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初、高中数学衔接第一课时：乘法公式【学习要求】理解乘法公式的特点，掌握乘法公式的变形并能熟练运用.【要点梳理】1. 两数和平方公式：2. 两数差平方公式：3. 两数和立方公式：4. 两数差立方公式：5. 平方差公式：6. 立方和公式：7. 立方差公式：（前4个公式左边是乘积式，右边是代数和；后3个左边是代数和，右边是乘积式；可适当介绍杨辉三角，说明系数、幂指数、次数排列特点；公式联系：补充：）【例题分析】例1：应用乘法公式计算：（1）；（2）；（3）解：（1）原式=（2）原式=（3）原式= = = （方法二、=）说明：以上各题不能直接利用公式计算，可以经过提负号、加括号、运用交换律、结合律等方法将它们转化为 利用乘法公式的形式.例2：已知，试用含的式子表示下列各式.（1）； （2）； （3）.解：（1）；（2）；（3）或.例3.：已知，试用含的式子表示下列各式.（1）； （2）.解：（1）将的两边同时平方，得，即 （2） 说明：例2、例3是乘法公式的变形应用，抓住所给式子的特征，利用乘法公式进行恒等变形使之能利用已知条件.【巩固练习】用乘法公式进行计算（1）； （2）；（此题形式已接近最简，可不要） 两种方法，先打开，再做减法，或用立方差公式（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）.（参考答案：（2） （3）（4） （5） （6）（7） （8） （9） （10）第二课时：因式分解【学习要求】 理解多项式的因式分解的概念，掌握因式分解的方法，能根据多项式的特点灵活应用各种方法进行分解.【要点梳理】1. 因式分解的基本方法：提取公因式法、应用公式法、分组分解法以及十字相乘法；2. 因式分解的一般步骤：提取公因式法应用公式分组分解；3. 归纳整理：对二项式，一般可以使用平方差公式或立方和（差）公式进行分解.若两个公式皆可使用，以先使用平方差公式比较方便； 对三项式，可以先考虑使用公式，如果不能用公式，则应考虑配方法或十字相乘法； 对四项式或四项以上的多项式一般需要运用分组分解法进行分解。【例题分析】例1. 分解下列因式： （1）； （2）解：（1）原式=（2）原式=例2.分解下列因式：（1）； （2）；（3）； （4）.解：（1）原式=（2）原式=（3）原式=（4）原式=说明：看清多项式的特征，若有公因式先提取公因式，再看是否具有乘法公式的特点，注意最后结果的整理.例3.分解因式：（1）； （2）解：（1）原式= =（2）原式= =说明：提取公因式是因式分解的基础，必须首先提出公因式，使下一步易于分解.对二项式，在用公式或都可以分解时，应先用进行分解比较方便.（1）中若先分解成就比较麻烦了.例4.分解因式：解：原式=设，则原式=说明：此题若将四个因式相乘展开，将会得到四次式，不利于分解，因而采取两个因式相乘，使所得的积的二次项与一次项分别相同（都等于），再应用换元法，把高次式（的四次式）降为低次式（的二次式），从而得到结论.【巩固练习】把下列各式分解因式：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）.（参考答案：（1） （2）（3） （4） （5） （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12）第三课时：根式和分式的化简与运算【学习要求】理解根式、分式的意义.掌握根式的基本性质，能熟练准确进行根式、分式的化简与运算.【要点梳理】1.如果是一个根式，那么就有 ；当为奇数时，； 当为偶数时，.2.正数的正的次方根，叫做的次算术根，记作，为大于1的自然数.3.分子（母）有理化：；4.分式拆分：； 5.繁分运算：.【例题分析】例1.化简下列各式：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）若，化简.解：（1）原式=（2）原式=（3）原式=（4），原式=（5），原=说明：（1）（2）是在“根式中的字母取值后要使根式有意义”的前提条件下进行化简的，这个前提条件要从已给根式分析而得出；（3）（4）（5）是在给定条件和根式有意义的情况下进行化简，要分清它们的联系与区别.例2.计算：（1）； （2）；（3）； （4）.解：（1）原式=（2）原式=（3）原式=（4）原式= =说明：根式运算首先要把根式化为最简根式，再根据根式的基本性质进行运算.最简根式应满足条件：根号内不含分母；根号内不含有能提出的因子；被开方数的幂指数和根指数是互质数.例3：当时，求的值.解：，且说明：代入求值时，应先将代数式化简或适当变形，以简化运算，对所给字母的值，也应先化简再代入.对于形如的根式开平方运算，可以用观察法或配方法求得.就是设，则.然后用观察法或配方法解这个方程组，得到与的值.例4.计算：（1）； （2）.