凸函数定义及其应用.doc

湖南第一师范学院毕业论文题目凸函数的等价定义和凸函数的应用学生姓名 学号指导教师系部名称专业班级完成时间2012.04.20湖南第一师范学院教务处制本科毕业论文凸函数的等价定义和凸函数的应用学生姓名：系部名称：专业名称：指导教师：毕业论文(设计)作者声明1本人提交的毕业论文(设计)是本人在指导教师指导下独立进行研究取得的成果。除文中特别加以标注的地方外，本文不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的成果。对本文研究做出重要贡献的个人与集体均已在文中明确标明。2本人完全了解湖南第一师范学院有关保留、使用学位论文的规定，同意学院保留并向国家有关部门或机构送交本文的复印件和电子版，允许本文被查阅、借阅或编入有关数据库进行检索。同意湖南第一师范学院可以采用影印、打印或扫描等复制手段保存和汇编本文，可以用不同方式在不同媒体上发表、传播本文的全部或部分内容。3湖南第一师范学院在组织专家对毕业论文(设计)进行复审时，如发现本文抄袭，一切后果均由本人承担，与学院和毕业论文指导教师无关。作者签名： 日期：二一 年 月 日湖南第一师范学院毕业设计（论文）成绩评定表系（部） 专业班级 学生姓名 学 号 课 题 凸函数的等价定义和凸函数的应用 一、指导教师评阅意见指导教师评语（主要对学生毕业论文（设计）的工作态度，研究内容与方法，工作量，文献应用，创新性，实用性，科学性，文本（图纸）规范程度，存在的不足等进行综合评价）：建议成绩：_ 指导教师签字： 年 月 日二、评阅人评阅意见评阅人评语（主要审查文本质量，包括设计思路、理论观点、知识应用能力、创新能力、外语水平以及文本、图纸的规范性等）：建议成绩：_ 评阅人签字： 年 月 日三、答辩成绩评定答辩记录及意见：答辩成绩：_ 答辩委员会（组长）签字： 年 月 日四、综合评定等级成绩评定等级：系（部）毕业设计（论文）领导小组组长（签字）： 年 月 日复审评定：专家（签字）： 年 月 日注：复审评定由学院组织专家抽查、评定。摘 要凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen1905著述中。它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用。现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制学等学科的理论基础和有力工具。本文主要是给出了凸函数六种等价定义及几个分析性质。由于凸函数的定义是由不等式给出的，基于此，凸函数对证明某些特殊的不等式是颇为行之有效的，所以在第四章探讨了它在Jensen不等式、一般不等式 、Cauchy不等式、Holder不等式证明中的重要应用。关键词：凸函数；等价定义；詹森不等式；赫尔德不等式；柯西不等式ABSTRACTConvex function is a kind of important function, its concept forms most early in Jensen 1905 in the writing. It has numerous applications in broad fields of pure Mathematics and applied Mathematics. Convex function is now plays important theoretical basic and useful tools to many subjects such as mathematical planning theory ,response theory,numerical econmonmics,change hours theory and sub-optimal control and so on.In this paper ,we mainly presents the six equivalent definitions of convex function and some properties of.Because the convex function is defined by the inequality given, based on this, the convex function to prove some special inequalities is quite effective, So we discusses it in the Jensen inequality, inequality, Cauchy inequality, Holder inequality proof application in the fourth chapter.