高中数学总复习数学.doc

此文档收集于网络，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除数学：一、 函数、方程、不等式1、 二次函数与二次方程及二次不等式（一） 形式：一般式 顶点式 两点式（二） 定义域:（三） 值域当时，当时，（四） 单调性的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值 其中的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值（五） 奇偶性不是奇函数，当b=0时，函数图像关于y轴对称，是偶函数（六） 最值在顶点处有最值，a0时为 最小值，a1，且u 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。当是奇数时，当是偶数时，2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，u 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1）；（2）；（3）（二） 指数函数及其性质（1） 形式：（2） 定义域与值域 （3） 单调性当a1时，单调递增当0a10a1时递增当0a10a1定义域x0定义域x0值域为R值域为R在R上递增在R上递减函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）（5） 平移4、 幂函数1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴5、 三角函数（一） 定义（在以原点为圆心，单位1长度为半径的圆里面定义）（1）已知角的终边经过点P(5，12)，则的值为。（答 ：）；（2）是第三四象限角，则的取值范围是_ （答 ：（1，）；（二） 三角函数线（1）若，则的大小关系为_(答 ：)；（2）若为锐角，则的大小关系为_ （答 ：）（3）函数的定义域是_（答 ：）（三） 同角的三角函数的基本关系 做题时一定要考虑 x的取值范围（1）已知，则_（答 ：）（2）已知，则_；_（答 ：；）；（3）已知，则的值为_（答 ：1）。（四） 诱导公式sin（+）=sin sin（）=sincos（+）=cos cos（）=costan（+）=tan tan（）=tansin（）=sin sin（/2+）=cos cos（）=cos cos（/2+）=sin tan（）=tan tan（/2+）=cotsin（/2）=cos sin（3/2+）=coscos（/2）=sin cos（3/2+）=sintan（/2）=cot tan（3/2+）=cotsin（3/2）=cos cos（3/2）=sin tan（3/2）=cot（1）的值为_（答 ：）；（2）已知，则_，若为第二象限角，则_。（答 ：；）（五） 两角的正弦，余弦，正切公式及倍角公式两个角的关系正弦：sin(+)=sincos+cossin, sin(-)=sincos-cossin.余弦：cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsin正切：tan(+)=tan(-)= 倍角关系sin2=2sincoscos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2万能公式（1）下列各式中，值为的是 A、 B、C、 D、（答 ：C）；（2）命题P：，命题Q：，则P是Q的A、充要条件 B、充分不必要条件C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 （答 ：C）；（3）已知，那么的值为_（答 ：）；（4）的值是_（答 ：4）；(5)已知，求的值（用a表示）甲求得的结果是，乙求得的结果是，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是_（答 ：甲、乙都对）（六） 正弦函数，余弦函数（1）若函数的最大值为，最小值为，则_，（答 ：或）；（2）函数（）的值域是_（答 ：1, 2）；（3）若，则的最大值和最小值分别是_ 、_（答 ：7；5）；（4）函数的最小值是_，此时_（答 ：2；）；（5）己知，求的变化范围（答 ：）；（6）若，求的最大、最小值（答 ：，）。（A）周期性： (1)若，则_（答 ：0）；(2) 函数的最小正周期为_（答 ：）；(3) 设函数，若对任意都有成立，则的最小值为_（答 ：2）（B）奇偶性与对称性：（1）函数的奇偶性是_（答 ：偶函数）；（2）已知函数为常数），且，则_（答 ：5）；（3）函数的图象的对称中心和对称轴分别是_、 （答 ：、）；（4）已知为偶函数，求的值。（答 ：）（C）单调性： 形如的函数：，的图象如图所示，则_（答 ：）；（1）函数的图象经过怎样的变换才能得到的图象？（答 ：向上平移1个单位得的图象，再向左平移个单位得的图象，横坐标扩大到原来的2倍得的图象，最后将纵坐标缩小到原来的即得的图象）；(2) 要得到函数的图象，只需把函数的图象向_平移_个单位（答 ：左；）；（3）将函数图像，按向量平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出；若不唯一，求出模最小的向量（答 ：存在但不唯一，模最小的向量）；（4）若函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点，则的取值范围是（答 ：）（5）研究函数性质的方法：1）函数的递减区间是_（答 ：）；2）的递减区间是_（答 ：）；3）设函数的图象关于直线对称，它的周期是，则A、 B、在区间上是减函数C、D、的最大值是A（答 ：C）；4）对于函数给出下列结论：图象关于原点成中心对称；图象关于直线成轴对称；图象可由函数的图像向左平移个单位得到；图像向左平移个单位，即得到函数的图像。其中正确结论是_（答 ：）；5）已知函数图象与直线的交点中，距离最近两点间的距离为，那么此函数的周期是_（答 ：）的周期都是, 但的周期为，而，的周期不变；（七） 三角函数与三角形正弦定理，余弦定理在ABC中，正弦定理：余弦定理：中，若，判断的形状（答 ：直角三角形）。（1）中，A、B的对边分别是，且，那么满足条件的 A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定（答 ：C）；（2）在中，AB是成立的_条件（答 ：充要）；（3）在中， ，则_（答 ：）(4)在中，分别是角A、B、C所对的边，若，则_（答 ：）；（5）在中，若其面积，则=_（答 ：）；（6）在中，这个三角形的面积为，则外接圆的直径是_（答 ：）；(7)在ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，= ，的最大值为 （答 ：）；（8）在ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是 （答 ：）；（9）设O是锐角三角形ABC的外心，若，且的面积满足关系式，求（答 ：）6、 其他特殊函数7、 函数的综合应用二、 立体几何1、 平面的基本性质公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.根据上面的公理，可得以下推论.推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.2、 空间线面的位置关系及判定（一）、直线与直线（1）共面：（平行无公共点；相交有且只有一个公共点）判定：定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a,a，=b,则ab.平行于同一直线的两直线平行，即若ab,bc,则ac.垂直于同一平面的两直线平行，即若a，b，则ab两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若,=b,则ab如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若=b,a,a，则ab.（2）异面：既不平行，也不相交判定：证明两条直线是异面直线通常采用反证法.有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”（3）垂直判定：定义：若两直线成90角，则这两直线互相垂直.一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若bc,ab,则ac一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a,b，ab.三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a,b,则ab.三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若,，,且=a,=b,=c，则ab，bc，ca（二）、直线与平面（1）直线在平面内直线的任意两点在平面内（2）直线与平面平行定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若a,b，ab,则a.两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若,l，则l.如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行.即若,l，l，则l.