《最短路径问题》论文.doc

人教版最短路径问题课例的探究永顺县溪州中学 彭善玉 联系电邮编416700关键字： 最短路径 微课 将军饮马问题 建立数学模型 几何画板摘要：以最短路径问题为例，渗透微课，体现微课的价值及作用。整堂课以学生为主体，老师为主导；学生自主探究学习，合作探究学习为方法，注重团队意识的发展。以数学史中的经典问题“将军饮马问题”为载体，通过举一反三，层层递进引出“最短路径问题”的四种模型，用转化法解决，教师用微课提示并展示答案。渗透德育：先辈们用艰苦奋斗换来了现在的和平幸福，我们应倍加珍惜、热爱祖国、努力学习、回馈社会。 正文：最短路径问题是经常遇到现实问题之一，“两点之间线段最短”“垂线段最短”是初中阶段几何部分的主要的知识基础，有时还需借助轴对称、平移、旋转等变化进行研究。 本课以“将军饮马问题”为载体举一反三，层层递进展开最短路径问题的研究，让学生把实际问题抽象为数学问题，转化为数学模型，利用轴对称将陌生问题转化熟悉问题，运用“两点之间线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”的知识点来解决，进一步体验实际问题数学化的过程和数学的转化思想。1.目标及解析(1) 在探索最短路径问题的过程中,加深对“两点之间线段最短”知识点的理解与掌握(2) 体验实际问题数学化，数学问题模型化的过程解决问题，掌握探索最短路径问题的思想和方法.(3) 在数学学习活动中获得成功的体验,激发学习兴趣,感受到数学与现实生活的密切联系.2.目标解析达成目标(1)的标志是:学生能利用轴对称、平移将问题转化为两点之间线段最短问题.达成目标(2)的标志是:学生能运用模型思想建立数学模型,经历最短路径问题的探究过程.达成目标(3)的标志是:学生课堂气氛活跃,能积极进行参与课堂活动,产生学习数学的兴趣.重点： 将实际问题转化成数学问题，运用轴对称解决生活中路径最短的问题，确定出最短路径的方法。 难点： 找出解决最短路径的方案，画出最短路径，说出作图原理。.分析诊断问题（1）最短路径问题从本质上说是最值问，作为初中生，此前很少在几何中接触最值问题，解决这类问题的数学经验明显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题更是感到陌生，无从下手。（2）解决“两个定点A、B在直线l的同侧时，如何在直线l上找到动点C，使AC十BC最小”需要将其转化为“两个定点A、B在直线l的异侧时，如何在直线l上找到动点C，使AC十BC最小”的问题，为什么要转化、怎样转化、具体如何操作学生都有困难。（3）在证明作法的合理性时，要在直线上任取异于点C的另一点C证明所连线段和大于所求作线段和，这种思路、方法学生想不到。教学过程 （一）情境导入1.通过图片观察分析对比路程的远近；观看视频：高速公路的发展缩短路程减少时间的体验导入课题：最短路径问题 【问题】你能比较图片1中从山脚到山顶两条路的远近吗？图片2中走近路踩草坪是一种不文明的行为，你能用数学知识解释这一行为存在的理由吗？视频中解决的实际问题是什么？怎样解决的？师生活动: 师生交流，板书课题.教师关注: 学生能否答出路直了，距离缩短， 学生观察、分析、发现问题的能力的培养设置意图：通过图片、视频导入新课，渗透德育，引导学生不践踏草坪。 2.有一位将军骑马从A点的军营返回河对岸B点的家中，途中要经过一条小河l(这里忽略河的宽度），让马去河边饮水，该如何选择路线，让将军回家的路程最短？ A l B 最短路径的基本模型：两定点在一直线的异侧【问题】你能把实际问题抽象成数学问题（数学化）、建立数学模型（模型化），并解决吗？说出这样做的理由。师生活动: 师生交流，画出最短路径的基本模型：两定点在一直线的异侧教师关注: 学生能否答出两点之间，线段最短 学生观察、分析、提炼出最短路径的基本模型：两定点在一直线的异侧设置意图：复习旧知“两点之间，线段最短”，这是求解最短路径问题的基本原理。同时为新知探究埋下伏笔。 (二）新知探究 战争开始，将军不得不把军营搬过河，将军每天还是要饮马回家，将军走到河边什么位置才使他的路程最短？（将军饮马问题）lC 两定点在一直线的同侧【问题1】你能将实际问题数学化并建立数学模型吗?师生活动: 板书数学模型、分析数学问题,师生共同反馈交流.教师关注: 学生能否独立建立数学模型. 学生动手实践能力的培养.