解：（1）原式=（2）原式= =说明：分式的运算是在分式有意义的情况下进行的.在运算时，一般先把分子、分母按照某一字母的降幂（或升幂）排列好，使首项均变为正数，分子、分母有公因式时要进行约分，约分时，要把分式的分子和分母都化成因式的积，才能进行，运算的结果要化成最简分式.例5.已知，试确定的值.解：将右式进行恒等变形： , 根据两个多项式恒等，它们的对应项系数必相等.有： ，解得.【巩固练习】1.计算： （1）；（2）； （3）.2.已知，试确定的值.3.计算：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）.4.已知：，求的值（参考答案：1.（1）2 （2） （3） 2. 3.(2)-1 (3) (4)0 (5) 4.）第四课时：方程和方程组（1）【学习要求】 1. 理解解方程的基本思想降次消元。2. 掌握无理方程和分式方程的解法。【要点梳理】1. 解各类方程（组）的基本思想是通过将次或消元，把它们化为一元一次方程求解；2. 解分式方程的基本方法是把它转化为整式方程，解此整式方程，最后进行检验；3. 解无理方程的基本方法是把它转化为有理方程（整式或分式方程），然后解此方程，最后进行检验.【例题分析】例1: 解方程：.解：去分母，得 整理，得 得 ， 经检验，为增根，所以原方程的解是.说明：解分式方程在方程两边同乘以含有未知数的整式时，往往会产生增根，所以验根是解分式方程必不可少的步骤.例2：解方程：.解： 令，原方程变形为 ， 解得：由， 得，无实根.由， 得.经检验，是原方程的根.例3.解方程：.解：令，则. 解方程得.由，得.由，无实根。经检验，是原方程的根.说明：上例若采用平方的方法去掉根号会增加解题的难度，不易求解.【巩固练习】解下列方程（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）.（参考答案（1）3，-3 （2）1，-1，-4，-6 （3）2,1.5 （4）0,1,9 （5） （6）,2，-4（7） （8）第五课时：方程和方程组（2）【学习要求】 掌握一元一次方程和一元二次方程根的讨论方法.【要点梳理】1.一元一次方程根的讨论： 当时，方程的解为； 当时，若，方程无解；若，方程有无数个解，是一切实数.2.一元二次方程根的讨论：（1）根的判别式 当判别式时，有两个不相等的实数根； 当判别式时，有两个相等的实数根；当判别式时，没有实数根.（2）韦达定理：方程的两根有.【例题分析】例1：若方程有唯一解、有正数解、有零解、无解、有无数多个解时，试求m满足的条件？解：原方程化为 当时，方程有唯一解 所以方程若有正数解，必须满足； 若有零解，必须满足；若无解，则须满足；若有无数多个解，则须满足例2：已知关于的方程有两个实数根，求的范围.解：要使方程有两个实根，必须且只需： 即解不等式组，得. 或.说明：已知有两个实数根，则方程必然为一元二次方程，故二次项系数不为0（即）.例3.已知关于的方程的两个根的差的平方是16，求的值.解：设方程的两个根分别为，则只须满足 ， ， 例4： 已知关于的方程，其中为实数，若是方程的两个实数根，且，求的值.解：根据一元二次方程根与系数的关系有：，即，但一元二次方程有实根的条件是，得因此舍去， .说明：本题在求得时，容易遗漏的条件，应引起重视.因为韦达定理只是阐明了根与系数的关系，而它并不能保证该方程有实根.例5：已知二次方程，不解这个方程，求出：（1）两个根的倒数的和； （2）两个根的平方和；（3）两个根的立方和； （4）两个根的差的平方；（5）两个根的差的绝对值.解：设方程的两个根分别为，则 ，故（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【巩固练习】1.已知方程；（1）当为何值时，方程的根不小于1；（2）当取何整数时，方程的根为正整数.2.是什么实数时，方程有两个实数根.3.不解方程，试判别方程的根的情况.4.设二次方程的一个根是时，求另一个根及的值.5. 为何值时，方程的两根互为相反数.（参考答案：1.（1） （2）2,3,4,7 2.3.当时，有两个实数根4.另一个为， 5.）第六课时：函数及其图像 【学习要求】1. 理解一次函数、二次函数、反比函数的性质，并会画其图像。2. 掌握用描点法画函数图像、用待定系数法求函数解析式的两种基本技能。3. 掌握配方法。【要点梳理】1. 函数的概念：自变量的取值范围、函数值的集合、对应法则。2. 懂得：两个独立条件可以确定（画出）一次函数（一次函数图像）； 具备三个条件可以确定二次函数，四点一线画二次函数图像；3. 初步体会研究函数的思想：从图像的特点得出函数的性质，再由函数的解析式来说明这些性质的合理性。4. 配方法。【例题分析】 例1：已知一次函数的图像经过点（1，2）、（3，2）两点。（1）试求这个函数的解析式；（2）这个函数是增函数还是减函数？为什么？（3）当x取什么值时，函数值大于零？