高考数学总复习（整合考点+典例精析+深化理解）第四章 第三节平面向量的数量积课件 理.ppt

第三节平面向量的数量积 第四章 例1 2013 广州二模 对于任意向量a b c 下列命题中正确的是 a a b a b b a b a b c a b c a b c d a a a 2 平面向量的数量积的概念 自主解答 解析 a b a b cos a b a b a b a错误 根据向量加法的平行四边形法则 a b a b 只有当a b同向时取 b错误 a b c是向量 其方向与向量c相同 a b c 与向量a的方向相同 c错误 a a a a cos0 a 2 d正确 故选d 答案 d 点评 在使用向量的数量积运算法则时 要注意与实数运算法则的区别 不要盲目照搬实数的运算法则 对向量数量积的性质 要注意在特殊情况下的数量积公式的不同形式 1 设a b是两个非零向量 a 若 a b a b 则a bb 若a b 则 a b a b c 若 a b a b 则存在实数 使得b ad 若存在实数 使得b a 则 a b a b 变式探究 解析 利用向量运算法则 特别是 a 2 a2求解 由 a b a b 知 a b 2 a b 2 即a2 2a b b2 a 2 2 a b b 2 a b a b a b a b cos a b cos a b 1 a b 此时a与b反向共线 因此a错误 当a b时 a与b不反向也不共线 因此b错误 若 a b a b 则存在实数 1 使b a 满足a与b反向共线 故c正确 若存在实数 使得b a 则 a b a a 1 a a b a a 1 a 只有当 1 0时 a b a b 才能成立 否则不能成立 故d错误 答案 c 求向量的数量积 例2 已知 a 4 b 3 2a 3b 2a b 61 1 求a与b的夹角 2 求 a b 3 若 a b 求 abc的面积 自主解答 解析 1 2a 3b 2a b 61 4 a 2 4a b 3 b 2 61 又 a 4 b 3 64 4a b 27 61 a b 6 点评 两个向量a b的数量积a b是一个实数 而不是向量 其中计算数量积的关键是正确确定 的取值范围是 0 变式探究 2 在边长为1的正三角形abc中 设 答案 向量的数量积的坐标运算 例3 已知向量a 1 2 b 2 2 1 设c 4a b 求 b c a 2 若a b与a垂直 求 的值 3 求向量a在b方向上的投影 解析 1 a 1 2 b 2 2 c 4a b 4 8 2 2 6 6 b c 2 6 2 6 0 b c a 0 a 0 2 a b 1 2 2 2 2 1 2 2 由于a b与a垂直 2 1 2 2 2 0 解得 3 设向量a与b的夹角为 向量a在b方向上的投影为 a cos a cos 点评 向量a在b方向上的投影为 a cos 为a与b的夹角 而 a cos 故向量a在b方向上的投影为 将此结论作为一个公式记忆 变式探究 3 2012 淮南模拟 若向量a 2 1 b 3 x 若 2a b b 则x的值为 a 3b 1或3c 1d 3或1 b 4 2012 山东实验中学诊断 abc的外接圆的圆心为o 半径为1 若 在向量方向上的射影的数量为 则向量 解析 由已知可以知道 abc的外接圆的圆心在线段bc的中点o处 因此 abc是直角三角形 且 a ac 1 故 在向量 方向上的射影的数量为 答案 a 故选a 两个向量垂直的充要条件的应用 例4 已知a cos sin b cos sin 0 1 求证 a b与a b互相垂直 2 若ka b与a kb的模相等 求 其中k为非零实数 1 证明 a b a b a2 b2 a 2 b 2 cos2 sin2 cos2 sin2 0 a b与a b互相垂直 2 解析 ka b kcos cos ksin sin a kb cos kcos sin ksin 又k 0 cos 0 而0 点评 两个向量的垂直关系问题 通过向量的数量积转化为实数运算问题 因此 解决向量垂直问题的关键不在数量积公式的使用 而在代数或三角的运算 变式探究 5 2013 梅州二模 已知a 3 2 b 1 0 向量 a b与a 2b垂直 则实数 的值为 解析 已知a 3 2 b 1 0 向量 a b与a 2b垂直 a b a 2b 0 即 3 1 2 1 2 0 3 1 4 0 故选a 答案 a 向量模公式 a 2 a2的应用 例5 已知a b满足 a b a b a b 1 求 3a 2b 解析 由 a b a b 得 a b 2 3 a b 2 即 a b 2 3 a b 2 a2 2a b b2 3 a2 2a b b2 8a b 2a2 2b2 2 a 2 2 b 2 4 点评 在向量的非坐标运算中 向量的数量积与向量模的转化公式 a 2 a2起着相当重要的作用 在解题中要善于根据已知条件灵活运用公式进行转化 变式探究6 已知向量a与b的夹角为120 3 则等于 a 5b 4c 3d 1 解析 a b 2 a2 b2 2a b 13 a 2 b 2 2 a b cos120 13 b 2 3 b 4 0 b 4或 b 1 舍去 故选b 答案 b 7 已知向量a b满足a b 0 a 0b 2c 4d 8 求向量的夹角 或其函数值 例6 2012 佛山市二模 设向量a b满足 a 1 b 2 a a b 0 则a与b的夹角是 a 30 b 60 c 90 d 120 解析 由a a b 0得a b a2 a 2 1 cos a b a b 60 故选b 答案 b 点评 1 利用向量夹角公式时 不一定要求出 a b 和a b的值 只要能得出它们的关系也可以求出比值 2 求角时 注意向量夹角的取值范围是 0 若题目给出向量的坐标表示 可直接套用公式cos a b