设计意图: 让学生经历将实际问题数学化、建立数学模型的过程,体会转化与化归思想。 （三）交流展示（2）（1） （3）（4）问题：怎样走路程最短？为什么？【问题】你能利用已有知识,确定将军到河边的什么地方饮马能使其所走的路径最短吗?画图说明.师生活动: 学生独立思考,作出图形并与同学交流，通过量一量、 比一比发现作图方法及原理.学生展示画法,教师利用微课（几何画板）进行计算验证.师生共同运用班班通展示并阐述作图过程.教师关注: 学生不同的作图方法的收集，学生数学语言表达、运用的准确性,对转化与化归思想方法的理解及轴对称、两点之间线段最短等知识的运用.设计意图: 培养学生数学思想方法的运用和综合与实践的提升,经历观察、实验、猜测并证明的过程.预设问题：若学生没有想到办法，引导学生对比上一幅图，发现若两点在直线异侧，很容易在l上确定饮马地点。如何把两点转化到直线两侧呢？活动任务：让学生感受实际问题数学化，数学问题模型化的过程。活动要求：1.先独立思考，再合作交流。 2.然后由同学代表展示，并说出方法。预设学生1、可能用作垂线的方法(1)(2)预设学生2、也可能会正确的方法(3）预设学生3、也可能会用垂足中点的方法(4）此环节组织学生以小组为单位进行展示，结合学生的回答，教师适时引导学生发现证明线段大小的方法。若学生无法想到转化为三角形三边关系的方法，添加预设问题，启发学生去探索本节课的重要数学思想-转化思想。预设问题：量一量，比一比。而比较线段大小问题，我们常用的方法是将线段转移到一个三角形中，在这个题中大家体验一下。活动任务：体会利用轴对称进行线段转移。 活动要求：1.先自己画，再小组交流画法，并进行测量比较。 2.小组交流之后，汇总小组意见，做好发言准备。交流展示：让学生综合意见，准备展示，根据学生的解答，教师适时引导学生发现利用数学化、模型化思想，把比较线段大小问题化为三角形三边关系的问题。 教师在学生展示完后提问：平面内位于直线同侧两个点，如何在直线上找到一个点，使得两点到直线上这点距离之和最小？我们刚才用到了什么方法进行了验证？设置意图：针对不同层次的学生，要适当的引导学生把线段问题转化为三角形问题，鼓励学生深入领会转化的本质。师生活动: 教师用微课与学生交流、总结、展示作图过程与证明过程。教师关注: 学生数学语言表达、运用的准确性,书写过程的规范性与逻辑性。设计意图: 让学生体验如何用数学语言与人交流。（四）整合提升回顾知识点：轴对称的画法及性质，两点之间线段最短，并利用三角形三边关系进行证明。（五）综合应用1.战争胜利了，人民安居乐业，将军解甲归田，但跟随征战多年的战马，将军每天要从军营A去草地牧马，再到小河边饮马，然后回军营A，如何走才能使其路程最短？ 一定点在两相交直线内部设计意图：通过此题，让学生再次体验抽象问题具体化、实际问题数学化、复杂问题简单化、陌生问题熟悉化的转化思想，并逐步形成建模的思想。同时引出第三种最短路径模型。设计意图：课后写出证明，留下思考空间，用以复习巩固 归纳小结 活动要求： 小组合作探究，鼓励学生积极思考、主动探讨、勇于尝试、大胆创新。设计意图：让学生深刻的感受到合作交流的重要性，体会成功的喜悦。（六）检测巩固 1. 2. 3.改革开放了，人民的生活得到大幅改善，将军为其战马修建了马营A，也住进了高楼大厦家B，将军每天要从马营去草地牧马，再到河边饮马，然后回家，如何走才能使其路程最短？设计意图：采用分层布置作业，让不同水平的学生得到不同的发展，培养学生的思维灵活性及成就感，从而贯彻因材施教的原则。题目难度逐步提升，第1、2题知识迁移，复习巩固，并用微课展示答案。第3题变式应用，发展创新思维、举一反三，同时回归主题，渗透德育。（七）作业布置93;第15题结束语：兵荒马乱的年代已经过去，先辈们用艰苦奋斗换来了现在的和平幸福，我们应倍加珍惜、热爱祖国、努力学习、回馈社会。 （八）课后反思：通过本节课教学，我受益匪浅，现总结如下：1.问题设计要有启发性。在设计问题的时候不可以设计无用的问题，要让学生真正有所思考，并且经过思考可以得到结论，在设计问题的时候也不要设计太难的问题，打击学生的积极性，要把难的问题分解，解剖成简单的小问题一步步来解决。2.课堂引入，要有承上启下的作用。复习旧知，引出新知，让所学知识形成体系成为知识链。这节课的引入就做到了这一点。3.授课的过程中应该环环相扣，一步步上，要把所讲问题分解，化大为小，化难为易，化繁为简，降低难度，就像是上台阶，一级级的上。4.注重形成数学