对角的斜三角形的解 a为钝角或直角 a为锐角 a b a b a b a bsina a bsina a bsina 一解 无解 一解 无解 一解
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