翻译结果重试抱歉，系统响应超时，请稍后再试 支持中英、中日在线互译 支持网页翻译，在输入框输入网页地址即可 提供一键清空、复制功能、支持双语对照查看，使您体验更加流畅Key words: convex function; Equivalent definition; Jensen inequality; Holder Inequality; Cauchy inequality IV毕业论文 凸函数的等价定义和凸函数的应用目 录摘 要IIIAbstractIV第一章 引言1第二章 凸函数的定义及性质2 2.1 定义2 2.2 凸函数的分析性质2第三章 关于凸函数的六个等价定义6第四章 凸函数在不等式中的应用94.1 Jensen不等式9 4.2 一般不等式10 4.3 Cauchy不等式114.4 Holder不等式12第五章 结束语14参考文献15致谢16 V第一章 引言凸函数是一类常见的重要函数，有着十分广泛的应用，比如凸函数与连续性，可导性之间的联系，凸函数在不等式证明方面的应用，使得在函数逼近，误差估计方面有着重要作用。不同数学教材中常常会给出不同的定义。凸函数的性质及其应用是初等数学和高等数学乃至函数论等数学分支研究的重要内容之一，在高中数学教学中，利用凸函数的性质是证明不等式的一种重要的方法与手段. 对于培养学生的形数结合能力、逻辑推理能力和分析问题解决问题的能力，具有重要的实际意义. 因此，掌握好凸函数的概念、性质以及应用是我们每一个数学教学工作者必须具备的基本素质。 许多数学文献对于凸函数的定义往往仅介绍一种，其性质的介绍也不很完整，本文就凸函数的定义与等价定义、凸函数的性质及其在不等式证明中的应用进行系统的阐述。第二章 凸函数的定义及性质在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸函数，例如数学分析、函数论、泛函分析、最优理论当中。常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线的下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线每一点切线或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数。2.1定义上面对上、下凸函数做了直观的描述，现在我们用数学分析式子给出精确定义。定义2.1.1 如果函数在上连续，对上任意不同的两点有，则称在a,b是上凸的，即为上的上凸函数。定义2.1.2 如果函数在上连续，对上任意不同的两点有，则称在a,b是下凸的，即为上的下凸函数。注 （1）若将定义2.1.1中的改为“”，则称为区间上的严格上凸函数。（2）若将定义2.1.2中的改为“”，则称为区间上的严格下凸函数。2.2 凸函数的几个分析性质引理2.2.1若直线过点的直线方程为 ，则有 ， 其中定理2.2.2 若在上为下凸函数，则有，其中 (1)证明 由下凸函数的定义，第二个不等式显然成立，又 （此处与引理2.2.1定义相同） 故 定理2.2.3 若在上为下凸函数，任取 ，有 （2）证明：由下凸函数的定义 （3） 由 得 同样通过不等式的变换可以得到（2）的第二部分。即（2）得证。定理2.2.4 若在上为下凸函数，则在上有界。证明 任取 ,则有令 相应地令 故在上有界。定理2.2.5 若在上为下凸函数，则在上连续.证 任取,取充分小，使，由定理2.2.3，当时， 有当时， 有故 故 ，所以 在上连续。定理2.2.6 若在上为下凸函数，则在上可积，且 （4）证 由定理2.2.5，在上最多除外连续，故在上可积，将等分为个小区间，取 有 又故有第三章 关于凸函数的六个等价定义定义3.1.1 设函数在区间内有定义，在区间内连续若对任意，有 则称在区间内的上凸函数。若对任意，有 则称在区间内的下凸函数。定义3.1.2 设函数在区间内有定义若对任意，有则称在区间内的上凸函数。若对任意，有则称在区间内的下凸函数。定义3.1.3 设函数在区间内有定义若对任意，有则称在区间内的上凸函数。若对任意，有则称在区间内的下凸函数。定义3.1.4 设函数在区间内有定义，若对任意，对任意 有 则称在区间内的上凸函数。