3 2 1一元二次不等式的概念、解法及其应用ppt课件

3 2一元二次不等式及其解法 1 从实际问题中 抽象出一元二次不等式模型 理解一元二次不等式及其解集的概念 理解二次函数 一元二次方程与一元二次不等式三个二次之间的关系 2 进行数形结合思想 函数与方程的思想等数学思想方法的训练 1 一元二次不等式的概念 我们把只含有一个未知数 且未知数的最高次数是2的不等式叫做 使一元二次不等式成立的叫做一元二次不等式的解集 一元二次不等式 未知数的取值范围 2 一元二次不等式的解法 一元二次不等式经过变形 可以化成以下两种标准形式 1 ax2 bx c 0 a 0 2 ax2 bx c 0 a 0 上述两种形式的一元二次不等式的解集 可通过方程ax2 bx c 0的根确定 设 b2 4ac 则 0时 方程ax2 bx c 0无实数根 则不等式 1 的解集为R 不等式 2 的解集为 对于二次项系数是负数 即a 0 的不等式 可以先依据不等式的性质把二次项系数化成正数 再参照上述两种形式求解 也可以直接参照a 0的情形画出图象 对比图象上的正负值区间写出解集 3 一元二次不等式的解集 一元二次方程的根 二次函数图象三者之间的关系如下表 5 一元高次不等式的解法 数轴标根法 1 将不等式通过移项分解因式化为f x a x x1 x x2 x xn 0 或 0 的形式 其中xk k 1 2 n 是方程的n个不同的根 且每个因式中x的系数为1 2 将n个不同的根标在数轴上 然后穿线 穿线时从轴上最右边一个根开始 由x轴上方向下穿过第一个根然后向左依次自下而上 自上而下画一条曲线连续穿过n个根 3 数轴上方的曲线对应区间就是f x 0的解集 数轴下方的曲线对应区间就是f x 0的解集 4 如果分解因式后有重根 则 奇过偶不过 即乘方指数是奇数的画线时穿过x轴 乘方指数是偶数的 画线时到此根对应x轴上点后返回 不穿过去 重点 1 一元二次不等式的解法 函数与方程的思想 数形结合的思想 2 从实际问题中抽象一元二次不等式模型 通过图象讨论一元二次不等式的解法 培养数形结合思想 难点 1 三个二次之间的关系 2 分式不等式向整式不等式转化 含绝对值号的不等式 可分段去掉绝对值号讨论 也可采用两边平方法 应据题目特点选取方法 高次不等式一般分解因式后用标根法解决 解不等式组 要利用数轴与图象的直观 熟练运用集合的交 并运算 2 是 与 的组合体 相应解集是不等式解集与方程解集的并集 3 解一元二次不等式的步骤 对相应一元二次方程的根的情况作出判断 有根的求出根 画相应二次函数的简图 与x轴有交点的将根值标上 根据图象写出一元二次不等式的解集 4 二次函数y ax2 bx c a 0 二次方程ax2 bx c 0 a 0 和二次不等式ax2 bx c 0 a 0 及ax2 bx c 0 a 0 三者之间的关系为 从函数观点来看 一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的解集 就是二次函数y ax2 bx c a 0 在x轴上方部分的点的横坐标x的集合 ax2 bx c 0 a 0 的解集 就是二次函数y ax2 bx c a 0 在x轴下方部分的点的横坐标x的集合 从方程观点来看 一元二次方程的根是二次函数与x轴交点的横坐标 一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的解集 就是大于大根 或者小于小根的实数的集合 ax2 bx c 0 a 0 的解集 就是大于小根 且小于大根的实数的集合 关键是二次函数的零点 就是相应二次方程的根 也是相应二次不等式的解集的分界点 ax2 bx c 0的解集就是y ax2 bx c的函数值为正值的区间 ax2 bx c 0的解集就是y ax2 bx c的函数值为负值的区间 使y 0的是方程的根 使y 0 或y 0 的是不等式的解集 5 解一元二次不等式的程序框图如下 一元二次不等式为标准形式ax2 bx c 0 其中a 0 6 不等式的解集要用集合表示 包括区间 7 借助现代信息技术画图 观察图象上任一点纵坐标变化情况 直观理解 例1 求函数y x2 x 2的零点 并回答当x取何值时y 0 当x取何值时y 0 解析 令y 0即x2 x 2 0 x 1或x 2 此二次函数的零点为1和 2 作出函数y x2 x 2的图象可见 当x 2或x 1时 y 0 当 2 x 1时 y 0 合作探究使不等式3x2 2x 2 3x成立的x的取值范围是 分析 由例1知 移项后 使一边为二次函数 