2016年第57届imo中国国家队选拔考试试题(pdf版)

2016 年第 57 届 IMO 中国国家队选拔考 试 目录目录 第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试一 第一天 2016 年 3 月 15 日上午 8 00 12 30 4 第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试一 第二天 2016 年 3 月 16 日上午 8 00 12 30 5 第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试二 第一天 2016 年 3 月 20 日上午 8 00 12 30 6 第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试二 第二天 2016 年 3 月 21 日上午 8 00 12 30 7 第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试三 第一天 2016 年 3 月 25 日上午 8 00 12 30 8 第 57 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试三 第二天 2016 年 3 月 26 日上午 8 00 12 30 9 3 57 2016 3 15 8 00 12 30 1 如图 在圆内接六边形 中 若线段 内一点 满足 证明 A E C B D K F 2 求最小的正实数 使得对任意三个复数 1 2 3 1 若 1 2 3 0 则 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3 2 3 给定整数 2 设集合 1 2 0 1 1 2 对任意元素 1 2 1 2 定义 max 1 1 max 2 2 max min 1 1 min 2 2 min 求 的非空真子集 的元素个数的最大值 使得对任意 均有 我们的教育宗旨 教会学生怎么学习怎么思考 4 57 2016 3 16 8 00 12 30 4 设整数 2 数列 满足 1 1 1 2 证明 对于每个整数 2 存在 的素因子 使得对 1 1 有 5 如图所示 四边形 内接于圆 的内角平分线相交于点 的内角平分 线相交于点 直线 不经过点 且与边 的延长线分别交于点 与边 分别交于点 线段 的中点分别为 证明 O A D B C J I R P Q S M N 6 设 为整数 2 是一个 元整数集合 证明 至少有 2 1个子集 每个子 集的元素和均被 整除 这里空集的元素和约定为 0 我们的教育宗旨 教会学生怎么学习怎么思考 5 57 2016 3 20 8 00 12 30 1 如图所示 为锐角 内一点 分别是 关于 的对称点 的延长线与 的外接圆分别交于点 证明 的外接圆交于除 外的另一点 A BC P F E D L M N 2 求最小的正数 使得对平面上任意 12 个点 1 2 12 允许重合 若它们中任意两点之 间的距离不超过 1 则有 1 12 2 3 设 是一个由有限个素数组成的集合 是一个无限正整数集合 其中每个元素均有不在 中的素因子 证明 存在 的无限子集 使得 的任意一个有限子集的元素和均有不在 中 的素因子 我们的教育宗旨 教会学生怎么学习怎么思考 6 57 2016 3 21 8 00 12 30 4 设正整数 2 其中 为非负整数 为奇数 定义 1 证明 对任意正整数 及任意正奇数 1 是 的整数倍 5 是否存在两个无限正整数集合 使得任意正整数 均可唯一地表示成 1 1 的形式 这里 是一个依赖于 的正整数 1 是 中的元素 1 是 中的 元素 6 如图 圆内接四边形 的对角线相交于点 存在一个圆 与 的延长 线分别相切于点 圆 经过 两点 且与圆 外切于点 证明 A B D C P X Z Y T S 我们的教育宗旨 教会学生怎么学习怎么思考 7 57 2016 3 25 8 00 12 30 1 设 为大于 1 的整数 为实数 0 0 设 2 1 2 1 证明 若正数 满足 对某个 则 8 1 2 直角坐标平面上横坐标与纵坐标都是有理数的点称为有理点 对任意正整数 是否可将全 体有理点用 种颜色来染色 每个点染一种颜色 使得在任意一条两个端点都是有理点的线段 上 每种颜色的有理点均出现 3 如图 圆内接四边形 中 分别是 的内心 以 为直径的圆与线段 交于点 与 的延长线交于点 证明 若 四点共圆 则 关于 对称 A B D C I J X Y 我们的教育宗旨 教会学生怎么学习怎么思考 8 57 2016 3 26 8 00 12 30 4 设 均为正整数 其中 1 1 已知存在一个正整数 使得 mod 对所有整数 成立 证明 上式对一切正整数 均成立 这里 为正整数 在 进制表示下的数码之和 5 设 是平面上的一个有限点集 其中任意三点不共线 且 的凸包 是 2016 边形 1 2 2016 将 中的每个点标上 1 2 这四个数之一 满足对 1 2 1008 点 和 1008处所标 记的数是相反数 以 中的点为顶点作一些三角形 使得任意两个三角形无公共内点 并且这些三角形的并 集是 证明 一定存在其中一个三角