若对任意，对任意 有 则称在区间内的下凸函数。定义3.1.5 设函数在区间内有定义，若对任意，且 有 则称在区间内的上凸函数。若对任意，且 有 则称在区间内的下凸函数。定义3.1.6 设函数在区间内有定义，在区间内连续若对任意 有 则称在区间内的上凸函数。若对任意 有 则称在区间内的下凸函数。第四章 凸函数在不等式证明中的应用在现代科技中，常常需要运用不等式的知识对一些量的大小进行估计，因而不等式也就显得很重要。由于凸函数的定义是由不等式给出的，基于此，凸函数对证明某些特殊的不等式是颇为行之有效的。4.1 Jensen不等式Jensen不等式 （5）定理4.1.1 设均为正数，则对任意有 （6）这是Jensen不等式的另一种形式。证 设，则，为下凸函数。（I）当时，即，令由Jensen不等式的 （5）得将上式两边次方，并令即得（6）式。（II）当时，即，类似可证，只要注意到两边次方后不等式反向即可。（III）当时，即，证明完全同（I）。（IV）当之一为0时，不妨设，则存在；，于是 定理4.1.2 若均在上可积且，且在上为下凸的，则 （7）这是Jensen不等式的积分形式。 证 由于在上可积。在上是下凸的从而连续，且因此在区间上可积，又因，总存在，对于任意分法，当时，积分和，将区间n等分，使得，那么， 由Jensen不等式（5）得：将上式取极限：，由于得连续性 和的可积即得（7）式4.2 一般不等式例4.2.1 对任意不等的正数和均有 证 设，显然为下凸函数，由下凸函数的性质知，对任意不等的有 ， 即 令，代入上式即得的结论.例4.2.2 设，则 证 设 ，则 ，从而为凸函数，于是由Jensen不等式（5） 得 两边同除以（-1）再取以为底的指数再次方即得。4.3 Cauchy不等式定理4.3.1 对任意正数都有 （8） 证 设，则，所以为下凸函数，由Jensen不等式（5）得：，即取，代入上式得： 两边开平方即得（8）。 4.4 Holder不等式定理4.4.1 对于任意正数和一对满足的实数都有(I) 若，则 （9）(II) 若，则证 设，则，当时，从而为下凸函数，由Jensen不等式（5）得：，即取 代入上式得两边次方，并取即得（9）式。当证明类似。定理4.4.2 设均为正数，均为正数且，则 （10）证 平均不等式由平均不等式第二部分 得 于是有 = 从而得到（10）式。选择不同的凸函数，利用基本不等式和Jensen不等式还可以证明许多其他有趣的不等式，在此就不再详细陈述了。第五章 结束语本着对凸函数的兴趣，我在现有知识的基础上，通过查阅相关资料，总结分析相关内容，提出凸函数的几种不同定义，以及凸函数的性质与应用。首先，给出了凸函数的定义及等价定义,而后探究并总结了凸函数在几个著名不等式（詹森（Jensen）不等式、赫尔德（Holder）不等式、柯西（Cauchy）不等式）。通过此次论文的写作才意识到凸函数的重要性以及内容的丰富性。虽然现在对凸函数的了解多于先前，但是我知道要想真正的了解和掌握好凸函数我还得继续花更多的时间和精力去钻研。我想我会在以后的学习和工作中更加努力的去掌握好凸函数的知识。我想这些知识将使我受益一生。参考文献1华东师大数学系.数学分析（上）.北京：高等教育出版社.2斐礼文主编. 数学分析中的典型问题与方法M. 北京：高等教育出版社.1993年5月第一版. 3严子谦，尹景学，张然.数学分析M. 北京：高等教育出版社.2004年5月第一版. 4欧阳光中，姚永龙，周渊.数学分析M. 上海：复旦大学出版社.2002年 5国家高中数学课程标准判定组.高中数学课程标准M.2003. 6杨定华.关于几何凸函数的不等式J.河北大学学报（自然科学版）.2002. 7杨定华.有关积凸函数的一个不等式M.西藏：西藏人民出版社.2000. 8颜丽佳，刘芙萍.强预不变凸函数J.重庆师范大学学报.自然科学版.2005.9菲赫金哥尔茨.微积分学教程M.人民教育出版社.1954.致谢四年的大学生活在这个季节即将划上一个句号，而于我的人生却只是一个逗号，我将面对又一次征程的开始。四年的求学生涯在师长、亲友的大力支持下，走得辛苦却也收获满囊，在论文即将付梓之际，思绪万千，心情久久不能平静。 伟人、名人为我所崇拜，可是我更急切地要把我的敬意和赞美献给一位平凡的人，我的导师。我不是您最出色的学生，而您却是我最尊敬的老师。您治学严谨，学识渊博，思想深邃，视野雄阔，为我营造了一种良好的精神氛围。授人以鱼不如授人以渔，置身其间，耳濡目染，潜