另一边为0 就可以利用二次函数的正负值找出y 0和y 0对应的x的取值范围 也就是不等式的解集 1 不等式9x2 6x 1 0的解集为 2 不等式x2 4x 5 0的解集为 2 9 0 方程x2 4x 5 0无实数解 函数y x2 4x 5的图象是开口向上的抛物线 与x轴无交点 所以不等式的解集为 点评 1 通过上述几例可知 当a 0时 解形如ax2 bx c 0 0 或ax2 bx c 0 0 的一元二次不等式 一般分为三步 1 确定方程ax2 bx c 0的根 2 画出对应函数y ax2 bx c图象的简图 3 由图象得出不等式的解集 2 二次函数的简图在草纸上可不画y轴 画示意图以提高解题速度 例2 解不等式 2x2 x 1 0 分析 按照例1的解法 可先求出方程的根 再结合图象写出解集 也可以先把二次项系数化为正数求解 点评 一般地 对于a 0的一元二次不等式 可以直接采取类似a 0时的解题步骤求解 也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式 再求解 不等式 x2 4x 4 0的解集为 答案 解析 不等式可化为x2 4x 4 0 x2 4x 4 x 2 2 0 不等式解集为 合作探究已知一元二次不等式ax2 bx 1 0的解集为 x 2 x 1 则a b 分析 由于一元二次不等式解集的分界点是相应二次方程的两根 所以解答就从这个关系入手 解析 由于ax2 bx 1 0的解集为 x 2 x 1 所以二次函数y ax2 bx 1 a 0 的图象是开口向下的抛物线 且与x轴交于两点 2 0 1 0 所以 2和1是方程ax2 bx 1 0的两根 由韦达定理 得 点评 注意知识之间的内在联系 例3 解关于x的不等式 0 x2 x 2 4 分析 上述不等式含有两部分 x2 x 2 0和x2 x 2 4 因此原不等式的解集是这两部分解集的交集 解析 先解x2 x 2 0 方程x2 x 2 0的根为x1 1 x2 2 函数y x2 x 2的图象开口向上 x2 x 2 0的解集为 x x 1 或x 2 再解x2 x 2 4 不等式化为x2 x 6 0 方程x2 x 6 0的两根为x3 2 x4 3 函数y x2 x 6的图象开口向上 x2 x 6 0的解集为 x 2 x 3 所以原不等式的解集为 x x 1 或x 2 x 2 x 3 x 2 x 1 或2 x 3 例4 某热带风暴中心B位于海港城市A东偏南30 的方向 与A市相距400km 该热带风暴中心B以40km h的速度向正北方向移动 影响范围的半径是350km 问 从此时起 经多少时间后A市将受热带风暴影响 大约受影响多长时间 解这个不等式得 3 75 x 6 25 A市受台风影响的时间为6 25 3 75 2 5 故在3 75小时后 A市会受到台风的影响 时间长达2 5小时 汽车在行驶中 由于惯性作用 刹车后还要向前滑行一段距离才能停住 我们称这段距离为 刹车距离 刹车距离是分析事故的一个重要因素 在一个限速40km h以内的弯道上 甲 乙两车相向而行 发现情况不对 同时刹车 但还是相碰了 事后现场测得甲车的刹车略超过12m 乙车的刹车略超过10m 又知甲 乙两种车型的刹车距离s m 与车速x km h 之间有如下关系 s甲 0 1x 0 01x2 s乙 0 05x 0 005x2 问 超速行驶应负主要责任的是谁 解析 要分清谁是应付主要责任者 就需分析行车速度 要弄清速度问题 就要利用刹车距离函数与实测数据 构建数学模型 由题意列出不等式甲 0 1x 0 01x2 12乙 0 05x 0 005x2 10 x 0 解得x甲 30km h x乙 40km h 经比较知乙车超过限速 应付主要责任 例5 解关于x的不等式56x2 ax a2 0 答案 A 例7 解不等式 2x3 x2 5x 2 0 答案 A 答案 B 答案 A 4 2010 2011 内蒙古田家炳中学高二期中 已知集合A x x2 2x 31 答案 B 解析 A x 3 x 1 B x x a A B a 1 故选B 二 填空题5 已知集合A x x2 x 6 0 B x 0 x a 4 若A B 则实数a的取值范围是 答案 1 a 2 6 二次不等式ax2 1 2a x a 1 0的解集为R的条件是 7 不等式 x2 4 x 6 2 0的解集是 答案 x 2 x 2或x 6 解析 当x 6时 x2 4 x 6 2 0成立 当x 6时 x 6 2 0 不等式等价于x2 4 0 2 x 2 原不等式的解为 2 x 2或x 6 9 不等式