在一个平面同侧的两个点，如果它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面平行，即若A，B，A、B在同侧，且A、B到等距，则AB.两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若,a，a，a，则.如果一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即若a,b，ba，则b.如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面内)，即若ab,a,b(或b)（3）直线与平面垂直定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若m，n，mn=B,lm,ln,则l.如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若la,a,则l.一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若,l，则l.如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若,a=，l，la,则l.如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若,且a=,则a.（三）平面与平面（1）平面与平面平行判定：定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b，ab=P,a,b,则.垂直于同一直线的两平面平行.即若a,a,则.平行于同一平面的两平面平行.即若,则.一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a,b,c,d,ab=P,ac,bd,则.（2）平面与平面垂直判定：定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角a=90.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l,l，则.一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即若，则.3、 射影及有关性质(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.(3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.(4)射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；（iii）垂线段比任何一条斜线段都短.4、 空间中的各种角 （一） 异面直线所成的角求法：（1）转化为共面直线再求（2）建立空间直角坐标系（二） 直线与平面所成的角(1)定义 和平面所成的角有三种：(i) 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角(ii)垂线与平面所成的角 直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0的角.(2)取值范围090(3)求解方法作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角.解含的三角形，求出其大小.建立空间直角坐标系（三） 二面角及二面角的平面角(1)半平面 直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角 条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角的取值范围是0180(3)二面角的平面角以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图，PCD是二面角-AB-的平面角.平面角PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.二面角的平面角具有下列性质：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB平面PCD.(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD，平面PCD.找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定义法(ii)垂面法(iii)三垂线法()根据特殊图形的性质(4)求二面角大小的常见方法先找(或作)出二面角的平面角，再通过解三角形求得的值.利用面积射影定理S=Scos其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，为二面角的大小.利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.建立空间直角坐标系5、 空间的各种距离（一） 点到平面的距离(1)定义 面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.(2)求点面距离常用的方法：1)直接利用定义求找到(或作出)表示距离的线段；抓住线段(所求距离)所在三角形解之.2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.3)体积法其步骤是：在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；由V=Sh，求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.4)转化法将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求.（二） 直线到平面的距离(1)定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.(2)求线面距离常用的方法直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之.作辅助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离（三） 异面直线的距离(1)定义 条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.(2)求两条异面直线的距离常用的方法定义法 题目所给的条件，找出(或作出)两条异面直线的公垂线段，再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.转化法 为以下两种形式：线面距离面面距离等体积法最值法射影法公式法（四） 平行平面的距离(1)定义 个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.(2)求平行平面距离常用的方法直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.把面面平行距离转化为线面平行距离，再转化为线线平行距离，最后转化为点线(面)距离，通过解三角形或体积法求解之.三、 解析几何（直线与圆）（一） 求圆的方程（1） 已知三点求圆（2） 待定系数法求圆（3） 已知圆心所在的方程与点求圆（4） 轨迹求圆例1、 点（0,2）是圆x+ y=16内的定点，点B、C是这个圆上的两个动点，若BA CA，求线段BC中点M的轨迹方程。例2、 求与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且被直线yx截得的弦长为的圆的方程。例3、已知圆C的圆心在直线：xy10上，且与直线：4x+3y+14=0相切，又圆C截直线：3x4y100所得的弦长为6，求圆C的方程。（二） 弦长1、 点差法2、 垂径定理法例1、已知直线:与圆:.(1)判断直线圆的位置关系;(2)求直线被圆所截得的弦长.例2、已知圆C: ,直线:mx-y+1-m=0(1)求证：对mR，直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）设l与圆C交于A，B两点。若AB的绝对值=根号17。求l的倾斜角大小；（3）求弦AB的中点M的轨迹方程。（三） 求切线（1） 点在圆上（2） 点在圆外（3） 斜率为k（四） 求最值（1） 直线系与圆求弦的最值（2） 几何意义1） 斜率2） 截距3） 方程求交点例1、已知M（x，y）是圆C：上任意一点 求：1、y/x的取值范围 2、y-x的取值范围例2、已知圆C：，直线：(2m+1)x+(m+1)y7m40(mR).(1)证明：对mR，直线与圆C恒相交于两点；（2）求直线被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值。例3、已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线L过定点A(1,0)1.若L与圆相切，求L的方程2.若L与圆相交于P.Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时L的方程（五） 交点弦四、 概率统计（一） 随机事件的概率（1） 随机事件A发生的可能性大小的度量（数值），称为事件A发生的概率，记作（2） 从频率的性质看概率的性质记一个事件A在次重复试验中，发生的次数，则其发生的频率为 （二）