等于零？小于零？ 指出：用待定系数法确定一次函数的解析式，作出其图像即可求解。例2：作下列函数的图像： （1） （2） （3） （4）指出：做二次函数的图像应抓住“一线四点”，一线即对称轴，四点即顶点、与两轴的交点，并依据对称性作出其示意图。例3：求函数： （1）x为全体实数时y的取值范围； （2）当时y的取值范围； （3）当时y的取值范围； （4）比较的大小。例4：求符合下列条件的二次函数：（1）顶点（3，3），且过点（1，1）； （2）过（1，0），（7，0）和（3，8）三个点；（3）过点（1，1），对称轴是直线，且在x轴上所截弦长为。（1） （2） （3）【巩固练习】1. 已知函数，当x取何值时，（1）；（2）；（3）；并画出这两个函数的图像加以说明。2. 画出下列函数的图像： （1） （2） （3）3. 已知，求为何值时 的图像与x轴有两个交点？一个交点？没有交点。4. 已知，求为何值时 的图像的顶点位置最高，并求出此时的定点的纵坐标。（时，纵坐标为2）第七课时 几种重要的数学方法【学习要求】 理解并掌握配方法、换元法和待定系数法。【要点梳理】 1. 配方法它的基本思想是运用完全平方公式。 2. 换元法它的基本思想是利用“字母代式”的观念。3. 待定系数法的理论根据是多项式恒等定理。4. 消元的基本方法有代入法和加减消元法【例题分析】l 配方法是代数式的一种很重要的恒等变形方法，在二次三项式中，以二次项与一次项（或 常数项）为出发点，配上适当的常数项（或一次项），使原来的二次项与新配一项构成一个完全平方式，最终使原来的二次三项式变形成为完全平方式与某一个常数（或一次项）之和，这种方法叫做配方法。例1：（1）若的三边，满足，试判断的类型。（2）当，分别取何整数时，能使等式成立。解：（1）因为 ， 即 ： 所以 则 所以为等边三角形。 （2）由 ，施行分组配方，得 所以 说明：对于（1）要掌握其配方的方法，对于（2）要理解为什么要实施配方，这是因为由一个等式确定三个未知数的值，需要变为一个三元方程组。由（1）（2）知实行分组配方，要求等式左边是完全平方式的和，右侧为0。l 换元法，又叫变量替换法，也叫设辅助元法，引入新的变量替换原式中的某些量，使原式变形为只含有新变量的式子，然后对新变量进行变形、化简或计算，求出新变量的结果，再回待求出原变量的结果，这种解决问题的数学方法叫做换元法。换元法的最大优点是能化高次式为低次式；化分式为整式；化无理式为有理式；化超越式为代数式，换元法还能起“媒介”与“传递”作用，把已知与未知联系起来，使未知转化为已知，从而使得问题得到顺利地解决。例2： （1）分解因式：（2）解关于x的方程：（3）解方程组： 解：（1）设，则原式，所以 （2）设 ， 则原方程变为 解得 即 这样由高阶方程转化为一次分式方程，可以求解。(3) 设 ，则由原方程组得 用加减消元法求解即可。说明：换元法要注意所换元的取值范围。l 待定系数法是数学中重要的方法之一，在解决某类问题时，若这问题的关系式类型能确定，可以先用 某些字母表示所需要确定的系数，然后根据一些条件或要求来确定这些系数，从而解决问题，这样的方法 叫做待定系数法。 例3：已知，试确定的值。解：去分母，整理得 所以有 解方程组得 l 解方程组的基本思想是消元，变“多元”方程为一元方程，基本方法有代入消元法和加减消元法。解二元二次方程组主要是通过联合运用“消元”和“降次”两种基本思想进行求解的。主要方法有代入消元法、加减消元法以及因式分解法。注意控制难度，要求知道理解即可。例4：解下列方程组： 解: 代入消元法 由（2），得 （3） 代入（1）,整理得 所以 将代入（3）,得 ， 将代入（3）,得 ，所以 本题的特点是两个方程中至少有一个可以因式分解，现将分解因式，得 所以原方程组的解相当于下列两个方程组的解【巩固练习】1. 解方程： 2. 分解因式：3. 已知,试确定的值。4. 解方程组：（参考答案：2. 3.4.或或或）第八课时 三角形、四边形、圆中有关的问题【学习要求】理解并掌握三角形、四边形、圆中有关的问题。【要点梳理】1. 三角形“五心”和性质：三角形的三条高线相交于一点，这点称为三角形的垂心；三角形的三条中线相交于一点，这点称为三角形的重心，它到顶点的距离等于到对边中点的距离两倍；三角形三个内角的平分线相交于一点，这点称为三角形的内心，即为三角形内切圆的圆心。内心到各边的距离相等，即为三角形内切圆的半径；三角形的三边的垂直平分线相交于一点，这点称为三角形的外心，即为三角形外接圆的圆心。外心到各顶点的距离相等，即为三角形外接圆的半径；三角形一个内角与另外两个外角的平分线相交于一点，这点称为三角形的旁心，即为三角形旁切圆的圆心。旁心到各边的距离相等，即为三角形旁切圆的半径，三角形的旁切圆有3个；2. 三角形面积公式： 3. 直角中，为直角，斜边上的高为，则4. 平行四边形的概念与性质两组对边分别平行的四边形称为平行四边形；平行四边形的对边相等，对角相等，